Quesiti Teoria Costruzioni aeronautiche

Dal teorema di Castigliano , ma se F = reazioni vincolari, gli spostamenti associati

= 0.

saranno nulli

20.Tracciare e discutere il grafico di P/Pcr in funzione dello spostamento trasversale v per

un’imperfezione iniziale di

una trave soggetta a compressione, considerando la presenza di

δ

ampiezza 0

Ipotizziamo una trave appoggiata soggetta a compressione e con un’imperfezione iniziale che abbia

()

= sin ( )

un andamento sinusoidale del tipo 0 0

()

̅ = + ()

Lo spostamento totale sarà: 0

l’equilibrio posso scrivere, in termini di spostamento:

Per 4 2 2 2

0

2 2

+ = − = − sin ( )

4 2 2

0

() = sin ( )

La cui soluzione è 2

2

( )−

2

0

( ) =

La massima flessione si ha in z = L/2, e lo spostamento sarà:

2 ( )−1

Maggiore sarà , prima la trave si flette.

0

La deflessione diventa illimitata al tendere del carico P al carico critico (o analogamente al

tendere del rapporto carico critico / carico P ad 1).

La presenza di un’imperfezione iniziale influenza l’ampiezza della deflessione.

le ‘pulsazioni proprie’ e le relative forme modali di un’asta bloccata agli

21.Derivare

estremi partendo dalla scrittura dell’equilibrio orizzontale

= spostamenti assiali

̈ = forza che si oppone al movimento w

Per l’equilibrio orizzontale →) + − − ̈ = 0 ↔ ̈ =

= =

= densità A = area della sezione dV = volume

infinitesimo

= ̈ = ̈ ↔ = ̈

2

= = ↔ =

Ricordando che 2

2 2

= ̈ ↔ ̈ − =0

Combinando le due equazioni otteniamo: 2 2

= √

Introducendo la costante , dipendente dalle proprietà del materiale, e sostituiamo:

2

2

̈ − =0

2

La soluzione dell’equazione è ()

= ∗

0 2 2

2 2 2 2

0 0

( + ) = 0 ↔ + =0 ↔

Derivando e sostituendo si ottiene

2 2

2

2

0

↔ ( ) + =0

2

=

Introducendo la costante e riscrivendo si ha:

2

2 0

+ = 0 ↔ PROBLEMA AGLI AUTOVALORI

2

()

= () + ()

La cui soluzione è 0

Applico le condizioni al contorno: (

= 0) = 0 → = 0

(

= ) = 0 → () = 0

0

Escludendo la soluzione banale (D = 0) si ha sin() = 0

√

sin() = 0 → = → = → = =

= pulsazione naturale

Poiché n = 1,…,+∞ () (

( < + 1))

abbiamo infinite via via più grandi di cui ci interessa

sapere solo quella più piccola per dimensionare la trave.

()

= 1 → = ( ) = ( )

0 1

()

= 2 → = (2 )

0

le ‘pulsazioni proprie’ e le relative forme modali di una trave appoggiata agli

22.Derivare dell’equilibrio verticale

estremi partendo dalla scrittura

Per l’equilibrio ↑) ̈ = ↔ = ̈

verticale si ha:

2

= = −

Sappiamo che e che 2

3 4

1

= − ↔ = −

Si può scrivere 3 4

4

Sostituendo nell’equilibrio si ha: ̈ = − 4

()

(, ) = ∗

La cui soluzione è 0 4 4

2 2

− = − ↔ =

Derivando e sostituendo si può scrivere: 0

4 4

= √

Introducendo la costante , che dipende dalle proprietà del materialee della sezione della

2

4 4

2 2

− = 0 ↔ − ( ) =0

trave, e scrivo:

4 4

=

Posso introdurre una nuova costante e riscrivo

4

2

− = 0 ↔ PROBLEMA AGLI AUTOVALORI

4

()

= () + () + ℎ() + ℎ()

La soluzione è 0

0 0

(0) () ( (

= 0, = 0, = 0) = 0, = ) = 0

Applico le condizioni al contorno 0 0

E ottengo B = D = C = 0

Escludendo la soluzione banale A = 0 si ha: 2 2 2 2

sin() = 0 → = → ⋯ → = =

Poiché n = 1,…,+∞

abbiamo infinite

()

= 1 → = ( )

0

()

= 2 → = (2 )

0

23.Scrivere il lavoro virtuale delle forze inerziali e derivare la matrice delle masse [M] per

un elemento finito 3D ( = 0)

Scriviamo il PLV per la dinamica considerando le oscillazioni libere

=

Scriviamo la formulazione agli spostamenti:

{} {} {} }

= = {̈

∫ ∫

}

{̈ = forze inerziali infinitesime

Discretizziamo gli elementi finiti 3D:

{} (, } {} []

= , ){ = { } = [ ]{ }

{̈} ̈

{} []{} [][ ]{ }

= = = { }

Sostituiamo nel PLV, ottenendo:

̈

[][ ] { }

{ } (∫ [ ] ) = { } (∫ [] ) { }

[][ ]

[ ] = ∫ [ ]

[ ] = ∫ []

0 0

0 0

[ ] = [ ]

0 0

24.Scrivere il lavoro virtuale delle forze inerziali e derivare la matrice delle masse [M] per

un elemento finito di tipo asta a 2 nodi () ()

() = + =

1 1 2 2

1

= 1 − = −

1 1,

= = 1/

2 2,

= [ ∫ ]

, ,

0

{̈}

{}

= ∫ = ∫ ̈ = ( ∫ )

̈

0 0

[ ] =

∫ = Matrice delle masse

0

2

11

= ∫ =

1 3

0

12 21

= = ∫ =

1 2 6

0

2

22

= ∫ =

2 3

0 1 1

3 6

[ ] = [ ]

1 1

6 3

l’applicazione del ‘metodo di riduzione modale’ partendo dalla scrittura

25.Spiegare

dell’equilibrio dinamico in coordinate modali, in assenza di smorzamento ed in presenza di

carichi esterni. Definire le quantità coinvolte nell’equazione di equilibrio

2 {}

([ ] − [ ]){} = ↔ Problema dinamico in coordinate modali

[ ] = Matrice di rigidezza, forma modale [N x N]

[ ] =matrice delle masse, forma modale [N x N]

{} = forzanti esterne

{} = ampiezze modali

Decidiamo di considerare solo le forme modali che si trovano nel mio campo di interesse. Facciamo

ω.

uno studio dipendente dalle frequenze modali

ω

Se ipotizzo 0 < < 1000Hz le forme modali di mio interesse saranno quelle associate alle

frequenze appartenenti al range scelto avranno maggior contenuto in 0

{ } ∑ { } { }

= ↔ METODO DI RIDUZIONE NODALE

0

=1

N = n° frequenze naturali

M = n° forme modali considerate; M<N

{ } [][] [] []

=

Posso scrivere lo spostamento dove è una matrice NxM e è una matrice Mx1

0

Posso quindi riscrivere la matrice di rigidezza e delle masse come segue:

[] [][]

[ ] = che è una matrice MxM

[] [][]

[ ] = che è una matrice MxM

Ho quindi il vantaggio di non considerare tutte le N frequenze, riducendo notevolmente i tempi di

calcolo. {}

Infatti, la matrice delle forzanti esterne sarà una matrice MxM

26.Scrivere il campo di spostamenti per il modello 2D di Kirchoff ed elencare le ipotesi su

cui esso di si basa

La teoria di Kirchoff deriva da 3 assunzioni assiomatiche

1) I segmenti perpendicolari alla superficie media della piastra (normali trasversali), durante e

dopo la flessione rimangono dritti;

2) Si segmenti perpendicolari alla superficie media non si allungano né si accorciano;

3) I seg