Definizioni 2 fondamentali per Fondamenti di algebra lineare e geometria

Appello definizioni

Teorema sul numero di scambi

Ogni permutazione è composizione di un numero finito di scambi. Se una permutazione σ è ottenibile come composizione di un numero pari [risp. dispari] di scambi, allora ogni espressione di σ come composizione di scambi ne contiene un numero pari [risp. dispari].

Determinante di una matrice quadrata

Il determinante di una matrice quadrata A = (a_ij) M(n × n, K) è indicato come det A.

Formula di Laplace

Per ogni A = (a_ij) M(n × n, K) e i ∈ {1, 2, …, n} vale: det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin.

Matrice inversa

Se A M(n × n, K) è invertibile, allora può essere rappresentata attraverso la matrice dei cofattori e l'inversa può essere calcolata di conseguenza.

Endomorfismo diagonalizzabile

Un endomorfismo L di V_K si dice diagonalizzabile se esiste una base B di V_K tale che la rappresentazione di L rispetto a B sia una matrice diagonale.

Autovalore e autovettore

Sia L un endomorfismo di V_K. Se v ∈ V soddisfa L(v) = λv e v ≠ 0, λ ∈ K, allora v si dice autovettore di L e λ si dice autovalore di L associato a v.

Autospazio

Se L è un endomorfismo di V_K e λ è un autovalore di L, l’autospazio di L relativo a λ è E_L(λ) = {v ∈ V | L(v) = λv}.

Matrice diagonalizzabile

Una matrice A M(n × n, K) si dice diagonalizzabile su K se esiste una matrice C M(n × n, K) invertibile, tale che C^-1AC sia diagonale.

Autovalore ed autovettore di una matrice quadrata

Data una matrice A M(n × n, K), se AX = λX, X ≠ 0_n×1, allora X è un autovettore di A e λ è l’autovalore di A associato a X.

Equazioni parametriche di un piano

Le equazioni parametriche di un piano nello spazio sono date da relazioni lineari tra variabili che descrivono la loro combinazione in modo parametrico.

Equazioni cartesiane di una retta

Le equazioni cartesiane di una retta nello spazio sono solitamente rappresentate da relazioni del tipo ax + by + cz + d = 0.

Relazione tra forme bilineari simmetriche e matrici simmetriche

Se b è una forma bilineare simmetrica (fbs) in Kⁿ, allora esiste una matrice simmetrica A M(n × n, K) tale che b è rappresentata da A. Viceversa, ogni matrice simmetrica definisce una fbs.

Prodotto scalare ordinario

Il prodotto scalare ordinario in Rⁿ è definito come la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti di due vettori.

Angolo tra due vettori

Dati due vettori non nulli u₁ e u₂ in uno spazio vettoriale euclideo, l’angolo da essi formato è determinato attraverso il loro prodotto scalare.

Prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale

Un prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale è una forma bilineare simmetrica definita positiva.

Base ortonormale

Una base B = {v₁, v₂, ..., v_n} di uno spazio vettoriale euclideo V_R è ortonormale se ogni vettore è di norma 1 e ogni coppia di vettori è ortogonale.

Matrice ortogonale

Una matrice ortogonale di ordine n è una matrice H M(n × n, R) tale che H^TH = I_n.

Ortogonale di un sottospazio

Dato un sottospazio W di uno spazio vettoriale euclideo V_R, il suo ortogonale è il complemento rispetto a V_R di W.