Equazioni non lineari

1.2 metodi delle approssimazioni successive (metodo del punto fisso)

Questi metodi generano un procedimento iterativo al fine di trovare la soluzione. Difatti il problema di

determinare lo zero di una funzione in genere non si risolve in un numero finito di passi e questo

comporta:

Problema di punto fisso

Il problema di cercare una radice di f (x) = 0 (pertanto trovare un zero) è strettamente connesso

al problema di determinare la soluzione dell’equazione x = g(x) ossia il valore x∗ per cui

il

punto della

valore

x∗= g(x∗). Quando esiste, il punto x∗ si dice proprio punto fisso di g(x). cui

in

funzione uguale a quella

e

punto

del

m

Limitata

Non si deve annullare nell’intervallo in cui studio la funzione poiché garantisce l’equivalenza tra

l’equazione non lineare e l’equazione del punto fisso -O

Teorema di esistenza e unicità del punto fisso

costante Lipschitz

di

Esempio: >

Dimostrazione del teorema : esistenza e unicità

Funzionamento del metodo iterativo

Convergenza globale del metodo delle approssimazioni successive

all'intervallo b

qualsiasi

garantita e

sia Xo

convergenza a

, ,

Dimostrazione

Teorema di convergenza locale

Spesso è difficile verificare la condizione che per x si abbia g(x) condizione

∈[a,b] ∈[a,b],

essenziale nel Teorema di convergenza globale. In tali casi, è utile un teorema di convergenza

locale che assicura la convergenza di {xk } a un punto fisso x∗di g(x) se x0 è sufficientemente

vicino a x∗. È necessario sapere a priori che x∗è un punto fisso di g(x), ossia che g(x) ha un

punto fisso. Interno x*

del punto

~

L’ intorno del punto fisso Ip è un intorno teorico in quanto x* non è noto, essere trovato tramite metodi

preliminari come il metodo di bisezione.

Propagazione degli errori nel metodo delle approssimazioni successive

vaxX degli iterati finiti

successione

~

L’errore sarà maggiorato da

dove δ è una maggiorazione dell’errore di calcolo. Questo implica che la differenza tra due iterati

successivi non può essere più piccola di 2δ/(1−L).

Criteri di arresto per il metodo delle approssimazioni successive

Ordine di convergenza l'errore

Ad iterazione riduce

si

ogni P

/1 f(Xx

+ *1

| xk x

1 x

-

+ Convergenza

quadratica

1.3 Metodi a convergenza super lineare - metodo di Newton Raphson -

Questi metodi sono versioni specifiche del metodo delle approssimazioni successive che mirano ad una

convergenza più rapida.

Allora si pone:

Se x∗`e uno zero semplice (cio`e f(x∗) = 0 e f′(x∗) ̸= 0), il metodo di Newton ha convergenza quadratica.

La costante asintotica di errore: