Domande scritto Elementi di meccanica

SEGUE…

20) Dare la definizione del baricentro e scrivere l’equazione del bilancio

della quantità di moto per un sistema di punti materiali come equazioni

del moto del baricentro.

21) Scrivere le formule di trasformazione delle basi e delle componenti di

un vettore nel passaggio da una base all’altra. Dare la definizione di

orientamento di uno spazio vettoriale.

22) Definire il problema agli autovalori per un tensore doppio affine di

opportuna varianza. Definire la molteplicità algebrica e la molteplicità

geometrica di un autovalore.

23) Perché gli orientamenti di uno spazio vettoriale sono soltanto

due?

24) Definire il trasposto di un tensore doppio, precisare quando un

tensore doppio si dice simmetrico, antisimmetrico e dimostra che ogni

tensore doppio di opportuna varianza è sempre la somma di un tensore

simmetrico e uno antisimmetrico.

SEGUE..

25) Dimostra che un qualsiasi sistema di vettori applicati è sempre

equivalente al sistema costituito dal suo risultante e da una coppia.

26) Qual è la dimensione dello spazio dei tensori affini su uno spazio

vettoriale ? E quello dei tensori simmetrici? Antisimmetrici? Dalla

risposta dedurre che lo spazio dei tensori antisimmetrici su uno spazio

è isomorfo a E₃. SEGUE..

27) Che cos’è il prodotto tensoriale di due spazi vettoriali? Che cosa sono

i tensori affini doppi? Quanti tipi ce ne sono?

SEGUE…

28) Definire il prodotto di composizione di due tensori affini doppi.

29) Il prodotto vettoriale di due vettori u e v di uno spazio E₃ è

invariante nel passaggio da una base di E₃ ad un’altra?

30) Dimostrare le disuguaglianze di Cauchy-Schwartz, di Minkowski e

triangolare.

31) Si definiscano le nozioni di accelerazione di trascinamento e di

accelerazione di Coriolis per il moto di un punto in due spazi-tempo in

moto qualsiasi l’uno rispetto all’altro.

32) Scrivere le equazioni cardinali della dinamica per un continuo rigido

in termini di moto del baricentro e moto intorno al baricentro. Dedurne

la definizione di posizione di equilibrio per un continuo rigido.

33) Dare la definizione di quantità di moto e di energia cinetica di un

punto materiale. Dedurne l’equazione del moto in termini di derivate

dell’energia cinetica.

34) Per un punto in moto su una traiettoria prestabilita dedurre le

espressioni dell’accelerazione tangenziale e dell’accelerazione normale

35) Dimostrare il teorema di Konig per il tensore d’Inerzia.

36) Dalla relazione generale tra accelerazione assoluta, accelerazione

relativa, accelerazione di trascinamento ed accelerazione di Coriolis, e

dalla forma delle ultime due, dedurre la relazione tra l’accelerazione

assoluta e accelerazione relativa se due riferimenti spazio-temporali sono

in moto traslatorio uniforme l’uno rispetto l’altro.

37) Dare la definizione di ellissoide d’inerzia rispetto ad un polo e

descriverne le proprietà fondamentali.

SEGUE..

38) Dare la definizione di vincolo in termini cinematici e in termini

dinamici e la classificazione completa dei diversi tipi di vincolo.

SEGUE..

39) Scrivere la derivata del momento della quantità di moto di un

sistema di punti rispetto a un polo fisso, rispetto a un polo mobile e

rispetto al baricentro. SEGUE..

40) Dare le definizioni di energia cinetica di un punto materiale e di

lavoro di forze agenti sul punto e dedurne il teorema del lavoro o

dell’energia scrivere la relazione tra le due quantità.

41) Scrivere le equazioni del moto di un punto vincolato a muoversi su

una curva fissa e priva di attrito .

42) Scrivere le equazioni lagrangiane del moto di un sistema di solidi e di

punti materiali.

43) Definire gli spostamenti possibili e gli spostamenti virtuali di un

sistema vincolato. In quale caso i due tipi di spostamento coincidono?

44) Scrivere la forma generale del tensore d’inerzia per un sistema di

punti e spiegare il significato delle sue componenti in un’assegnata base

di Lin(E₃,E₃), con E₃ spazio euclideo delle traslazioni di uno spazio di punti

E₃.

45) Dare la definizione di isometria e quella di di traslazione. Servirsene

per dare la definizione di spazio affine di punti.

46) Dedurre dalla legge di composizione delle velocità il principio di

Galilei.

47) Dedurre la velocità areale di un punto in un moto piano generico.

48) Dare la definizione di momento d’inerzia di un sistema rispetto ad un

punto o e dei suoi momenti assiali rispetto a tre assi ortogonali uscenti da o e

dimostrare che il primo è uguale alla semisomma dei secondi.

49) Dare la definizione di legge di forza e scrivere l’equazione della

dinamica per un punto materiale.

50) Dare la definizione del momento d’inerzia di un sistema piano

rispetto ad un punto o e dei suoi momenti assiali rispetto a due assi

ortogonali (del piano del sistema) uscenti da o e dimostrare che il primo

è uguale alla somma dei secondi.

51) Scrivere l’equazione del bilancio del momento della quantità di moto

per un sistema di punti materiali sia scegliendo come il polo il baricentro

che scegliendo come polo un punto fisso. !!!SOSTITUIRE LA X AL POSTO

DELLA R!!

52) Enunciare e dimostrare il teorema della potenza e dell’energia per

un punto materiale. Dare la definizione di potenziale. Che forma

assume il teorema del lavoro e dell’energia quando la forza deriva da un

potenziale? !!!SOSTITUIRE LA X AL POSTO DELLA R!!!

53) Che cos’è un moto di un corpo? !!!SOSTITUIRE LA X AL POSTO DELLA R!!!

54) Definire il triedro di Frenet associato ad ogni punto di una curva

biregolare dello spazio. !!!SOSTITUIRE LA X AL POSTO DELLA R!!!

55) Scrivere la legge di variazione del momento di un sistema di vettori

applicati al variare del polo, deducendola dalla definizione.

!!!SOSTITUIRE LA X AL POSTO DELLA R!!!

56) Scrivere il sistema fondamentale della dinamica di un punto in

termini di derivate dell’energia cinetica.

57) Scrivere e illustrare le condizioni sul lavoro virtuale delle reazioni

vincolari.

58) Definire la nozione di legge oraria e di diagramma orario e spiegare

perché il diagramma orario è diverso dalla traiettoria.

59) Scrivere la matrice delle componenti del tensore d’inerzia (non

importa se sul caso discreto o nel caso continuo), ed interpretare i

significati delle componenti ad indici uguali e delle componenti ad

indici diversi.

60) Definire la massa gravitazionale e spiegare perché essa coincide con

la massa inerziale.

61) Definire la nozione di forma lineare su uno spazio vettoriale.

62) Per un punto in moto circolare definire il versore tangente e il

versore normale alla traiettoria in ogni punto.

63) Dimostrare che i tensori doppi affini due volte (puramente)

trasformazioni lineari di * in .

controvarianti sono

64) Dare la definizione di pendolo semplice. Quante equazioni servono

per descrivere il moto?

65) Dare la nozione di traiettoria e dare un esempio.

66) Definire la forza peso.

67) Definire l’ordine di una ODE e quando questa si dice in forma

normale. Enunciare il teorema di esistenza di unicità locale di Cauchy.

68) Cos’è una forza posizionale? Che cos’è il potenziale di una forza?

69) Scrivere la condizione cinematica di rigidità per un sistema di punti,

e dedurne (1) l’equiproiettività dell’atto di moto, e (2) la forma dell’atto

di moto per un corpo continuo rigido in moto sferico.

70) Dimostrare le disuguaglianze di Cauchy-Schwartz, di Minkowski e

triangolare, e mostrare come la prima serva a definire la nozione di

angolo tra due vettori. Spiegare perché l’angolo così definito non è

orientato. Spiegare quale altra operazione deve introdursi in uno spazio

euclideo per dare un orientamento all’angolo.

CONTINUA…

71) Quando l’atto di moto si dice rotatorio e rotatorio uniforme?

72) Per un punto materiale vincolato a muoversi su una curva assegnata

fissa scrivere le equazioni intrinseche del moto.

73) Definire cos’è un tensore doppio semi-definito positivo e che cos’è

un tensore degenere

74) Dedurre l’espressione dell’invariante scalare dell’atto di moto rigido.

75) Definire la nozione di tensore euclideo.

76) Quando l’atto di moto si dice traslatorio e traslatorio uniforme?

77) Definire la nozione di Biduale di uno spazio vettoriale

78) Dimostrare che le trasformazioni lineari di E_n in E*_n sé sono tensori

doppi affini puramente covarianti, e che le trasformazioni lineari di E*_n

in E_n sono tensori doppi

79) Quando un moto di un punto si dice elicoidale? Come si scrivono le

equazioni di un moto elicoidale?

80) Definire la nozione di <<Rotolamento senza strisciamento>> o Puro

Rotolamento. Per un cilindro che rotola senza strisciare, qual è l’asse

istantaneo di rotazione? Perché?

Il Perché è ovvio andando a calcolare la velocità nel punto P che è 0

81) Definire l’ascissa curvilinea s su un arco di curva regolare e

dimostrare che la derivata rispetto a s della funzione che definisce la curva

è il versore tangente alla curva nel punto x(s).

82) Per un punto materiale vincolato a muoversi su una curva assegnata

fissa, scrivere le equazioni intrinseche del moto.

83) Dare la definizione di coordinate lagrangiane e scrivere le equazioni di Lagrange.

84) Scrivere l’espressione del tensore di inerzia di un corpo continuo rispetto a un polo 0,

e dimostrare la sua legge di variazione al variare del polo.