Costruzioni aeronautiche - instabilità delle travi

D

per Lineare del

= È

Dop E Non CAMBIA

D Costante

per ,

=

Questo EQUAZIONE valida

dalla Tp

TCr

dettato

è EUlero

TCr ovvero

: non ,

materiali,

dei

sta

Si ci

proporzionalità che hanno

di

in un essere

possono

campo non : (USNERVAMENTO

modulo elastico

elastico proporzionale stanno regime

in

non ma

, .

Equazione

Ter

per VALIDA

Sp EULERO

D .

< =

TDI

PROPORZIONALITA Figura 3.29. Curva di Eulero (snellezza limite).

131

Appunti di Costruzioni Aeronautiche Prof. Aniello Riccio

La (3-60) è valida nel campo elastico lineare, cioè quando σ ≤ σ (tensione di

cr p

proporzionalità). Si definisce pertanto un valore della snellezza al di sotto del quale cade in

difetto la (3-60); tale valore è (2 Limite)

I

Up Tr = � (3-61)

= = 0

La quantità λ è detta snellezza limite.

0

3. Determinazione della tensione critica per snellezza inferiore a quella limite

Tp

Tcr >

Lo studio della crisi per carico di punta di travi con snellezza inferiore a quella limite è

alquanto complesso. Due sono le vie seguite:

1) metodi che si rifanno alla curva (σ,ε) del materiale;

2) metodi che hanno alla base considerazioni sul diagramma trattato dalla formula di

Eulero.

Ci si riferisce in particolare nel primo caso alle teorie del modulo tangente e del modulo

ridotto. Si parte dalla considerazione che una volta superato il limite elastico proporzionale il

modulo di elasticità E non è più costante, ma varia lungo la curva (σ,ε) come si vede nella

ivi rappresentato prende il nome di modulo tangente.

Figura 3.30. Il valore E t Infatti la materiale

del

E quella

è più

non quella

di partenza Si utilizzare di

palto

può ancora formula

. a

, modulo

il della

mettere attuale struttura

elastico

modulo elastico .

tangente

Si basa del elastico

modulo

sulla precisa

conoscenza un'altra

materiale

del punto punto Ma c'è

per .

considerazione struttura che

ha

si pressione

Se una va

: a

le uniformi nella perché c'è

sezione

sono una

t non , a

trazione

parte parte in

compressione

a ERSE

e una il

utilizza

Quindi si

Modulo Diverso

Elastico Modulo

e . fatto del materiale

che la

tiene del

Ridotto Conto

che t

della

il elastico

quindi modulo e

sezione

e non

costante

.

Figura 3.30. Determinazione della tensione critica per valori superiori alla tensione di snervamento

(approccio basato sull’utilizzo della rigidezza modificata).

Si può in prima approssimazione osservare in tal caso che la (3-60) continui a valere,

ad E.

purché si sostituisca in essa E

t

In effetti, allorché avviene la crisi, la trave si inflette e, mentre la compressione aumenta in

una parte della sezione, nell’altro diminuisce. È noto che per materiali metallici nelle costruzioni

aeronautiche, una volta che, aumentando la tensione di compressione, si è giunti ad un valore

della tensione superiore a quella di proporzionalità, nello scarico la curva (σ,ε) non segue la linea

del carico, ma in genere si muove parallelamente alla parte rettilinea della curva di carico (la

curva di scarico e tratteggiata in fig. 3 55). e di E un modulo

In seguito a tale considerazione, si è pensato di definire in funzione di E t

detto ridotto, che sostituito nella (3-60) descrive il carico critico di punta, superato il limite di

, secondo Engesser, deve essere

elasticità proporzionale. Tale modulo indicato con E

r

132

Appunti di Costruzioni Aeronautiche Prof. Aniello Riccio

= 4 (3-62)

2

+ �

�√ �

La (3-62) è stata ricavata teoricamente (cfr. P. Dellus “Resistance des Materiaux” Ed.

Tecnique e Vulgarition – Paris pp. 194-196). In effetti, si è visto che in base a risultati sperimentali

si presta meglio la relazione

= 3.6 (3-63)

2

+ 0.9 �

�√ �

In effetti i difetti dell’impiego dei metodi che si rifanno al concetto del modulo tangente o

del modulo ridotto (oltre alle espressioni citate si ricordano quelle di Kàrman e di Strand) sono

i seguenti:

1) occorre conoscere la curva (σ,ε) del materiale;

2) si può stabilire una relazione della tensione in funzione della sola snellezza.

Altri metodi invece sono ricavati in base a considerazioni sulla curva tratta

dall’espressione di Eulero (secondo gruppo di metodi citati all’inizio del paragrafo). Per

impiegare tali metodi non è necessaria la conoscenza della curva (σ,ε) del materiale. Si tratta di

stabilire una relazione, che lega la tensione critica alla snellezza per valori della snellezza

inferiori a quella limite. In genere, tali metodi stabiliscono il carico critico per snellezza limite

nulla. Indi, si definisce una curva che partendo da tale punto diventa tangente alla curva di

Eulero (fig. 3.54) in prossimità della snellezza limite. Essenzialmente, le curve sono di tre tipi

= (3-64)

2

1 + ALLUMINIO

LEGHE DI

= −

(3-65)

d'ACCIAIO

2 Leghe

= −

(3-66)

La prima curva è detta di Gordon-Rankine, le altre due impiegate nei vari rami

dell’ingegneria portano nomi diversi a seconda del campo di validità.

-

Si ricordano qui l’espressione lineare del Tet majer, le espressioni paraboliche di Ostenfeld,

dell’AISC (American Institute of Steel Construction) è dell’AREA (American Railway

Engineering Association).

Nel campo delle Costruzioni Aeronautiche sono molto note le espressioni lineari e

paraboliche di Johnson, e

che

Condizione le derivata

curve

e to

stessa

della rela

coeff angolare

continue :

Siano . comune

in

punto

Johnson stesso

e)

Curva

4. Le curve di Johnson Eulero

Una prima formulazione di tali curve è molto semplice. Per le travi con sezione piena

pertanto Johnson stabilisce una espressione parabolica valida per gli acciai ed una espressione

lineare valida per le leghe di alluminio, in base alle seguenti considerazioni.

Acciai – Occorre definire i valori che acquistano a e b nella espressione (3-66).

Evidentemente, la tensione di rottura si ottiene per valori di λ = 0, pertanto:

=

&

133

D'ALLUMINIO

LEGHE (LINEARE)

JOHNSON

EULERO

= a -bx

Tr Tcr = di

derivate

determino le entrambi

si prime .

- dr-b

=

devono

queste uguali

essere :

-e-b punto

verificata nel

questa e

cosa

da trovare bi

qui può

si

=

b

La nella

inserisce Cor

si sorasoni

, I S

RICORDARE

DA CHE

E

PUNTO

QUESTO

-E

Up = to

Tp

SEMPRE ;

Si che

avrà : 235

p

a +

=

LEGHE ACCIAIO (QUADRATICA)

EUCERO JOHNSON

=I bx

Tcr

Fr a

= -

entrambe

si derivano :

=

queste devono uguali

essere

-2

=

b

Si b

trova :

sostituisce in

Si TCr :

Johnson

,

- I

Up S

RICORDARE

DA

= CHE

E

PUNTO

QUESTO to

Tp

SEMPRE ;

Si che

avrà :

+ 25p

p

= Appunti di Costruzioni Aeronautiche Prof. Aniello Riccio

Per determinare b occorre imporre la condizione che per λ eguale alla snellezza limite λ

0

la curva di Eulero e la curva di Johnson posseggono la stessa tangente. Derivando le espressioni

(3-60) e (3-66) rispetto a λ 2

2

� � = − 3

Eulero

� � = −2

Johnson

ed eguagliando i secondi membri per λ = λ si ottiene

0 2

= 4

0

Essendo inoltre

= �

0

si ottiene 2

= 2

Per determinare il coefficiente a, si impone il passaggio della curva di Johnson per il punto

, σ ):

di coordinate (λ 0 p 2

2

= − �� �

2

= 2

=

ottenendo in definitiva:

2

= �1 − � (3-67)

2

4

Leghe di alluminio – Si assume l’espressione (3-65) sempre con a = σ , mentre b viene

r

determinata osservando che

� � = −

Johnson

e pertanto 2

2

= 3

0

Per determinare il coefficiente a, si impone il passaggio della curva di Johnson per il punto

di coordinate (λ , σ ):

0 p 2

2

= −

0

3

0

ottenendo 134

Appunti di Costruzioni Aeronautiche Prof. Aniello Riccio

= 3

=

Si spinge pertanto all’espressione 0.385

⎛ ⎞

= 1 − (3-68)

� ⎠

⎝

Le espressioni sopra ricavate valgono come già si è detto per travi con sezioni piene, le

quali sono esenti da fenomeni di instabilità locale. Per le travi con sezione a parete sottile

(Figura 3.31), come sono i correnti nelle Costruzioni Aeronautiche, possono sorgere dei

fenomeni di instabilità locale. I pannelli, di cui è costituita la trave, possono entrare in crisi di

compressione. Vi sarà quindi una crisi locale, che in genere dipende essenzialmente dalle

anche se non

dimensioni della sezione. Pertanto, il valore della tensione critica locale σ crl

rigoro