Costruzioni Aeronautiche

Equazioni di equilibrio e deformazione nei materiali

Equazioni di equilibrio

σ_x = N_x / A + M_y / I_y z. Taglio equilibrio puntale ciascun σ_xz = τ_xz + Q_x / Ib ∫^zτd_z = V_z / I_y ∫zdz. Triangolare dall'equilibrio di flusso di taglio V_z / I_y ∫cA.

Ipotesi e sezioni

Ipotesi asse x indeformabile, asse z asse di simmetria. Sezione e vincoli cilindrica. Schema cinematico w(x, y, z) = w₀ + ∂w₀ / ∂z. Significato: sezioni piane rimangono piane e ruotano, w₀ = 0.

Trave a flessione

σ_xx = ∂u / ∂x. Equazioni di deformazioni: ∂u / ∂X = σ_xx / E. Vero se cilindrica.

Equilibrio concetto indeterminato

1. dQ_Y / ∂x - Pz
2. dV_z / ∂Y, Vz = -Pz

Carichi sezione

Nell'ipotesi di fibre rigide N_x = ∫σ_xx dA = dAL / dAM_y = σ_xx zdA = -EI_y ∂w₀ / ∂x. M_z = ∫ z dA.

Legame sforzo-deformazione

σ_xx = E_x (∫ xA). Vero nell'ipotesi di sezioni principali. Materiale omogeneo isotropo: lineare.

Carichi e taglio

σ_x = ^N_x/_A + ^M_y/_Iy z. Taglio equilibrio puntale carichi ΔQ_x / Δx + ΔQ_z / Δz = - P_A / 4. Sezione rettangolare τ_xz = - V_z / c_x (b²/6[-3]+[+]). Triangolare Φ = -V_z / I_y ∫zdz.

Flusso di taglio e forza longitudinale

Equivalenza equilibrio di eulero devielle e sottosvincolato τϕ = -V_z / I_y ∫cAd.

Trave a flessione: ipotesi

Asse x indeformabile, centroidi asse di simmetrica. Saint Venant — singolar+Lombardo vincoli. Sezione cilindrica, indeformabilità ΔL, indeformabilità tar efficienza. Stato tensione in piano σ_xx, τ_xz, σ_z. Asse neutro c.c.

Equilibrio concetto indeterminato

∫Q∂N_x / ∂δ = 0 ∫_ΔPdF + ∫∂w_x + ∂w_z = P_eΔcQ∫/∂x - P_e partial eq.σ(√)/∂y - V_z

Schema cinematico

Lineare?(u(x,y,z)= δu) + ∂w/∂z = W0. Significato: sezioni piane rimangono piane e ruotano e dvento ∂z / ∂cε = 0. Significato: sezioni ruotano per rimanere ⊥ all'asse dei centroidi. Vero nell'ipotesi sezioni principali. Materiale omogeneo isotropo lineare.

Carichi sezione

Nell'ipotesi di fibre rigide N_x = ∫σ_xxdA = E∫ ∂u/∂x. M_y = ∫σ_xxzdA = -E∫ y ∂w/∂x. M_z = ∫σzdA = ∫σzdA = Es.

Legami sforzo-deformazione

ε_xx = ∂u/∂x + ∂v/∂y – ∂w/∂z. σ_xx = E_x(ε_xx).

Ind. a. d. luce al taglio

δxε = Q0 ∂w/∂x – ∂u/∂y + (∂u/∂z) / ∂x. M_s(x) = M – QW ∂x /∂x. G.D.L due.

Trave a biflessione

Equazioni deformazioni EA ∂_u∂_x = -P_x -EIy ∂²W/∂z² = -P_z -EI ∂²v/∂z² = -P_y.

Equilibrio concetto indeterminato

∂N_x/∂x = -P_x, ∂N_y/∂x = -P_y, ∂N_z/∂x = -P_z.

Carichi sezione

N_x = ∫σxdα - EA ∂_u∂_x, V_y = ∫σxdα. M_y = ∫σx Z dA = EI ∂_v/∂y², u_z = ∫σz≤EqxdA. M_z = Esi=EA ∂_u/∂y.

Legame sforzi-deformazione

σ_xx = N_x/A + M_y z/I_y + M_z y/I_e. Asse neutro y = f(x)/σ_zzo.

Ipotesi

Assi principali, Saint Venant, trave cilindrica, indeformabilità taglio. Legame sforzi-deformazione Ɛ_Xa = ∂_u/∂_a = ∂²u/∂²x - ∂²v/∂²x = ∂²ω/∂²z.

Interoperabilità taglio

σ_xy = 0 + ∂_ML/∂_Y = ∂_u/∂_x. ∂_u/∂_z = ∂_u/∂_zμ_L = μ_O - ∂_Vy - ∂_OW/∂_x + ∂_x + ∂_w/∂_x.

Significato

Sezioni piane rimangono piane. σ_yy + σ_zz = 0.

Trave a torsione

Sezione circolare piena. Momento torcente t = ∫ x ξ d a t = 2 ∫ φ c d a t = G J dx/dz ξ = T/I { }.

Sezione rettangolare piena

Studio warping - assumendo in x τ ϵσyz le z h t anulate. Valuto andamento τ. Trovo φ risolvendo ∇²φ = -2G(cx)+ c.c. φ=0. Trovo J = π r⁴. Trovo σσ = [b t³. Trovo 2x e vedo incangenze che non si dimulaper x = b/2. Trovo Tzₓ e Tzy.

Studio warping

Assumendo in x τ ϵσyz le z trnace. Condizione congruenza ∂φ/∂x = ∂φ/∂y ∇²φ = -2G dx/dz. C.C.ξ = I: l i 0- ^tan/_i.

Equilibrio lineare

dT/dz = -c. Schema cinematico uₓ = -αy, v = αx, w = ∂x/dz ψ(y,x).

Deformazioni carichi

∂χz/∂z d w/dz + dξ ∂z/∂z(∂u/∂z -y)∂χz/∂x + ∂χx/∂z ∂z - dξ d - (∂w/∂x -x)∂εz = ∂y/∂z d ψ(y,x).

Equilibrio puntuale

∂□zz/∂z + ∂□xz/∂x+ ∂□yz/∂y = 0. ∂□xz/∂x + ∂□yz/∂y = 0. □xz = 0 in x con τ zero.

Ipotesi

+ Saint Venant - Sezione ridotte nel piano come rigide mi - Warping libero + Rotazioni, differenze, + per coppe torcenti pure + Deformabilità a taglio + Piccole rotazioni.

Divergenza nulla

∮ ∇ d A = o - ∮ c nds = o. τ tangente contorno aperta.