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WxWyw zCinematica inversa
1) Una volta ottenuta l'equazione cinematica sopra, utilizziamo l'intuizione algebrica considerando w e w per calcolare θ.x y 1 Che corrispondono a spallaa destra e spalla a sinistra.
2) Per calcolare θ utilizziamo l'intuizione geometrica (norma di w).3 Che corrispondono alle soluzioni congomito su e gomito giù (up and down)
3) Per ottenere θ utilizzo tutte e tre le equazioni (conoscendo θ ).2 3 Otteniamo quattro soluzioni, date dallacombinazione di questi parametri; θ1dà due soluzioni inerenti alla spalla adestra o sinistra, mentre θ altre due3inerenti a gomito in alto o in basso.
4) Spherical Wrist: direct kinematics, inverse kinematics (discutere la molteplicità dellesoluzioni), singolarità.Il polso sferico è formato da tre coppie rotoidali con assi incidenti.Cinematica diretta.Come già visto per i casi precedenti, identifichiamo:- Assi dei giunti- Posizione degli
assi z: z al telaio, z alla quarta3 4coppia, z alla quinta, z alla sesta (end effector).5 6
Posiziono gli assi x: x arbitrario, x arbitrario nel3 4verso ma ortogonale a z e z , x ortogonale a z e3 4 5 4z , ed infine x lo prendo ortogonale a z .5 6 5
Prendo y per chiudere la terna.
Per ridurre il numero di parametri diversi da zero:
- Il frame 3 è posizionato per avere O coincidente con O (d = a = 0)3 4 4 4 α;
- La direzione dell'asse z è tale per cui sia allineata con z in modo da avere a = = 0.6 5 6 6
I parametri di Denavit-Hartenberg saranno:
Matrice di trasformazione che descrive posizione ed orientamento del sistema i, rispetto all' i-1:
Come conseguenza della scelta dei frame, la matrice di rotazione che possiamo estrarre dalla matrice T coincide con la matrice di rotazione degli angoli di Eulero ZYZ.3,6
Cinematica inversa.
A differenza dei casi visti precedentemente in cui lavoravamo sulla parte traslazionale, qui consideriamo la parte rotazionale della
matrice.La soluzione è definita solamente se θ ≠ 0 e θ ≠ π/2
Se θ = 0 o π, le soluzioni per θ e θ non sono definite (conosciamo solamente la loro somma o la loro differenza, cioè θ + θ e θ – θ). Il polso in tale configurazione è singolare.
Singolarità.Le singolarità in un polso sferico si verificano quando i tre vettori unitari k , k , k (direzioni assi coppie rotoidali) diventano linearmente dipendenti. Sulla base della disposizione cinematica che abbiamo dato agli assi delle articolazioni del polso, questo accade quando k e k si allineano, ovvero, come detto sopra, quando θ = 0 oppure θ = π. In queste configurazioni il polso subisce una perdita di mobilità, cioè non possiamo stabilire se l’orientamento del membro 6 è prodotto dalla rotazione del giunto 4 o del giunto 6.Inoltre, non è possibile generare alcuna
rotazione dell'organo terminale attorno ad un asse che sia contemporaneamente ortogonale a k o k , causando una perdita di mobilità del manipolatore.- Questa configurazione di singolarità avviene nello spazio di lavoro perciò è una configurazione piuttosto pericolosa, da evitare in fase di pianificazione della traiettoria.
- Anthropomorphic Arm: Giacobiano geometrico, singolarità.
- P-P P-P P-P
- 0 1 2
Risoluzione dettagliata su slides
Solo tre delle sei righe di questo jacobiano geometrico sono linearmente indipendenti.
Poiché il manipolatore ha 3 gradi di libertà, è ragionevole considerare solo la parte superiore (3x3) della matrice del jacobiano (che descrive la relazione tra la velocità dei giunti e la velocità dell'organo terminale).
Considerando le velocità dell'organo terminale:
Notiamo che le componenti ω e ω sono linearmente indipendenti, cioè il braccio non consente di
Per ottenere una velocità angolare arbitraria, è possibile ruotare attorno all'asse z e z, ma non attorno a un asse che sia ortogonale sia a z che a z. Non è quindi possibile generare una qualsiasi velocità dell'organo terminale.
Singolarità (braccio antropomorfo). Ricorda la regola del determinante: metti a destra di questa matrice le prime due righe della matrice stessa.
Membri 2 e 3 allineati
Membri 2 e 3 sovrapposti
W sta sull'asse della prima coppia (z)
La prima singolarità ottenuta viene definita singolarità di gomito e si verifica quando il braccio è disteso (θ = 0) o retratto (θ = π), quindi con l'asse x allineato con x.
Queste configurazioni corrispondono a posizioni sul confine dello spazio di lavoro.
Questa singolarità porta ad una perdita di mobilità, all'incapacità di generare velocità nella direzione x x.
La seconda singolarità viene definita come
relazione tra Giacobiano analitico e geometrico, esempio nel caso in cui l'orientamento sia rappresentato mediante la terna di angoli di Eulero ZYZ. Il legame che c'è tra le velocità di giunto e la velocità dell'organo terminale può essere ottenuto oltre che per via geometrica (jacobiano geometrico), per via analitica (jacobiano analitico).
p: descrive la posizione del frame dell'EE rispetto al frame di base
φ: descrive l'orientamento del frame dell'EE rispetto al frame di base
Un altro set di equazioni di velocità può quindi essere ottenuto derivando tale relazione cinematica: in cui J è il jacobiano analitico
Relazione jacobiano geometrico e analitico.
La parte posizionale dei due jacobiani risulta essere la stessa (relazioni di velocità identiche), mentre per quanto riguarda la parte di orientazione differiscono (differisce la velocità angolare).
Per trovare il valore di J partiamo
considerando la matrice di orientamento (funzione di φ), φ, scrivendo la relazione tra la matrice e ω. Note J e J possiamo studiare le singolarità del manipolatore (poiché si studiano analizzando il determinante dello jacobiano). Utilizzando lo jacobiano geometrico, det(J) = 0, quando si fa riferimento a quantità (velocità, forze/coppie) con significato fisico. Se usiamo il jacobiano analitico, det(J) = 0, ci riferiamo a quantità di variabili differenziabili (posizione ed orientamento), definite nello spazio operativo. Per non avere un risultato che dipende dalla tipologia di rappresentazione usata per descrivere l'orientamento, utilizziamo lo Jacobiano geometrico. Orientamento mediante terna ZYZ di Eulero. Come già visto, secondo l'orientamento ZYZ di Eulero, la posizione finale rispetto alla terna iniziale si ottiene mediante tre rotazioni elementari attorno agli assi Z, Y, Z. Possiamo ottenere una relazione tra ω eφ’ (indico così la derivata) grazie alla matrice di rotazione.φ’ θ’ ψ’
La velocità angolare della terna S’’’ rispetto la terna S è data dalla somma di 3 vettori: il primo chedefinisce la velocità angolare della terna S’ rispetto la terna S, il secondo definisce il vettorevelocità angolare della terna S’’ rispetto la terna S’ e l’ultimo che definisce la velocità angolaredella terna S’’’ rispetto la terna S’’. all’interno dei vettori
Con questo metodo riusciamo a legare ω dell’organo terminale con φ’:velocità saranno presenti le componenti derivate dei tre angoli di Eulero cheφ’compongono il vettore . dove,
Il problema diretto tale per cui conosco φ’ e voglio trovare ω é sempre risolvibile; mentre ilproblema inverso è risolvibile solo quando la matrice
Θ è invertibile, cioè quando θ è diverso da 0 oppure π (dato che il determinante della matrice è -sinθ).
Nonostante tutte le velocità di rotazione dell'EE possano essere descritte mediante un opportuno vettore velocità angolare ω, esistono velocità angolari che non possono essere rappresentate in termini di φ' quando l'orientamento dell'EE causa sin(θ) = 0.
Se θ = 0, π si avrà: In questa condizione, quindi, non è possibile generare qualsiasi velocità dell'organo terminale, ma soltanto quelle che danno componenti di ω x e y che sono dipendenti tali per cui (direzione ortogonale all'asse z):
Un orientamento φ dell'EE tale per cui il determinante della matrice di trasformazione Θ(φ) è nullo viene definito come una singolarità detta singolarità di rappresentazione.
Si distingue dalla singolarità
reale del manipolatore per il fatto che la singolarità reale coincide con una perdita di un grado di libertà del sistema, una perdita di movimento, mentre per quella di rappresentazione abbiamo l'impossibilità di esprimere la velocità dell'organo terminale in funzione di φ'.
Dal punto di vista fisico, il significato di ω è più intuitivo rispetto a φ':
- Le tre componenti di ω rappresentano le componenti ortogonali della velocità angolare dell'organo terminale rispetto al riferimento di base;
- I tre elementi di φ' rappresentano le componenti della velocità angolare dell'organo terminale, ottenute su proiezioni di assi non ortogonali, rispetto al frame di base.
27) Manipolatori ridondanti: definizione,
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