Effetti delle perdite nelle linee di trasmissione

Dobbiamo in qualche maniera tener conto del fatto che nei conduttori

c'è una conducibilità finita.

Facciamo un ragionamento euristico.

Quando un conduttore con conducibilità finita è attraversato dalla

corrente, c’è una caduta di tensione sul conduttore e si dissipa potenza

.

Possiamo arrivare alle modifiche da apportare alle equazioni delle linee

(per tener conto delle perdite dei conduttori) partendo dal circuito

equivalente a costanti concentrate di un tratto di linea di lunghezza Δz

e inserendo in serie all’induttanza L=LΔz, una resistenza che indichiamo

come RΔz (R è una resistenza per unità di lunghezza che serve per

tener conto della caduta di potenziale legata alla conducibilità finita

dei conduttori) (min 25)

∝ 1/σ),

Supposto di conoscere R (R la prima equazione delle linee si

modifica perché accanto alla caduta di potenziale legata agli effetti

jωLI)

induttivi (e quindi accanto al termine ci sarà il termine “RI” che è

la caduta di tensione per unità di lunghezza all'interno dei conduttori.

Quindi se sono presenti perdite sia nei conduttori che nel dielettrico le

equazioni delle linee si modificano in questo modo

QUESTE EQUAZIONI SONO VALIDE IN

MANIERA APPROSSIMATA

Vediamo quali sono le conseguenze di queste modifiche sulla soluzione

delle equazioni delle linee.

Nella 1° equazione delle linee modificata facciamo in modo di far

comparire L equivalente

7 (quantità che sarà complessa) e

C .

equivalente

(mettiamo in evidenza i primi termini del secondo

membro)

Dove

Se le equazioni delle linee nel caso di perdite possono essere scritte in

maniera formalmente uguale a quella del caso ideale solo che dove nel

caso ideale compaiono L e C (induttanza per unità di lunghezza e

capacità per unità di lunghezza) compaiono rispettivamente L e C ,

eq eq

allora anche la loro soluzione sarà formalmente la stessa e anche qui

compariranno L e C .

eq eq

Quindi avremo ancora come soluzione un'onda progressiva e un'onda

-jkz

regressiva ,in cui l'onda progressiva ha un termine e mentre l'onda

jkz

regressiva è e però questa volta:

• K sarà complessa con β la parte reale e α parte Im.

• Z sarà complessa con R la parte reale e X parte Im.

0 0 0

Dove :

Vediamo nel dettaglio.

8 -jkz

Il fatto che k sia complesso comporta che il termine e si potrà

-jkz -jβz -αz

scrivere come e =e e . Analogamente a quanto abbiamo visto

quando abbiamo studiato la propagazione delle onde piane, il fatto che

K sia complessa fa sì che compaia anche un termine di attenuazione

esponenziale con z, cioè l'onda progressiva si propaga e si attenua nel

verso positivo dell'asse z; così come l'onda regressiva che avrà un

β α

jkz j z z

termine e = e e è invece, un’onda che si propaga e si attenua nel

verso negativo dell’asse z.

Quindi la presenza di perdite sulle linee comporta che oltre a esserci

propagazione lungo la linea di trasmissione, comporta anche

un’attenuazione. (min 34’)

Possiamo dire che la relazione che lega β (parte reale di K) a ω non è

più una relazione lineare perché nella radice della parte che costituisce

β abbiamo ω)

.(dove L e C non dipendono da ω

Quindi in k compare non solo una dipendenza esplicita da (come si

vede nella formula) ma anche una dipendenza implicita dato che anche

nella G è presente una dipendenza da ω perché nel caso di mezzo con

perdite e quindi dispersivo temporalmente le componenti di ε (quindi

ε’ e ε”) dipendono da ω.

La parte immaginaria di k (ovvero α) sarà dipendente da ω .

La velocità di fase v = non è più semplicemente ma dipende da

f

( ) √

ω quindi abbiamo v (ω). (vedi pdf 7 pg 3)

f

La velocità di fase dipende dalla frequenza e l'attenuazione sarà in

funzione di ω, quindi finchè consideriamo segnali puramente

sinusoidali l'unico effetto della non idealità della linea di trasmissione è

che accanto alla propagazione è presente anche un'attenuazione

αz

α -

(presente nella costante in e ) ,se però il segnale che si propaga

nella linea non è puramente sinusoidale ma ha una certa banda,

abbiamo che ciascuna componente spettrale del segnale si propaga

con velocità diversa e si attenua ad un ritmo diverso perché α e v f

dipendono da ω quindi avremo distorsione del segnale .

(ANALOGIA :

min 37’

9