Costruzioni Aeronautiche

TRAVE A FLESSIONE

σ_x = ^N_x⁄_A + ^M_y⁄_Iy z

EQUAZIONI DEFORMAZIONI

∂u/∂u = ε_xε_y, ∂u/∂v = ρ⁄zσ_x, ∂v/∂xpV = -V_zq_u = 0

EQUILIBRIO CONCETTO INDEFORMATO

QX = -Q_uQY, = -Q_vQz= -pv

QY= V_zQ_x, Q_v

TAGLIO

Sezione rettangolare

Equilibrio puntoni cavi∂σ_z⁄∂z = V_z⁄I_y∫zdzσ_xz- (B²/BR)²

Triangolare fuori da equilibro dei tagli

Φ = -VE⁄IV ∫zdA

CARICHI SEZIONE

Nell'ipotesi di parete rigide

N_x = ∫σ_xdA = E∫∆U/∆X

M_y = ∫σ_xzdA = EI∫∆²U/∆X²

M_z = ∫σ_zzdA

Vero nell'ipotesi stress principaliMateriale omogeneo e isotropoLineare

COME SFORZO DEFORMAZIONE

ε_xx= ∂U/∂X - ∂V/∂Z - ∂W/∂x

σ_xx = E_x (E_x)

IPOTESI

Asse x indeformato, asse dei centroidi

Asse è asse simmetria- Sant Venant sigiture- Lombardini vincoli

Sezione

IndeformabilitàTaglio

Stato tensionalePiano σ_xy, τ_xz, τ_zy

ASSE NEUTRO C.C.

Lineare

SCHEMA CINEMATICO

W(x,y,z) = ∆U/∆X

W(x,y,z) = W_o

SignificatoSezioni piane rimangono pianee ruotano.∂²z ≠ 0

IND. AL TAGLIO

∆x = 0 σ_x, ∂W. ∂U/∂z = 0

M(xz) = M - ∂W/∂X

S^ignificato

Sezioni ruotano per rimanere ortogonaliall'asse dei centroidi

G-D-L DUE

TRAVE A BIFFESIONE

• EQUAZIONE DEFORMAZIONI
• ^EA/₀ = -P_x
• ^EI/₀ ⁰/₀ = -P_y

σ_xx = N_x/A + M_y z/I_y + M_z/I_z

ASSE NEUTRO

y = ϕ(z) / σ_zzo

EQUILIBRIO CONCETTO INTEGRATO

• ∂N_x/∂x = -P_x
• ∂V_y/∂y = -P_y
• ∂V_z/∂z = -P_z

IPOTESI

• ASSI PRINCIPALI
• SAINT VENANT
• TRAVE CILINDRICA
• INDEFORMABILITA TAGLIO

CARCHI SEZIONE

• N_x = ∫_σxxxdx = EA⁰/₀
• ∫ωE

SIGNIFICATO

• sezioni piane rimangano piane

SCHEMA CINEMATICO

• u = u₀ + ∂u₀/∂y + ∂u₀/∂x z
• v = u
• v = 0

SE V NON PASSA

PER CENTRO TAGLIO E T NASCONO T_sz - Z_SnD per bilanciarlo

VERIFICHIAMO CHE EQUILIBRI TAGLIO V_x = q_t e ds

DALL'EQUAZIONE

q_t(s) = V_Vy/I_x y e ds + V_x/I_y x e ds

NASCE SE C’È UN TAGLIO UN FLUSSO DI TAGLIO VARIABILE CHE DEVE PERÒ SODDISFARE C.C. SAINT VENNANT

CENTRO DI TAGLIO

Simulo Forza in direzione y Impongo equilibrio momenti

Vy dy = ∫pq ds

Stesso per dx interseca e muovo la soluzione

SEZIONE MULTICELLA

• APRO QUANTE SONO LE CELLE
• TROVO qV
• TROVO PQA

SEZIONE CHIUSA

APRO LA SEZIONE IN UN PUNTO - NASCE q _t(s) per equilibrare

CHIUDO SEZIONE

NASCE q₀ PERCHE' I DUE CENTRI DI TAGLIO NON COINCIDONO (SEZIONE APERTA E CHIUSA). q₀ RISULTANTE NULLA REGGISCE DI MOMENTO TORSANTE - È COSTANTE.

MOMENTI

T= ∮pq y ds⟨ dm⟩

WARPING

come prima ma qui

REL. E V_to

RELAZIONE SFORZI DEFORM.

∮ phi_to ds / Gt(c) = ZA dx / c²

CENTRO DI TAGLIO

• Trovo q_v = V_V/I_x ∫e &dsqrt;
• Trovo ∫pq y ds⟩ dm
• Equilibrio ∮ q₀ ds = ∫r⟩ dt / dm'

3.1 Sezione Circolare Piena

• Determinazione funzione di Prandtl
• ^dc^c

φ = -_g ^dx/_dz c^c (x² + y²)

Sforzo

• Andamento lineare
• Direzione 1 - vettorio

• Carico T (momento torcente) in funzione del φ trovato

τ_p = ^gJdx/_dz &d = ^η0.4/₂

• Studio deformazioni - spostamenti
• Equilibrio torsionale

φ = Θ no warping

3.2 Sezione Rettangolare

• Ipotesi piccolo spessore
• ^du/^dx = 0, γ_xz = &gdf;
• Determinazione funzione Prandtl
• c^c

φ = -_g ^dx/_dz (y² - ^t2/₄)

Carico T in funzione di φ = τ = gJdx/dz &d = ^t3b/₃

• Andamento τ_xz: lineare
• L negativo con T
• Deformazioni - spostamenti

φ = - x/y, w_z = -^dx/_dz xy

3.3 Sezione cava chiusa

Sforzo associato.

Ad un punto e ad un piano per quel punto.

• Sforzo associato ad un punto e al piano passante per quel punto (dipende dalla normale e dalla direzione della normale)

Considero

• vettori (invarianti) → prelevati come componenti
• tensori (varianti) → proiettano come matrici

Notazione invariante

E̅ = T̅ n̅ funzione di punto ma associata ad una superficie

• T̅ funzione di punto e di superficie

T̅ per un fluido ideale vale: -pI̅ non c'é viscosità

notazione invariante, rispetto agli assi di riferimento

• E̅: direzione, modulo, verso invarianti
• T̅: trasforma freccia in freccia invarianti
• n̅: direzione, modulo, verso invarianti

Associando una terna

Notazione variante

E̅ = T̅ n̅

• tre numeri sono le componenti del vettore E̅ nella terna da me scelta

Tensore tensioni

T̅ =

• σ_xx σ_xy σ_xz
• σ_yy σ_yz simmetrico
• σ_zz

Dato un continuo esiste una matrice che lega la normale alla superficie in un punto con le tensioni in quel punto

Equilibrio dell’elementino

Supponiamo per ora in un caso il più generico possibile che sia presente una forza di volume ρ Δx Δy Δz in cui possiamo inglobare anche i termini inerziali

ΣF_X=0 ⟹ 0 = (σ_xx + Δσ_xx) Δy Δz - σ_xx Δy Δz + (τ_yx + Δτ_yx) Δx Δz - τ_yx Δx Δz + (τ_zx + Δτ_zx) Δx Δy - τ_zx Δx Δy + ρ_x Δx Δy Δz

↷ (Δσ_xx / Δx) + (Δτ_yx / Δy) + (Δτ_zx / Δz) + ρ_z = 0

• ∂σ_xx / ∂x + ∂τ_yx / ∂y + ∂τ_zx / ∂z + ρ_x = 0
• ∂τ_xy / ∂x + ∂σ_yy / ∂y + ∂τ_zy / ∂z - ρ_y = 0
• ∂τ_xz / ∂x + ∂τ_yz / ∂y + ∂σ_zz / ∂z + ρ_z = 0

Equazioni di equilibrio locale o puntuale sempre vere