Elementi di calcolo delle probabilità - Appunti completi

DEF

Lo spazio campionario Ω è l'insieme di tutti gli esiti possibili.

Es.

• lancio di un dado: {1,2,3,4,5,6}
• lancio di una moneta finale non esito testa: N={0,3}
• istante in cui un componente elettronico smette di funzionare dal momento dell'acquisto: R⁺

Identificabile evento → Sottinsieme di Ω

Es. impossibile

Es. certo

Es. 3 → {3}

Ev. "uscire un m pari" → {2,4,6}, ev. "esce 3" → {3} ↔ φ

Ev. "esce un m tra 4 e 6" → {1,2,3,4,5,6}

DEF. Se A ∩ B = φ hanno intersezione vuota si dicono incompatibili.

A, B ⊆ Ω, → A ∩ B ⊂ φ ↔ ev. che si verifichino A e B

A µ B ⊂ Ω → A ∪ B ⊂ Ω ↔ ev. che si verifichino A o B

A ⊂ Ω → A^c = ⊂ Ω, A

A^c à → A non si verificano

Assiomi della probabilità

P: 3 sottinsieme di Ω → {0, 1} m reale 0 ≤ m ≤ a

• a) P() = 1
• a.1) successione A₁, A₂, ..., A_m - diventino sottinsiemi di Ω a due a due disgiunti i.e. A₁ ∩ A₃ → φ con A₃ risulta

P(→ A₁ ∩ A₂ → ⊕ A₁ → A₂ → A₃ ...)

Additivita' numerabile

individualmente A ∩ B → (A ∩ B) = P(A) + P(B)

Se P è un'applicazione che verifica (a) e a (e) diche che ∀A ⊂ Ω, P(A) è la probabilità di A

Osservazione P associa a ogni evento un m in [0,1] che misura la probabilità che quell'evento si verifichi.

Conseguenze

• a) P(φ)=0
• DIM. A₁ = Ω A₂ = φ A₃ = φ ... A_i = φ con i → ∑ P(A_i)

↔ P(Ω)=1 con A_i = P(A) con (P 0,1; m intero (0=m ε_a)

• a) P(Ω) = 1; a. 2) V successione A₁, A₂, ..., A_n, ..., Di eventi, sottoinsiemi di Ω due a due disgiunti [...];
• b) Additivity numerable; l'unione eventuale A∩B = ϕ; allora P(A∪B) = P(A)+P(B)
• Se P è un'applicazione che verifica a.1 e a.2, dico che ∀A⊂Ω P(A) è la probabilità di A
• oss. P associa ad ogni evento un m ε [0,1], che misura la probabilità che quel evento si verifichi

- Conseguenze

• (a) |ϕ| = 0; Dim. A₂ = Ω A₂ = ϕ con A₃ = ϕ; allora {ϕ con A₃; ∑^∞P(A₃)
• [...]
• Dim. B∩Ac = ϕ dis