Costruzioni di strade, ferrovie e aeroporti 1

Equazione della clotoide passante per due punti

Consideriamo l’equazione della clotoide passante per due punti. L’equazione è data da: e 01 1( ) − ( ) 1 0 = 2 − 0. Si ipotizza che lungo questo ramo di clotoide viaggi un veicolo a moltiplico primo e secondo.

Espressione fisica della clotoide

Al posto di scriverò: ' − 02 2 ( ) − ( ) 3 0 c=' 2t. Questa espressione, da un punto di vista fisico, dice che la variazione di accelerazione trasversale lungo la clotoide varia linearmente con il tempo: 2 2 − =• 0. Dove con c si indica il contraccolpo, quindi la variazione di accelerazione trasversale nel tempo presenta un limite superiore: ; 50,4 = [ ] Ω. Non vogliamo che il contraccolpo abbia valori eccessivi, quindi possiamo ricavare l'espressione di eguagliando: 3 450,4 =√= →2 50,4.

Criterio costruttivo della clotoide

Consideriamo per ora la clotoide di transizione, ovvero la curva che raccorda un rettifilo a una curva circolare. Nel rettifilo ho la pendenza, o configurazione della piattaforma, a doppia falda con ciascuna falda in contro pendenza per lo smaltimento delle acque. 2,5%

Però successivamente, in curva, la piattaforma assume una configurazione diversa a unica falda, con una pendenza trasversale genericamente chiamata, dettata dal raggio della curva stessa. Quindi, per passare dalla configurazione in rettifilo alla configurazione in curva, ho delle linee di estremità della carreggiata che devono subire una sovra pendenza per unire la configurazione iniziale in rettifilo alla configurazione finale in curva circolare; questa variazione di tutta la configurazione della piattaforma avviene lungo la clotoide, perché nel rettifilo e nella curva circolare la pendenza trasversale è costante mentre nella clotoide essa varia.

Quindi, inizialmente ho una pendenza a doppia falda, mentre successivamente, curvando a sinistra, il ciglio destro si innalza gradualmente. Il ciglio si porta a una pendenza trasversale pari allo 0%. Dopo di ché continua a ruotare e si porta allo 2,5% allineandosi in un’unica falda al ciglio che rimane inizialmente fermo, dopo di ché tutta la piattaforma ruota fino al raggiungere la pendenza finale della curva circolare.

Chiamiamo la distanza fra l’asse di rotazione e il ciglio che si solleva nella sua configurazione iniziale. Se fossimo in un rettifilo potremmo calcolarci le quote, perché avremmo a che fare con dei triangoli rettangoli. La quota del ciglio che si sta innalzando nella configurazione iniziale sarà pari a: Ω = • = • 0,025

Se invece volessi conoscere la quota del ciglio di destra rispetto all’asse di rotazione nella sua configurazione finale questa sarà pari a: (Ω ), Ω = •

Costanza della sovra pendenza longitudinale

Per dimostrare la costanza di Δ (sovra pendenza longitudinale), è necessario fare alcune ipotesi per la clotoide, ovvero: = +. Cioè, il rapporto tra l’aliquota dell’accelerazione trasversale compensata dalla pendenza trasversale e l’accelerazione trasversale totale risulta essere costante.

Con: Aliquota dell’accelerazione trasversale compensata dalla pendenza trasversale = aliquota dell’accelerazione trasversale compensata dall’aderenza trasversale =

Si è visto come l’accelerazione totale trasversale vari linearmente nel tempo, quindi il denominatore farà altrettanto; questo significa che anche il numeratore dovrà fare altrettanto (l’unica variabile che compare nell’espressione di Δ è Allora: ).

Equazione della clotoide per due punti

Ricordando l’equazione della clotoide passante per due punti: 1 1 1 1( ) − ( ) ( ) − ( )1 1 0 0= → =ΔΩ

Risulterà: + ( ) =√ 1 Δ • 100

Criterio ottico

È quel criterio che fa sì che la clotoide venga perfettamente percepita dall’utente. Questo criterio parte dal presupposto che la clotoide, per essere percepita correttamente, deve svilupparsi per almeno un angolo di deviazione pari a 1/3 che espressi in radianti sono 3°, 18.

Allora: 2 2 1 = → = 2 22 • 18 2 •

Esplicitando A risulta: 22 • √ = = 18 3

Questo criterio impone un limite superiore pari a = in maniera tale che anche la curva circolare sia percepita. Quindi questo criterio mi dice che: ≤≤329

Affinché la curva circolare sia correttamente percepita, deve essere percorsa a una velocità di progetto pari a un tempo di 2,5 secondi.

Definizione del parametro A in funzione della velocità di sterzatura

Un’altra proprietà della clotoide è che la velocità di sterzatura è costante. Consideriamo un arco di clotoide e un veicolo che la sta percorrendo. Consideriamo i seguenti elementi:

• P: Passo del veicolo
• Angolo di sterzatura

Risulterà: = Partendo dall’equazione della clotoide passante per due punti ottengo che: •̇ = velocità di sterzatura

Abbiamo dimostrato come la velocità di sterzatura sia una quantità costante lungo la clotoide. •=√ ̇

Inserimento della clotoide in un nuovo tracciato

Nel progetto di una nuova strada, l’elemento di input è la curva circolare; una volta studiata l’orografia del territorio, si disegna un andamento qualitativo delle curve, quindi:

• Predimensiono il raggio
• Calcolo la pendenza trasversale

Scegliere come posizionare la clotoide significa dare un’indicazione di quelle che saranno le direzioni dei rettifili che vengono raccordati a questa curva. Se ho scelto la posizione di questi elementi, sostanzialmente ciò che conosco saranno gli scostamenti che non sono altro che le distanze Δ e Δ1 2 tra rettifili e curva circolare.

Dimensionare la clotoide

Per predimensionare la clotoide devo calcolarmi il parametro di scala, essendo note Δ e Δ1 2. Un primo valore di A che può essere utilizzato è sicuramente l’A geometrico. Quindi avrò un parametro di scala riferito al rettifilo 1 e uno riferito al rettifilo 2:

3 Δ 3 Δ4 41 2√24 √243 3 = • • Δ (1 + • ) = • • Δ (1 + • )1 1 2 214 14

Dove: 1 < Δ < 5 Dove non lo si fa minore di perché non si riuscirebbe a disegnare la clotoide, e non lo si fa maggiore 1 di perché altrimenti risulterebbe troppo tortuoso disegnare il tracciato. 5

Criteri di dimensionamento della clotoide

Per quanto riguarda i criteri utilizzeremo tutti quelli citati in normative, ovvero:

• A dinamico 2 2 = 0,021 • = 0,021 • 1 2
• A costruttivo 100 • • + 100 • • + ( ) ( ) √ √ = =1 2Δ Δ
• A ottico ≤ ≤ ≤ ≤ 1 23 3

Solitamente, quando si ha una clotoide in ingresso ed una in uscita, si considera il parametro di scala in ingresso uguale a quello in uscita. Naturalmente userò il valore che verifica tutti i criteri, compreso quello geometrico; di conseguenza sarà il valore più grande che verifica l’A geometrico, l’A dinamico, l’A costruttivo e l’A ottico ma che sia chiaramente inferiore al limite superiore che è imposto dal criterio ottico.

N.B. Se sto considerando due parametri diversi per la clotoide in ingresso e quella in uscita (≠), dobbiamo verificare, una volta scelti i parametri di scala, che il rapporto tra questi risulti: 2 3