Costruzioni di strade, ferrovie e aeroporti 1

Consideriamo l’equazione della clotoide passante per due punti , l’equazione è data da:

e

0

1 1

( ) − ( ) 1

0 = 2

−

0

Si ipotizza che lungo questo ramo di clotoide viaggi

un veicolo a moltiplico primo e secondo

= ,

membro per :

3

3 3

( ) − ( ) 3

0 = 2

−

0

Al posto di scriverò :

′

−

0

2 2

( ) − ( ) 3

0 c

=

′

2

t

Questa espressione da un punto di vista fisico dice che la variazione di accelerazione

trasversale lungo la clotoide varia linearmente con il tempo :

2 2

− =∙

0

Dove con c si indica il contraccolpo, quindi la variazione di accelerazione trasversale nel tempo

Presenta un limite superiore:

; 50,4

= [ ]

ℎ

Non vogliamo che il contraccolpo abbia valori eccessivi, quindi possiamo ricavare l'espressione

di eguagliando:

3 4

50,4

=√

= →

2

50,4

Per cui risulterà che:

2

= ∙ 0,021 =

[ ]

ℎ

- Criterio costruttivo (o di limitazione della sovra pendenza longitudinale delle linee di

estremità della carreggiata)

Consideriamo per ora la clotoide di transizione, ovvero la curva che raccorda un rettifilo ad una

curva circolare. Nel rettifilo ho la pendenza, o configurazione della piattaforma, a doppia falda

con ciascuna falda in contro pendenza a per lo smaltimento delle acque.

2,5%

26

Però successivamente in curva la piattaforma assume una configurazione diversa ad unica

falda, con una pendenza trasversale genericamente chiamata , dettata dal raggio della curva

stessa.

Quindi per passare dalla configurazione in rettifilo alla configurazione in curva ho delle linee di

estremità della carreggiata che deve subire una sovra pendenza per unire la configurazione

iniziale in rettifilo alla configurazione finale in curva circolare; questa variazione di tutta la

configurazione della piattaforma avviene lungo la clotoide, perché nel rettifilo e nella curva

circolare la pendenza trasversale è costante mentre nella clotoide essa varierà.

Quindi inizialmente ho una pendenza a doppia falda, mentre successivamente, curvando a

sinistra, il ciglio destro si innalza gradualmente. Il ciglio si porta ad una pendenza trasversale

pari allo Dopo di ché continua a ruotare e si porta allo allineandosi in un’unica falda

0%. 2,5%

al ciglio che rimane inizialmente fermo, dopo di ché tutta la piattaforma ruota fino al raggiungere

la pendenza finale della curva circolare.

Chiamiamo la distanza fra l’asse di rotazione ed il ciglio che si solleva nella sua

configurazione iniziale.

Se fossimo in un rettifilo potremmo calcolarci le quote, perché avremmo a che fare con dei

triangoli rettangoli. La quota del ciglio che si sta innalzando nella configurazione iniziale sarà

pari a: ℎ = ∙ = ∙ 0,025

Se invece volessi conoscere la quota del ciglio di destra rispetto all’asse di rotazione nella sua

configurazione finale questa sarà pari a:

(ℎ ),

ℎ = ∙

con: ∆ℎ = ℎ + ℎ = ∙ + ∙ = +

( )

27

Per dimostrare la costanza di (sovra pendenza longitudinale) è necessario fare alcune ipotesi

∆

per la clotoide, ovvero: =

+

Cioè, il rapporto tra l’aliquota dell’accelerazione trasversale compensata dalla pendenza

trasversale e l’accelerazione trasversale totale risulta essere costante. Con:

( + )

aliquota dell’accelerazione trasversale compensata dalla pendenza trasversale

= aliquota dell’accelerazione trasversale compensata dall’aderenza trasversale

=

Si è visto come l’accelerazione totale trasversale vari linearmente nel tempo, quindi il

denominatore farà altrettanto; questo significa che anche il numeratore dovrà fare altrettanto

(l’unica variabile che compare nell’espressione di è Allora:

).

∆ℎ

∆ =

′

Ricordando l’equazione della clotoide passante per due punti:

1 1 1 1

( ) − ( ) ( ) − ( )

1 1

0 0

= → =

∆ℎ

2 2

′

∆

Risulterà: +

( )

=√ 1 ∆

∙

100

Risulterà: 18 ∙

⁄

∆ = % [ = ℎ ]

Mentre, per la clotoide di continuità non cambia il perché queste raccordano due curve

∆ℎ,

circolari che girano nello steso verso e se il raggio della curva è più piccolo del raggio vorrà

2 1

dire che anche . Riprendendo l’equazione della clotoide passante per due punti:

>

2 1 1 1 1 1

( ) − ( ) ( ) − ( )

1 1

0 0

= → =

∆ℎ

2 2

′

∆

28

Esplicitando A risulterà: −

( )

=

√ ∆

1 1

( − )

100

Per quanto riguarda le clotoidi di flesso, (clotoide che raccorda due curva che girano in senso

opposto) avrò una prima curva che gira a destra e dopodiché una seconda che gira a sinistra, la

piattaforma man mano ruota per portarsi ad una pendenza con segno diverso al precedente; si

raggiungerà una sezione trasversale in cui la pendenza della piattaforma è pari allo 0%

(orizzontale) con = 0.

Sostanzialmente, quando vado a verificare il criterio costruttivo per una clotoide di flesso devo

scindere la A prima per un ramo e poi per l’altro. Quindi avrò:

Primo ramo:

o (− )

=

√ 1 ∆

(− )

100

Secondo ramo:

o ( )

=

√ 1 ∆

( )

100

- Criterio ottico

È quel criterio che fa si che la clotoide venga perfettamente percepita dall’utente. Questo

criterio parte dal presupposto che la clotoide per essere percepita correttamente deve

1

svilupparsi per almeno un angolo di deviazione pari a che espressi in radianti sono

3°, .

18

Allora: 2 2

1

= → =

2 2

2 ∙ 18 2 ∙

Esplicitando A risulta: 2

2 ∙

√

= =

18 3

Questo criterio impone un limite superiore pari ad in maniera tale che anche la curva

= ,

circolare sia percepita. Quindi questo criterio mi dice che:

≤≤

3

29

Affinché la curva circolare sia correttamente percepita deve essere percorsa ad una velocità di

progetto pari ad un tempo di 2,5 secondi.

Definizione del parametro A in funzione della velocità di sterzatura

Un’altra proprietà della clotoide è che la velocità di sterzatura è costante. Consideriamo un arco di

clotoide ed un veicolo che la sta percorrendo. Consideriamo i seguenti elementi:

- P passo del veicolo

- angolo di sterzatura

Risulterà:

=

Partendo dall’equazione della clotoide passante per due

punti ottengo che:

∙

̇ = = velocità di sterzatura

2

Abbiamo dimostrato come la velocità di sterzatura sia una quantità costante lungo la clotoide.

∙

=√ ̇

Inserimento della clotoide in un nuovo tracciato

Nel progetto di una nuova strada l’elemento di input

è la curva circolare; una volta studiata l’orografia del

territorio, si disegna un andamento qualitativo delle

curve, quindi:

- Predimensiono il raggio

- Calcolo la pendenza trasversale

30

Scegliere come posizionare la clotoide significa dare un’indicazione di quelle che saranno le direzioni

dei rettifili che vengono raccordati a questa curva. Se ho scelto la posizione di questi elementi,

sostanzialmente ciò che conosco saranno gli scostamenti che non sono altro che le distanze

∆ e ∆

1 2

tra rettifili e curva circolare.

Dimensionare la clotoide

Per predimensionare la clotoide devo calcolarmi il parametro di scala, essendo note , un

∆ e ∆

1 2

primo valore di A che può essere utilizzato è sicuramente l’A geometrico. Quindi avrò un parametro di

scala riferito al rettifilo 1 e uno riferito al rettifilo 2:

3 ∆ 3 ∆

4 4

1 2

√24 √24

3 3

= ∙ ∙ ∆ (1 + ∙ ) = ∙ ∙ ∆ (1 + ∙ )

1 1 2 2

14 14

Dove: 1 < ∆ < 5

Dove non lo si fa minore di perché non si riuscirebbe a disegnare la clotoide, e non lo si fa maggiore

1

di perché altrimenti risulterebbe troppo tortuoso disegnare il tracciato.

5

Per quanto riguarda i criteri utilizzeremo tutti quelli citati in normative, ovvero:

- A dinamico 2 2

= 0,021 ∙ = 0,021 ∙

1 2

- A costruttivo 100 ∙ ∙ + 100 ∙ ∙ +

( ) ( )

√ √

= =

1 2

∆ ∆

- A ottico

≤ ≤ ≤ ≤

1 2

3 3

Solitamente, quando si ha una clotoide in ingresso ed una in uscita, si considera il parametro di scala

in ingresso uguale a quello in uscita.

Naturalmente userò il valore che verifica tutti i criteri, compreso quello geometrico; di conseguenza

sarà il valore più grande che verifica l’A geometrico, l’A dinamico, l’A costruttivo e l’A ottico ma che sia

chiaramente inferiore al limite superiore che è imposto dal criterio ottico.

N.B. Se sto considerando due parametri diversi per la clotoide in ingresso e quella in uscita ( ≠ ),

1 2

dobbiamo verificare, una volta scelti i parametri di scala, che il rapporto tra questi risulti:

2 3