Esercizi Scienza delle costruzioni

Linea Elastica

dφ/dz = M(z) / EI

dv/dz = -φ(z) + κ T(z) / GA

Probl al II ordine (2C contorno)

- vincoli -

Linea Elastica di Timoshenko

(Teoria della trave)

Effetti fless + effetti taglianti

Es: Mensola con effetti flessionali e taglianti

C.contorno : φ(ℓ) = 0; v(ℓ) = 0

integro le eq.sopra (di Timoshenko) e valuto v(0) (lo spost. dell'estremo libero) :

v(0)=0.1

• v(0) = Fℓ³ / 3EI (1 + 3EI κ / GA ℓ²)
• α = 6(1+ν) κ / 12 ℓ² ≈ 1
• I = bℓ³ / 12
• G = E / 2(1+ν)
• ℓ / ℓ = 1 / 4 → α ≈ 1/16 ≈ 6%
• ℓ / ℓ = 1 / 10 → α ≈ 1/100 = 1%

Se ℓ / ℓ > 1/5 la trave può essere considerata snella.

... LINEA ELASTICA DI EULERO-BERNOULLI

φ ⟹ M, EI: costante

vʺ(z) = - M(z) / EI

φ(z) = - vʹ(z)

curvatura elastica (χ_el)

Per l'integrazione: 2 C. contorno

vʺ(z): curvatura della funzione; il segno indica come si atteggia la funzione (convessità, concavità) nel sist di riferimento

M > 0 ⟹ vʺ < 0

M < 0 ⟹ vʺ > 0

∪ vʺ > 0

∫ vʺ = m / eEI z

M(z) = - m/e z

vʹ(z) = m / eEI z²/2 + C₁

v(z) = - m / eEI z³/6 + C₁z + C₂

v(0) = 0; C₂ = 0; v(e) = 0 ⟹ m/e l²/6EI + C₁l = 0; C₁ = - m/e 6EI

qℓ²/16

LINEA ELASTICA CON DISTORSIONI TERMICHE A FARFALLA

dφ^ΔT = 2αΔT/h dz

dφ^ΔT/dz = χ^ΔT = 2αΔT/h

completa con χ^ℓ = M/EI

L'eq delle linee elastiche con effetti termici diventa

v''(z) = - M/EI - χ^ℓ + 2αΔT/h