Riassunto esame Costruzioni di Strade, Ferrovie e Aeroporti, prof. Giuffrè

IL PARAMETRO A CHE SI DETERMINA DEVE ESSERE COMPRESO TRA

A < A < A

MIN MAX 37

XKE’ CURVE A RAGGIO VARIABILE ?

La necessità di raccordare gli elementi planimetrici con curvature differenti

tramite curve a raggio variabile (in particolare la clotoide) è dovuto a:

- CRITERIO DINAMICO: Limitare il contraccolpo c

- CRITERIO GEOMETRICO: consentire la graduale variazione della

pendenza trasversale della piattaforma

- CRITERIO OTTICO: migliorare la percezione della traiettoria del veicolo

in ingresso e uscita dalle curve circolari

RACCORDO RETTIFILO-CERCHIO

DETERMINAZIONE DI A

Noti: R raggio della curva circolare

• ΔR assegnato per tentativi (buona norma è ΔR ≈ 0,7-0,8 m e cmq tale che

• A < A < A )

MIN MAX

Si può ricavare

OTTENUTO A SI PROCEDE CON L’INDIVIDUAZIONE DELL’ORIGINE DELLA

CLOTOIDE:

Si trasla il rettifilo di ΔR, parallelamente a se stesso e verso l’esterno

• rispetto alla curva circolare

Si tira la parallela all’asse y (ortogonale al rettifilo) individuando E e G

• A partire dal punto G, per individuare l’origine O, si riporta lungo il rettifilo

• da raccordare un segmento di lunghezza

x = L/2

M

essendo L l’estensione totale dell’arco di clotoide che raccorda la curva

2 2

circolare e il rettifilo (dall’equazione della clotoide r*s=A L = A /R,



perché il punto di ascissa curvilinea s = L è il punto finale della clotoide

dove comincia la curva circolare a raggio costante R quindi per s = L si

ha r = R)

OTTENUTO COSI’ IL PUNTO INIZIALE DELLA CLOTOIDE BISOGNA TROVARE IL

PUNTO FINALE P DI ASCISSA CURVILINEA L (punto in cui la clotoide finisce e

comincia la curva circolare a raggio costante R) ATTRAVERSO LA

τ

DETERMINAZIONE DELL’ANGOLO E DEI VALORI DELLA TANGENTE LUNGA E

CORTA

Ricordando che: 38

• TANGENTE LUNGA

• TANGENTE CORTA

• COORDINATE CARTESIANE 39

Nel caso in cui, per vincoli di tracciato, non sia possibile lo spostamento dei lati

della poligonale d’asse, si procede alla determinazione della clotoide come

illustrato e successivamente si traslano la curva circolare e la clotoide della

quantità α

Δ=ΔR/sen

lungo la bisettrice dell’angolo di deviazione della poligonale d’asse

RACCORDO DI CURVE CIRCOLARI DI SENSO OPPOSTO

CLOTOIDE DI FLESSO

E’ detta clotoide di flesso il raccordo tra due archi di cerchio, esterni l’uno

all’altro, percorsi in senso opposto 40

E’ fissata la posizione di due archi di cerchio di raggio R e R (R >R ) posti a

1 2 1 2

una distanza D lungo la congiungente i centri M e M . Si vuole individuare la

1 2

linea formata da due archi di clotoidi tangenti nel punto O in cui R = ∞ (PUNTO

DI FLESSO) in grado di collegare i due cerchi. Generalmente i parametri A e A

1 2

sono uguali tra loro (A = A = A). Le lunghezze dei due archi di clotoide

1 2

costituenti la linea a S sono differenti secondo il raggio:

2

L = A /R

• 1 1

2

L = A /R

• 2 2

Essendo R >R L < L ovvero:



1 2 1 2

LA CLOTOIDE DI FLESSO PRESENTA SVILUPPO MAGGIORE PER IL RAGGIO

MINORE E VICEVERSA.

La ricerca del parametro A della clotoide di flesso può essere affrontata con

trattazione rigorosa o approssimata.

CLOTOIDE DI FLESSO: TRATTAZIONE RIGOROSA

Si consideri il sistema di assi cartesiani X e Y con origine nel punto di flesso O e

coincidenti, rispettivamente con la tangente comune agli archi di clotoide in O

e con la normale ad essa

L’ipotenusa del triangolo rettangolo M CM è:

1 2

M M = R + R + D

1 2 1 2

Mentre i cateti sono

M C = X +

2 M1

X M2

M C =

1

Y M1

+ Y M2

Si ha (M

M )

1 2

2 =

(M 2

2

C) +

2

(M C)

1

e quindi

(R +

1

2 2 2

R + D) = (X + X ) + (Y + Y ) [*]

2 M1 M2 M1 M2 41

Le coordinate dei centri M1 e M2 possono esprimersi in funzione degli angoli di

τ τ

deviazione e e delle coordinate dei punti terminali delle clotoidi P e P

1 2 1 2

Gli angoli di deviazione per i punti P1 e P2 sono

L’equazione [*] ha come unica incognita il parametro A e la soluzione (ottenuta

tramite calcolatore elettronico perché di difficile computazione) è del tipo

A = f(R ,R ,D)

1 2

Noto A è possibile tracciare i due archi costituenti la clotoide di flesso. 42

TRACCIARE LA CLOTOIDE DI FLESSO

ε

Se è l’angolo formato dalla congiungente i centri M M con le normali

1 2

condotte da tali centri all’asse X (M B e M U), dal triangolo rettangolo M TM

1 2 1 2

risulta: ε

Tracciando da M e M due rette inclinate di rispetto alla congiungente M M e

1 2 1 2

staccando su di esse i segmenti

M B = Y

1 M1

M U = Y

2 M2

Si individua l’asse X unendo i punti B e U così determinati.

IL PUNTO DI INCONTRO DELLE CLOTOIDI CON L’ ASSE X

IL PUNTO D FLESSO O

( ) dista X da B E X da U

M1 M2

CLOTOIDE DI FLESSO: TRATTAZIONE APPROSSIMATA

L’equazione [*] può essere risolta con

metodi approssimati come

l’ABACO DI OSTERLOCH

Fissati i raggi R e R e la distanza D tra i

1 2

cerchi è possibile individuare sull’abaco il

punto di coordinate (R /R ;D/R ) per cui il

2 1 1

valore A/R corrispondente alla curva

1

passante per esso consente il calcolo del

parametro A

A/R = cost. A = cost.*R



1 1 43

ANDAMENTO ALTIMETRICO DELL’ASSE STRADALE

Il tracciato altimetrico è costituito da una successione di LIVELLETTE (tratti a

pendenza costante) e di raccordi concavi (sacche) e convessi (dossi).

PENDENZE LIMITI ALL’AVVIAMENTO

La pendenza massima di una livelletta che un veicolo può superare partendo

da fermo, può ricavarsi dall’EQUAZIONE DELLA TRAZIONE

considero i segni + xkè marcia in salita e accelerazione



Quindi ricavo

Se

μ = 0 non siamo in curva

c 2

Trascuro la resistenza aerodinamica kSV 2

Considero un’accelerazione media alla partenza di dv/dt = 0,3-0,4 m/s

L’ordine di grandezza delle pendenze massime sarà:

• AUTOVETTURE i = 54%

 max

• AUTOCARRI MEDI i = 18%

 max

• AUTOARTICOLATI MEDI i = 10%

 max

Ad ogni modo, le pendenze stradali sono notevolmente più basse per evitare:

in salita velocità troppo basse, elevati consumi e sforzi del motore



• in discesa elevato rischio di incidenti



•

DM 5/11/2001: VALORI LIMITE DI LIVELLETTA 44

STRADE A,B,D IN GALLERIA non superare la pendenza del 4% per contenere



emissioni di fumi e inquinanti 45

RACCORDI VERTICALI

Hanno 3 FUNZIONI:

• ELIMINARE LA DISCONTINUITA’ COSTITUITA DAL CAMBIAMENTO DI

LIVELLETTA

• AUMENTARE LA DISTANZA DI VISUALE LIBERA (sicurezza)

• MIGLIORARE L’ASPETTO ESTETICO DELLA VARIAZIONE DI PENDENZA

(proprieta’ ottiche del tracciato)

Le curve di raccordo verticale possono essere:

• CONCAVE SACCHE U



• CONVESSE DOSSI



Dato che i valori di i sono piccoli, possiamo considerare

1. lunghezze delle livellette e dei raccordi misurate sull’orizzontale

2. L’angolo formato da due livellette è pari alla differenza delle pendenze

alle quali viene convenzionalmente attribuito un SEGNO:

• + SALITA

• DISCESA 46

DM 5/11/2001

UN RACCORDO VERTICALE DEVE ESSERE REALIZZATO TRAMITE UN

ARCO DI PARABOLA AD ASSE VERTICALE

xkè consente l’applicazione graduale della forza centrifuga agente sul piano

verticale su tutti i veicoli che vi transitano.

Il parametro geometrico che definisce il raccordo parabolico è

R RAGGIO CERCHIO OSCULATORE NEL VERTICE DELLA PARABOLA



V

Il cerchio osculatore in un punto P ad una data curva è la posizione limite di un

0

cerchio passante per 3 punti P ,P,Q quando P e Q tendono entrambi al punto P

0 0

Assumendo come origine del sistema di assi cartesiani a cui è riferita la

parabola il punto iniziale del raccordo, cioè il punto di tangenza tra la prima

livelletta e la parabola, l’equazione si scrive:

2

y = ax + bx (c = 0 xkè passa per l’origine)

a < 0 per i raccordi convessi

a > 0 per i raccordi concavi 47

FORMULAZIONE ANALITICA DEL RACCORDO PARABOLICO

Siano

r e r livellette di progetto tangenti al raccordo parabolico nei punti T



• 1 2 1

e T 2

i e i pendenze delle due livellette in [%]



• 1 2

CONVENZIONE SUI SEGNI

Fissato il verso di percorrenza, si assume positiva la pendenza in salita e

negativa quella in discesa

Si può ricavare che

da cui si ottiene

LUNGHEZZA DEL RACCORDO PARABOLICO MISURATO

SULL’ORIZZONTALE (Δi viene preso in valore assoluto, in qst. caso)

Prendendo il SdR cartesiano con origine sul punto di tangenza T della livelletta

1

r 1

(le pendenze vanno prese con segno)

Il raccordo di lunghezza L si divide in due lunghezze uguali pari ad L/2

• rispetto al vertice V formato dalle due livellette;

Il vertice della parabola A non ha, ovviamente, la stessa ascissa del

• vertice V formato dalle due livellette. 48

TRACCIAMENTO RACCORDO PARABOLICO

Si calcola Δi = |i – i |

1. 1 2

Si calcola R (nel seguito)

2. v

Si calcola la lunghezza L del raccordo parabolico (proiezione orizzontale)

3. L = R *(Δi/100)

V

Si individua la posizione del punto di tangenza T e del suo simmetrico,

4. 1

rispetto all’asse del raccordo parabolico, T (mi sposto da V indietro di L/2

2

e trovo T sulla livelletta r oppure avanti di L/2 e trovo T sulla livelletta

1 1 2

r )

2

Si posiziona il SdR cartesiano con origine su T

5. 1

Si divide l’intervallo 0 < x < L (tra T e T ) in un numero di punti tanto

6. 1 2

maggiore quanto più preciso vuole essere il tracciamento

Si attribuisce ad ogni intervallo la sua ascissa x

7. 2

Si associa ad ogni x la y tramite y = [(i2 – i1)/(200*L)]*x + (i1/100)*x

8. Si traccia il raccordo per punti

9.

COORDINATE DEL PUNTO A VERTICE DELLA PARABOLA

FRECCIA 49

DOSSI: CALCOLO DI R V

Siano

R : raggio del cerchio osculatore nel vertice della parabola [m]

• V

D : distanza di visibilità da assicurare [m]. (arresto, sorpasso, cambio di

• corsia)

Dipende dal tipo di strada e dall’elemento del tracciato. Cmq lungo tutto

il tracciato deve sempre essere garantita la DISTANZA DI VISIBILITA&