Linea elastica
Equazioni di Timoshenko
dφ/dz = M(z) / EI
dv/dz = -φ(z) + κ T(z) / GA
Problema al secondo ordine (2C contorno)
Vincoli:
Linea elastica di Timoshenko (Teoria della trave)
Effetti flessionali + effetti taglianti
Esempio: Mensola con effetti flessionali e taglianti
- C. contorno: φ(ℓ) = 0; v(ℓ) = 0
Integro le equazioni sopra (di Timoshenko) e valuto v(0) (lo spostamento dell'estremo libero):
v(0) = 0.1
v(0) = Fℓ3 / 3EI (1 + 3EI κ / GA ℓ2)
α = 6(1+ν) κ / 12 ℓ2 ≈ 1
I = bℓ3 / 12
G = E / 2(1+ν)
ℓ / ℓ = 1 / 4 → α ≈ 1/16 ≈ 6%
ℓ / ℓ = 1 / 10 → α ≈ 1/100 = 1%
Se ℓ / ℓ > 1/5 la trave può essere considerata snella.
Linea elastica di Eulero-Bernoulli
φ ⟹ M, EI: costante
vʺ(z) = - M(z) / EI
φ(z) = - vʹ(z)
Curvatura elastica (χel)
Per l'integrazione: 2 C. contorno
vʺ(z): curvatura della funzione; il segno indica come si atteggia la funzione (convessità, concavità) nel sistema di riferimento
- M > 0 ⟹ vʺ < 0
- M < 0 ⟹ vʺ > 0
∪ vʺ > 0
∫ vʺ = m / eEI z
M(z) = - m/e z
vʹ(z) = m / eEI z2/2 + C1
v(z) = - m / eEI z3/6 + C1z + C2
- v(0) = 0; C2 = 0; v(e) = 0 ⟹ m/e l2/6EI + C1l = 0; C1 = - m/e 6EI
qℓ2/16
Linea elastica con distorsioni termiche a farfalla
dφΔT = 2αΔT/h dz
dφΔT/dz = χΔT = 2αΔT/h
Completa con χℓ = M/EI
L'equazione delle linee elastiche con effetti termici diventa:
v''(z) = - M/EI - χℓ + 2αΔT/h
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