Esercizi di Analisi dei dati

DISTRIBUZIONE

• →

d successi

n hip

prove - h prove

F- probabilità )

(

X Gea

GEOMETRICA E

X verifica n

finché

DISTRIBUZIONE l' evento

• → p

si

: →

prove non

= deve verificarsi

evento dhe

e = probabilità di verifica E

pe

X dell'

di realizzazioni evento

DISTRIBUZIONE

• Poisson → =

di numero (A)

Xropo

unità

E tempo

di →

per

A considerato

di

medio eventi tempo

nel

numero

= tempo della dell'

X=

DISTRIBUZIONE il evento

• ESPONENZIALE → prima occorrenza

# dell'

tempo verifichi la

medio evento

perché

necessario prima occorrenza

si

=

A- medio di

unità tempo

numero occorrenze per . 1.5

① 2- 1,6667 5.0 cm

µ • cm

=

=

= = = )

Prfz

)

(

Pr Pizzi

prf 1-0.9525=0,0475×100

1,6667

%) 1-

7.5 )

X 6667

# >

a

> =

= =

= , I 4,75%

Pr

② )

(

Prfxzxo Pr

1 3,62

?

) Z

0.9999

)

(

0.0001 Zaza zaza

⇒ ⇒ ;

-

= = =

10,43

5.0 62.15

3.

X. Zr t

µ

⇒ + = = 40 cubi

A-

Prfxsxo

a) Nfnmz

tfmmz

1%1=0.95 si 02

60.14

) f- ←

=

Pr X.

Pr 1-0.95=0.05 2-

)

( -1,64

I

( TTZ

) 60.14 5,021,64

XEXO XEXO µ

⇒ ⇒

=

- -

= =

= I 51,9072

b) Presa 5) 0,13%

-3.011=0,0013

Prltth PRIZE

455,6%4--3.01 5)

2. =

=

= Pr (

50.1 )

c) (50.12×270.18)=17

f

-2T

µ Za 2<2-12

-2

= =

. t.fr/ze2).Pr(ze-z

Rt 70.18 )

Z=×¥-

µ tz

= 10.9772 95,44%

0.0228 =

-

ESERCIZIO 1

In uno studio sul controllo qualità di un processo di confezionamento di vernici in polvere per superfici

metalliche in confezioni dal peso nominale dichiarato di 1.4 kg, si sono ottenute su di un campione di 14

confezioni le seguenti misurazioni del peso (in grammi):

1362 1347 1350 1355 1341 1334 1353

1339 1341 1322 1354 1346 1364 1324

2

1) Assumendo di conoscere la varianza =400, costruire un intervallo di confidenza al 95% del

valore medio del peso del processo di confezionamento. Si commentino i risultati.

2) Si conduca una verifica di ipotesi (indicando sistema di ipotesi e statistica test) per stabilire

se a livello =1% il peso medio delle confezioni corrisponde al peso nominale dichiarato.

3) Si costruisca un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di confezioni con peso <

1350 gr.

1) Parametro di interesse: µ (media del peso nella popolazione)

Intervallo di confidenza per µ ( nota :

X z , X z

2 2

n n

Stima puntuale di µ: Media campionaria = 18832/14 = 1345.14 gr

Deviazione standard nella popolazione = 20 gr

⁄

√

Errore standard della stima ( 5.34 gr

1- =0.95 (livello di confidenza) ; =0.05; /2=0.025

z =±1.96 (valori critici dalle tavole della distribuzione normale standardizzata)

/2

1345.14 ± 1.96 x 5.34 = 1345.14 ± 10.48 = (1334.66, 1355.62)

Interpretazione: Se potessimo ripetere infinite volte il campionamento di 14 confezioni, nel 95% dei

campioni l intervallo IC includerebbe il vero valore del parametro µ. Essendo elevata questa

probabilità, ho fiducia che l intervallo (1334.66, 1355.62) includa il vero valore del parametro.

2) Test Z sulla media (1 campione) nota

=0.01 (livello di significatività del test)

a) Sistema di ipotesi H gr H gr

b) Statistica test: X

Z ~ N 0 , 1

n

X 1400

c) Sotto Ho: Z ~ N 0 , 1

5 . 34

=0.01; /2=0.005; z =±2.58 (valori critici dalle tavole della distribuzione normale standardizzata)

/2

ì

d) Valore osservato della statistica test sotto H0:

1345

.

14 1400

Z 10

.

27

O 5

.

34

N B Nel testo dell esame

lo studente può

visualizzare il valore

osservato della statistica

test direttamente nel

grafico precedente

e) Conclusione inferenziale: Il valore osservato della statistica test sotto H0, cade nella regione

di rifiuto: il test porta a rifiutare l ipotesi nulla La differen a tra la media campionaria e il

valore nominale è statisticamente significativa al livello di significatività dell %. Il peso

medio delle confezioni è diverso dal peso nominale dichiarato.

3) Parametro di interesse propor ione di confezioni con peso < 1350 gr. nella popolazione

Intervallo di confidenza per :

p z p 1 p n

/ 2

Stima puntuale di : frequenza campionaria p = 8 / 14 = 0.571

1 /

Errore standard della stima 0.132

1- =0.95 (livello di confidenza) ; =0.05; /2=0.025

z =±1.96 (valori critici dalle tavole della distribuzione normale standardizzata)

/2

0.571 ± 1.96 x 0.132 = (0.31, 0.83)

Interpretazione: Se potessimo ripetere infinite volte il campionamento di 14 confezioni, nel 95% dei

campioni l intervallo IC includerebbe il vero valore del parametro . Essendo elevata questa

probabilità ho fiducia che l intervallo (0.31, 0.83) includa il vero valore del parametro.

ESERCIZIO 2

In uno studio sulla resistenza a trazione di un giunto composto da due travi in acciaio collegate da

un adesivo innovativo si sono ottenute le seguenti misurazioni di forza a rottura in N/m²:

E

tai

2689 3161 2989 3040 3249 2865 2912 [ ± an

, Tu

2611 2519 3021 2523 2937 3026 3310 ti

1) Si costruisca un intervallo di confidenza al 95% del valore medio di rottura del giunto.

2) Nelle stesse condizioni, un adesivo tradizionale dovrebbe avere una resistenza nominale pari

a 2800 N/m². Si conduca una verifica di ipotesi (indicando sistema di ipotesi e statistica test)

per stabilire se a livello la resisten a dell adesivo innovativo è diversa dal valore

nominale di un adesivo tradizionale.

3) Per un adesivo tradizionale, la proporzione di prove caratterizzate da una resistenza 2650

N/m² è generalmente pari al 20%. Si conduca una verifica di ipotesi (indicando sistema di

ipotesi e statistica test) per stabilire se a livello =5% la proporzione di prove con resistenza

2650 N/m² per l adesivo innovativo è diversa da quella dell adesivo tradizionale.

1) Parametro di interesse: µ (media del peso nella popolazione)

Intervallo di confidenza per µ ( non nota :

S S

X t , X t

n 1

; 2 n 1

; 2

n n

2

Stima puntuale di µ: Media campionaria = 2918.00 N/m

2

Deviazione standard campionaria S = 252.62 N/m

2

⁄

√

Errore standard della stima ( 67.51 N/m

1- =0.95 (livello di confidenza)

=0.05; /2=0.025

n-1=13 (gradi di libertà della distribuzione t di Student); t = ± 2.16 (valori critici dalle tavole

13,0.025

della distribuzione t di Student)

2918.00 ± 2.16 x 67.51 = 2918.00 ± 145.82 = (2772.18, 3063.82)

Interpretazione: Se potessimo ripetere infinite volte il campionamento di 14 provini, nel 95% dei

campioni l intervallo IC includerebbe il vero valore del parametro µ. Essendo elevata questa

probabilità ho fiducia che l intervallo (2772.18, 3063.82) includa il vero valore del parametro.

2) Test t di Student sulla media (1 campione) non nota

=0.01 (livello di significatività del test)

a) Sistema di ipotesi: H H

X

b) Statistica test: t ~ t n 1

S n

X 2800

t ~ t

c) Sotto Ho: 13

67 . 51

=0.01, /2=0.005, n-1=13 (gradi di libertà della distribuzione t di Student)

t = ± 3.012 (dalle tavole della distribuzione t di Student)

13,0.005

d) Valore osservato della statistica test sotto H0:

2918 2800

t 1

.

75

O 67

.

51

e) Conclusione inferenziale: Il valore osservato della statistica test sotto H0, cade nella regione

di accettazione: il test porta a non rifiutare l ipotesi nulla La differenza tra la media

campionaria e il valore nominale non è statisticamente significativa al livello di significatività

dell %. La resisten a media dell adesivo innovativo è simile a quella dell adesivo

tradizionale.

3) Test Z sulla proporzione (1 campione)

=0.05 (livello di significatività del test)

Stima puntuale di prove con resistenza resistenza 2650 N/m²: (frequenza campionaria) p = 3/14

=0.214 (21.4%)

a) Sistema di ipotesi: H0: = 0.20; H1: 0.20

b) Statistica test:

c) Sotto Ho: 0.20

0.20 1 0.20 /14

=0.05; /2=0.025; z =±1.96 (valori critici dalle tavole della distribuzione normale

/2

standardizzata)

d) Valore osservato della statistica test sotto H0:

0

.

214 0

.

20

Z 0

.

131

O 0

.

2

(

1 0

.

2

) / 14

e) Conclusione inferenziale: Il valore osservato della statistica test sotto H0, cade nella regione

di accettazione: il test porta a non rifiutare l ipotesi nulla La differen a tra la proporzione

campionaria e il valore sotto H0 (20%) non è statisticamente significativa al livello di

significatività dell %. La proporzione di prove con resistenza 2650 N/m² dell adesivo

innovativo è simile a quella dell adesivo tradi ionale.

ESERCIZIO 3

In uno studio sulla visibilità della segnaletica stradale si sono effettuate 12 misurazioni di

retroriflessione della segnaletica orizzontale in condizioni di bagnato:

35.8 24.8 30.5 23.9 29.0 29.7

27.9 32.9 32.0 30.1 32.0 31.0

Supponendo la varianza nota e pari a 9, si conduca una verifica di ipotesi (indicando sistema di

ipotesi e statistica test) per stabilire se (a livello =0.05) la segnaletica soddisfa i requisiti della

normativa che prescrive che in condizioni di bagnato la retroriflessione media sia maggiore di 30.

Test Z sulla media (1 campione) nota

=0.05 (livello di significatività del test)

media campionaria: 29.97

⁄ ⁄

√

Errore standard ( = (3 = 0.87

√12

a) Sistema di ipotesi: H0: µ = 30; H1: µ > 30 (test unidirezionale)

b) Statistica test: X

Z ~ N 0 , 1

n

c) Sotto Ho: X 30

Z ~ N 0 , 1

3 / 12

=0.05, z =+1.645 (dalle tavole della distribuzione normale standardizzata)

d) Valore osservato della statistica test sotto H0:

29

.

97 30

Z 0

.

0345

O 0

.

87

a) Conclusione inferenziale: Il valore osservato della statistica test sotto H0, cade nella regione

di accettazione: il test porta a non rifiutare l ipotesi nulla La differen a tra la media

campionaria e il valore pari a 30 non è statisticamente significativa al livello di significatività

del 5%