Esercizi di Fisica generale - modulo B

Esercizi Fisica generalemodulo B

Principio di conservazione della carica elettrica

Sia su scala micro che macroscopica in un sistema isolato la carica totale si conserva ossia la somma algebrica delle cariche è costante.

Campo elettrico: ^→

E = 1 / 4πε₀ q / r² = ^→F₀

Carica sorgente positiva = campo con verso uscente

Carica sorgente negativa = campo con verso entrante

Esercizio 1.2

Due cariche q₁ = 8q e q₂ = -2q si trovano a distanza L’una dall’altra. In che punto possiamo collocare una carica positiva qualunque in modo che resti in equilibrio?

Equilibrio = sistema di riferimento (1ª cosa)

Non possiamo trovare questa nuova carica q₀ in una posizione diversa dall’asse x poiché negli altri casi rimane per forza componente verticale.

Non può stare al centro poiché |q₁| > |q₂|

Esercizio 1.7

Una bacchetta isolante di lunghezza L possiede una carica -q uniformemente distribuita sulla sua lunghezza. Determinare il campo su un punto P posto sullo stesso asse della bacchetta e a distanza a da uno degli estremi

dq = λ dx dove |λ| = |q| / L

E⃗ = ∫₀^L λ 1 / 4πε₀ * dq / (L + a - x)²(^x) = (-^x)

E⃗ = λ / 4πε₀ ∫₀^L dx / ((L + a - x)²)

= λ / 4πε₀ (1 / a² - 1 / (L + a)²) = λL / 4πε₀ a (L + a)

Si definisce circolazione di un campo l’integrale di linea del campo lungo un percorso chiuso. Indichiamo con E⃗ la circolazione del campo elettrico, che prende il nome di forza elettromotrice e di cui parleremo nei prossimi capitoli.

ε = ∮ E⃗ · ds⃗

Esercizio 2.5

Si consideri un anello carico di raggio R, avente una carica q uniformemente distribuita. Calcolare il potenziale lungo l'asse dell'anello e derivare l'espressione del campo elettrico lungo il medesimo asse.

1. Stabiliamo lo zero potenziale: V(∞)=0
2. Bacchetta piegata = unidimensionale
   • dq = λ ds = λ dθ R
   • dV = ¹/_4πε₀ ^dq/_r = ^λRdθ/_4πε₀r
   • Q = λ2πR
   • r = √z² + R²
3. Calcolo il potenziale come gradiente del campo elettrico

V(ρ) = ¹/_4πε₀ ∫₀^{2π λRdθ}/_√z²+R² = ^λR/_{4πε₀√z²+R²} ∫₀^2π dθ = ^(λR2π)/_{4πε₀√z²+R²} =

q

= -∇V →

• Ex = -∂V/∂x = 0
• Ey = -∂V/∂y = 0
• Ez = -∂V/∂z = ^qz/_{4πε (z²+R²)^3/2}

Possibile quesito d'esame

Proprietà di un conduttore elettrostatico (slide 2-5)

Proprietà dei conduttori in equilibrio

• L'eventuale eccesso di carica in un conduttore può distribuirsi solo sulla superficie esterna del conduttore;
• Il potenziale elettrostatico è costante su tutto il conduttore;
• Il campo elettrostatico sulla superficie del conduttore è perpendicolare alla superficie e ha intensità \(E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\).

Equilibrio elettrostatico:

\(\sum \varepsilon = 0\)

\(\Phi_S (\overrightarrow{E}) = 0\)

\(\sum q_{int} = 0\)

Nel conduttore cavo con carica all'interno del buco l'esterno non influenza l'interno e viceversa

Esercizio 4.1

3 condensatori sono collegati in serie con una d.d.p. complessiva ai capi della serie pari a \(V_{AE} = V_{A} = 100 \, V\) ed una capacità equivalente della serie pari a 100 pF. Calcolare i 3 valori \(C_1, C_2, C_3\) affinché tra A e D vi siano 50 V e tra A ed E vi siano 70 V.

Condensatori in serie = stessa carica \(q\)

\(\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}\)

\(q = C_{eq} \cdot V_{tot} (\Delta V_{BA})\)

q = 100 pF \cdot 100 V = 10000 pC

\(C_{eq} = 100 \, pF\)

\(\Delta V_{AD} = 50 \, V\)

\(\Delta V_{DE} = 20 \, V\)

\(\Delta V_{AE} = 70 \, V\)

\(\Delta V_{BA} = 100 \, V\)

\(\Delta V_{BE} = 30 \, V\)

{ q₁ + q₂ = B q₁q₂ = C

{ q₂ = B - q₁ q₁(B - q₁) = C

q₁B - q₁² = C

q₁² - q₁B + C = 0

Δ = 16 · 10^-12 C² q₁ = 2 · 10^-6 C ± 4 · 10^-6 C / 2 = 3 · 10^-6 C

q₁ = 3 · 10^-6 C → q₁ ≈ 10⁶ C quindi anche q₂ ≈ ± 1,10^-6 C

Le 2 cariche possono assumere 2 possibili valori complementari

Problema 2

C₁ = 60 pF C₂ = 120 pF V₁ = V₂ = 100 V

q₁, q₂ = ?

Fase 1 - Condensatori staccati

q₁ = C₁V = 60 pF · 100 V = 6 nC

q₂ = C₂V = 12 nC

Fase 2 - Condensatori attaccati da poli opposti gli uni con gli altri

Sono sostanzialmente collegati in parallelo

+q₁ - ((12 – 4) nC = 8 nC

-q₁ - ((12 + 4) nC = -8 nC

C_eqII = C₁ + C₂ = 180 pF

V’ = ^Q’ / _CeqII = ^{8 nC} / _{160 pF} = 50 V

Problema 3

———————— _{K2 ———} ———————— _{K1 ———}

Possiamo vedere il sistema come 2 condensatori in serie poiché la lasta in mezzo non conta nulla: ¹ / _Ceq0 = ¹ / _C1 + ¹ / _C2 → C_eq0 = ^C₁C₂ / _{C1 + C2}