Elettrostatica nel vuoto

Elettrostatica

Introduzione

I fenomeni elettromagnetici si presentano in natura con una grande varietà e complessità di manifestazioni. Per poterli studiare, seguiamo i seguenti 5 punti:

1. Elettrostatica - nel vuoto e nei mezzi
2. Correnti elettriche "stazionarie"
3. Magnetostatica - nel vuoto e nei mezzi
4. Elettromagnetismo
5. Onde elettromagnetiche

Elettrostatica

Alcuni oggetti macroscopici, se trattati opportunamente, si possono caricare delle azioni elettriche:

1. Se due oggetti della stessa sostanza vengono strofinati con un panno di pelo o equivalenti, si respingono. Questo perché possono caricarsi positivamente (come il vetro) o negativamente (come l’ambra).
2. Se, invece, dopo essere stati strofinati, due oggetti di sostanze diverse vengono avvicinati, si attraggono.

Le cariche presenti in un corpo non rimangono costanti, poiché esse possono essere tolte o aggiunte (ovviamente potrò togliere o aggiungere una carica, non mezzo o un terzo e così via).

Grazie al modello dell’atomo, possiamo capire come si comporta un materiale al passaggio dell’elettricità:

Materiali isolanti: se aggiungo una carica al materiale, esso non si muoverà.

Materiali conduttori: se aggiungo una carica, essa si potrà muovere e si espanderà su tutto il materiale.

L'elettrizzazione per contatto avviene se avvicino un corpo carico ad uno neutro e li faccio toccare, trasferendo alcuni elettroni.

Induzione elettrostatica

Per caricare un corpo, posso anche avvicinare un conduttore ad un corpo neutro. Anche se un corpo è neutro, le sue cariche si possono muovere: ibbramare. Anche il conduttore ha cariche positive, allora quelle negative del corpo neutro (positive e negative si attraggono). Se poi lo allontano, le cariche tornano al loro posto.

Per misurare la grandezza fisica della carica elettrica, utilizzo uno strumento chiamato elettroscopio. All'estremità inferiore sono appese due "foglioline":

• Quando è scarico, esse si dispongono in verticale (gravità).
• Quando l'asta tocca un corpo carico, la carica si sposterà lungo l'asta e le foglioline, essendo caricate con lo stesso segno, si respingeranno, e maggiore è l'angolo α, maggiore è la carica.

Quando un corpo viene a contatto con uno scarico, esse si distribuisce tra entrambi i corpi.

Principio di conservazione della carica

La somma algebrica delle cariche elettriche si mantiene costante nel tempo.

Es. \( q_1q_2 \), la forza tra le due cariche risulta proporzionale ad una costante:

\( F_{12} = kq_1q_2 \)

dove \( k \) è la costante di proporzionalità = 9.10⁹ N.m²/C², \( k = \frac{1}{\varepsilon_0} \) con \(\varepsilon_0\) = costante dielettrica nel vuoto = 8.85x10^-12 A²r₁₂ il vettore posizione e r₁₂ il versore.

Legge di Coulomb

Considerando q₁ = q₂ = 1 C, il Coulomb è una carica molto elevata.

Proprietà fondamentali dell'elettrostatica

Ovunque sia la carica, la forza andrà sempre da 1 a 2. Forza centrale V_a come 1.

Flusso di un campo elettrico

Le linee di un campo vettoriale, in questo caso quello elettrico, forniscono una rappresentazione del campo generato da una o più cariche e consentono di capire le caratteristiche del campo elettrico in qualsiasi punto dello spazio.

• Se la carica è negativa, il verso è entrante.
• Se la carica è positiva, il verso è uscente.
• Se invece abbiamo un polo, esso si esaurirà formando due colonne (puntiformi) di segno opposto e con lo stesso valore in modulo.

Possiamo quindi calcolare un campo elettrico qualsiasi sia la distribuzione delle cariche, attraverso la loro forza generatrice. Se però in un conduttore la distribuzione cambia appoggiando una carica, viene cambiata la configurazione e i valori vengono misurati totalmente.

Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie

Consideriamo una porzione elementare ds della superficie, si definisce come flusso elementare dΦ₀ attraverso l’elemento di superficie ds la quantità:

dΦ(Ê) = Ê·ds = E₀·n ds = E·cosθ·ds → Flusso Elementare

Teorema di Gauss

Il flusso del campo elettrico nel vuoto Φ(Ê) attraverso una superficie descrive non solo la somma algebrica delle cariche contenute all'interno di s, divisa per E₀.

1^o Caso - Carica puntiforme

d = cos∅) = proiezione dell’elemento di superficie ds' sulla sfera di raggio r, e centro Q

dΦ(Ê) = (E ds') = d₀^{angolo solido col centro in Q, delimitato dall’elemento di superficie s₀}) = (η ds'₀) = n V₀ (E s₀)

dΦ = E·d₀ = Eds' = Ecosθds. Flusso Φ se Ê è negativo. Flusso Φ se Q esterno.

ds ha come vettore normale ê, E₀ ha come vettore normale n͞₀, il flusso uscente le due superfici formano un integrale Θ.

Poiché il potenziale è una funzione scalare, è molto più semplice da calcolare. Per questo, quando sono note a priori le distribuzioni di carica, il metodo più efficace per calcolare il campo elettrico è quello di calcolare prima il potenziale e da lì il campo elettrico.

Il potenziale è la somma dei potenziali generati separatamente da ogni tipo di distribuzione (principio di sovrapposizione).

Forze centrali sulla legge di Coulomb

Se prendiamo punti molto vicini tra loro:

\( V = V(x,y,z) \)

\( x = x + dx\) passo infinitesimo

\( y = y + dy\)

\( z = z + dz\)

\( V(x+dx,y+dy,z+dz) = V(x,y,z) + \frac{\partial V}{\partial x} dx + \frac{\partial V}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial z} dz\)

\( \overrightarrow{d}\overrightarrow{\ell} \cdot \overrightarrow{E} = Ex\overrightarrow{dx} = - \frac{\partial V}{\partial x} \overrightarrow{dx}\)

Sono le componenti dell'operatore Nabla, per questo possiamo anche scrivere:

\( \overrightarrow{\nabla}V = - \overrightarrow{E} \)

\( d\overrightarrow{\ell} = dx + dy + dz\)

\( \overrightarrow{d}\overrightarrow{\ell} \cdot \overrightarrow{E} = Ex\overrightarrow{dx} + Ey\overrightarrow{dy} + Ez\overrightarrow{dz} = - Ex\overrightarrow{dx} - Ey\overrightarrow{dy} - Ez\overrightarrow{dz} \)

La variazione di potenziale è inferiore a quella del campo elettrico.

\( \cos \gamma \)

Se mi sposto in una qualsiasi direzione, il potenziale cambia a seconda del prodotto scalare; se, invece, vario rispetto alla direzione perpendicolare, il potenziale non cambia. Si ha una superficie equipotenziale — perché \(\overrightarrow{E}\perp \overrightarrow{E_0} \) e quindi il potenziale non varia.

1. Q nell'origine

\( V_0(P) = V_0(P_0) + \int^{z=0}_{z=\varepsilon}{E_0dz} = V_0(P_0) - \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}z(\frac{1}{z} - \frac{1}{\varepsilon_0}) \)

Se \(\varepsilon_0 \rightarrow \infty \), allora \( V_0(\infty) = 0\), potenziale di una carica.

2. Q non è nell'origine

\( V_0(P) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0|P-P_0|} \)

Se abbiamo più cariche \( Q \Rightarrow V_0(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum \frac{Q_1}{|r'-r_i|} \)