Definizioni 2 fondamentali per Fondamenti di algebra lineare e geometria

appello

Definizioni 02/1/23

1. Enunciare il teorema sul numero di scambi in cui si scompone una permutazione.

Ogni permutazione è composizione di un numero finito di scambi. Se una permutazione

σ è ottenibile come composizione di un numero pari [risp. dispari] di scambi, allora ogni

espressione di σ come composizione di scambi ne contiene un numero pari

[risp.dispari].

2. Definire il determinante di una matrice quadrata.

Il determinante di una matrice quadrata A = (aij) M(n × n, K) è

∈

I

detA= sono a

o amo

a .... e

3. Enunciare la formula di Laplace (sviluppo del determinante secondo una riga o una

colonna).

Per ogni A = (aij) M(n × n, K) e i {1, 2, …, n} vale: det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … +

∈ ∈

ainAin. -1)"T

His det cr(n k

Mij 1 m 1

= - -

, ,

4. Enunciare la formula per l'inversa di una matrice quadrata.

Se A M(n × n, K) è invertibile, allora

∈

= A

A Matrice Cofallor

Ax di

=

5.Definire la nozione di endomorfismo diagonalizzabile.

Un endomorfismo L di VK si dice diagonalizzabile se esiste una base B di VK tale che

Alo - sia diagonale.

6. Definire le nozioni di autovalore e di autovettore di un endomorfismo

di uno spazio vettoriale.

Sia L un endomorfismo di VK. Se v V soddisfa

∈

L(v) = λv,

v ≠ 0,

λ K

∈

allora v si dice autovettore di L e λ si dice autovalore di L associato a v.

7. Definire la nozione di autospazio di un endomorfismo.

Se L è un endomorfismo di VK e λ è un autovalore di L, l’autospazio di L relativo a λ è

EL(λ) = {v V | L(v) = λv}.

∈

8. Definire la nozione di matrice diagonalizzabile.

Una matrice A M(n × n, K) si dice diagonalizzabile su K se esiste una matrice C M(n ×

∈ ∈

/

n, K) invertibile, tale che CAC sia diagonale.

-

9. Definire le nozioni di autovalore ed autovettore di una matrice quadrata.

Data una matrice A M(n × n, K), se AX = λX, X ≠ On×1, allora X è un autovettore di A e λ è

∈

l’autovalore di A associato ad X.

10. Descrivere le equazioni parametriche di un piano nello spazio.

E l't

lt

Yo

X +

+

= t

mit eIR

t

mt

Y No +

+

= ,

&

n't

nt

fo +

= +

= mn)

rk(

Inoltre =

: , m'n'

11. Descrivere le equazioni cartesiane di una retta nello spazio

6

by

S ax c

+ + + 0

=

d

6 c

ax = +

y 0

+

+ = I

2k/

Inoltre =

:

12. Descrivere la relazione tra forme bilineari simmetriche b : V × V K e matrici simmetriche

→

in M(n × n,K), con n = dim(VK) finita (`e sufficiente considerare il caso V = Kn).

(Corrispondenza tra fbs e matrici simmetriche).

(i) Se b `e una fbs in Kn, allora esiste una matrice A M(n×n,K)

∈

simmetrica, tale che: (29.7)

Au

Vu =K (y

<(y =

n : 0

-

- ,

,

(ii) Viceversa, per ogni matrice A M(n × n, K ) simmetrica, la

∈

(29.7) definisce una fbs b in Kn.

(iii) In ciascuno dei casi precedenti, posto A = (aij), vale

cei/ej)) i ( 29.8)

1

aij n

2

5

= = , .

. . .

,

dove denota l’i-esimo vettore della base naturale di Kn, i = 0,1,...,n

Ci

La matrice A in (29.8) si dice matrice associata alla fbs b.

13. Definire la nozione di prodotto scalare ordinario in Rn.

Il prodotto scalare ordinario in Rn si definisce ponendo:

Vai yy-

=(R 4

u

:

y . =

=

-

,

14. Definire la nozione di angolo tra due vettori in uno spazio vettoriale

euclideo.

Dati due vettori non nulli u1 e u2 in uno spazio vettoriale euclideo, l’angolo da essi

formato è:

- occu

- =

15. Definire la nozione di prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale

Un prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale `e una forma

bilineare simmetrica definita positiva.

16. Definire la nozione di base ortonormale in uno spazio vettoriale euclideo di dimensione n.

Una base B = v1, v2, . . . , vn di uno spazio vettoriale euclideo VR `e ortonormale se

Ford

#15 2 n

1 :

= , ...

17. Definire la nozione di matrice ortogonale di ordine n

Definizione 31.10. Una matrice ortogonale d’ordine n `e una matrice H M(n × n, R) tale che

∈

T

H H = In.

18. Definire la nozione di ortogonale di un sottospazio in uno spazio vettoriale euclideo.

Definizione 31.7. Dato un sottospazio W di uno spazio vettoriale euclideo VR, il suo

(complemento) ortogonale `e:

WE EzeV/ ol

W novx

=