Dinamica dei fluidi

DINAMICA

V₀ - volume di controllo

V(t) - volume materiale al tempo t

B - grandezza estensiva

b - grandezza intensiva associata a B

Teorema del trasporto di Reynolds

dB/dt = lim_Δt→0 [B(t+Δt) - B(t)] / Δt = d/dt ∫_V(t) ρb dV = ∫_V(t) ρ [db/dt] dV + ∫_V(t) b [d(ρV)/dt] dV

V(t) = V(t)₀ + V₁

V(t+Δt) = V(t)₀ + V₂

Separazione dei volumi di controllo V₀ rispetto allo spazio e confronto con il volume materiale dopo piccolo spostamento.

∫_V0 ρ(b) dV = ∫_V0 ρ(u) dV = (∂/∂t) ∫_V(t) ρ(b) dV + ∫_V(t) b (∂ρ/∂t) dV

d/dt = ∫_tf ∫_V(t) d(b/t) [dV = dV_m]

dB/dt = d/dt ∫_V(t)0 ρ(b) dV + ∫_V(t)1 (ρv₁) (b) n_u dS

CONSERVAZIONE DELLA MASSA

M - B

_dM/_dt ^V ∫_V ρ _dV + ∫^S ρ _dA · _n = 0

dV/dt + ∂ ≤ /∂t∫_V(ρ m) _dV = 0

Forma differenziale

DF/Dt + ρ∇·VdV=0

DP/Dt + VdV/Dx + dXdr = 0

Forma generale

Se il fluido è incomprensibile ∇·V = 0

1/∫ p(C−T) < A >A

β/2∇·V < →V_τ·dS = 1/2∇·VdV

Flusso incomprensibile

Posso definire S_Γ·J ≠ ∫ S

Per la formula quando ho superficie posso scrivere suggerimenti e scrivere

1. Posso scrivere l'equazione delle masse
2. Flusso uniforme sulla superficie sa

In realtá se il fluido è incomprensibile

Sostituo a allego la forma differenziale

d(Pξ) / dt + ∇(Pξ·u) = -∇(p·ξ+τ·ξ)·u + ξ·(λ∇T) + ρφ

Forma Lagrangiana

dE / Dt = P·de / dt + ∇(U·Tξ)

Applicazioni

• ξ = ν²/2 + I

→ D(E / Dt) - D(ν²/2) / Dt = -D(λ²/2) / Dt

P·D(I) / Dt + D/ Dt (ν²/2) = -∇p·U + ρξφ + τ : ∇U - (λ∇T)·U

Forma Lagrangiana

ρ·Dξ / Dt = ρ·de / dt + ∇(P·m) + ∇(τ·ξ)·u + ∇(λ∇T) + ρφ

ρ·Dξ / Dt = -∇(p·U) + ρξφ + ∇λ (λ∇T)·U + ρφ

S(_h)ds - S(_x)(x nds - S(_y)ŷ•ds - S(_z)ẑ•ds = (L - x)⟨n ds

S(_n) = [ S(_x)_x + S(_y)ŷ + S(_z)ẑ ] ŷ•n

lo stato tensionale in un punto e determinato da un tensore: ci sono 3 superfici,

ρί su x, ŷ su ỹ, ẑ su ž Quindi se conosco S_x, S_y, S_z, allora conosco per

intero lo stato di sforzo per qualsiasi superficie dell'oggetto di costrucci (proieti internt)

• S_x(x) S_x(y) S_x(z)
• S_y(x) S_y(y) S_y(z)
• S_z(x) S_z(y) S_z(z)

(T_is e la componente lungo l'assa dello zosse neoom dea su ỹr=axuse ỹ)

Cioè su ogni eco pieta nel pia

gere acompto lungo x, ỹ, ž cioe uno. S_x, S_y, S_z non gromo di queh stoix

produtim una faze slooppletto de si scoppero lungo x, ỹ, ž cioce S_x, S_y, S_z gencaun

ogane lo un operare talmatda degli efetti diversi su ưka osse. (tibial ved con epsilon esquec)

S_x, S_y, S_z fecemo l parodle scudao di ogare vesore x, ỹ, ž con n).

Utilizzo l'equazione di Bernoulli

passiva misurazione delle

TUBO DI PITOT

Serve per misurare la velocità di una corrente fluida.

- Misuro la differenza di pressione tra due punti.

Nel punto 1 ho il punto di ristagno, dove la

velocità si annulla (v₁ = 0) e ho una pressione di ristagno.

Questo perché:

^{(Pe + ζ₁ + 1}) = (p₂ + ζ₂ + z₂)

cioè la pressione in 1 deve essere quella relativa

alla velocità che in 1 non c’è più.

Se scrivo l'equazione di Bernoulli per 1 e 2:

P₁ + z₁ = P₂ + z₂ + md/z

P₁ = P₂ + (M₂²/2)

M₁ = 0 ; P₁ = P₂ ; M₂ = M

M = √2(P₁ - P₂)

Cioè leggendo le pressioni nei due punti

posso ricavare la velocità del fluido incontrollato.

(NB. Debbo saper determinare la posizione bene il tubo spesso è utilizzato anche per prelievi)

TUBO DI VENTURI

In 2 diminuisce la pressione

Con un manometro differenziale riesco a misurare due pressioni, sono in grado di calcolare

la velocità del fluido:

p₁ = ζ₁ ( (A₂/A₁)² - P₂ = M₂²/2

P₁ = P₂ + (M₂²/2)

M₂ = √2(P₁ - P₂/e) / (1 - (A₂/A₁)²)

M1 || lato Diverg. È più graduale, quello converge per il tubo è pubblico

Soluzioni Esatte Equazioni di Navier-Stokes

Dato un fluido _{((d 3)}, (di un fluido ab, un componente di accelerazione non stampata ed un componente)

Facciamo le ipotesi.

• P = po_pd
• Flusso Incomprensibile d_x
• Flusso Simmetrico d_x

Flusso tra due lamine parallele.

• Flusso uniforme == 0
• Lamine infinite estendo z

Esercizio

I 10

Q₁ 10 * 1/3 ls

Q₂ 5lt/1 ls

La pompa si crea vuoto quando h=0 P_p=9,4 * 0,5 bar

Lo sforzo viene perso quando lo tubo_p Pr=0,4672_p→Pr=4 + Pt = P_sub>fp

C. dire si costante d’un altezza costante

Derivata che per (1 * 3600) - dP/dV

Ustallanza P_v int₀ dD_e

P₁= ^D₂

Cose utile P= (10,1 -9,4) J

Cioe quella che tempo forte per tempo forte

1. P₀l⁴= 0,5,2 semi
2. Due Plot _{10 & 8}12,8

Potrebbe potremmo scrivere la pressione come una funzione lineare:

\[\frac{\partial p}{\partial x} = -\mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\quad \rightarrow \quad u = \frac{1}{\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\] integrando

\[u = \frac{1}{\mu}\frac{\partial p}{\partial x}(\frac{y^2}{2} - b) + A\]

Dove che \[A\equiv 0\] alendo le condizioni al contorno.

\[M_x(t=0) = fint\quad\rightarrow\quad \frac{dp}{dx} = \frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}R^2+ B\]

M_x(t>0) = \[fint\quad \rightarrow\quad \frac{dp}{dx} = \frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}R^2 +B\]

\[ M_x(t)= -\frac{dp}{dx}\frac{(R^2-y^2)}{2\mu}\]

Quindi, per avere un profilo di velocità positivo, il gradiente di pressione deve essere negativo

quando \[\frac{dp}{dx}