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CONTROL SYSTEMS
Analisi e controllo sistemi dinamici
Modello matematico di rappresentazione:
ίx = Ax + Bu
Y = Cx + Du
dove U(t) = input
Y(t) = output
X(t) = stato variabile (o state vector)
Massa con forza appliata
m d2X(t)
dt2
NO ATTRITO
L'equazione che regola il sistema è:
m d2X(t)
dt2 = F(t)
In questo caso F(t) = U(t) è l'input che arrivia dall'esterno mentre (t) = x(t) è lo stato variabile.
ίx(t) = 0・x(t) +1 m・U(t)
Ipotizziano che la grandezza misurabile sia la velocità
=> V(t) = Y(t)
Y(t) = 1 x(t) + 0・U(t)
- {ίx = 0・x + 1m・u
- y = 1・x + 0・u
- A =0
- B = 1m
- C = 1
- D = 0
- {d2x
- dt2 = 1m・u
Massa - string - damper system
T(t)
Fd(t)
F(t)(t) d(t)
x(t) s(t)
m
M
Equazione:
md2X(t)
dt2
= F
M(t) =disturbo esterno incontrollato
F(t) e K e f esercitano forze che si oppenogono
Al modo come fa Fd(t)
fe+k
Fdm・x
md2X(t)
dt2 + - μ・dX2(t)
- K・x(t)
=p>== Fe =p=-FdState vector:
\[ X = \left( \begin{array}{c} S\\ \dot{S} \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{c} \dot{S}\\ \ddot{S} \end{array} \right) \]
Modello matematico:
\[ \dot{X} = \left( \begin{array}{c} \dot{S}\\ -\frac{k_S}{m}S-\frac{f}{m}+\frac{S}{m} \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} S\\ \dot{S} \end{array} \right) + B \mu \]
L'input infatti \(\varepsilon(t) = \mu(t)\), la prima riga fa da equazione di riferimento per la prima f della C, mentre la seconda fa da equazione di riferimento per la seconda riga della A (e di B).
\[ \dot{X} = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\frac{k}{m} & -\frac{f}{m} \end{array} \right] \left( \begin{array}{c} S\\ \dot{S} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\ \frac{1}{m} \end{array} \right) [(F-F_d)] \]
Supponiamo che sia misurabile \(\dot{S} => Y(t) = S(t)\)
\[ Y = C \left( \begin{array}{c} S\\ \dot{S} \end{array} \right) + D\mu = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array} \right] \left( \begin{array}{c} S\\ \dot{S} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \end{array} \right)(F-F_d) \]
=> \[ A = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\frac{k}{m} & -\frac{f}{m} \end{array} \right] B = \left( \begin{array}{c} 0\\ \frac{1}{m} \end{array} \right) C = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array} \right) D = 0 \]
Supponiamo che sia misurabile \(\dot{S} => Y = S = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} S\\ \dot{S} \end{array} \right) \]
\[ Y = C \left( \begin{array}{c} S\\ \dot{S} \end{array} \right) + D\mu = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right] \left( \begin{array}{c} S\\ \dot{S} \end{array} \right)+ \left[ \begin{array}{cc} 0 \end{array} \right] (F-F_d) \]
=> \[ A = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\frac{k}{m} & -\frac{f}{m} \end{array} \right] B = \left[ \begin{array}{c} 0\\ \frac{1}{m} \end{array} \right] C = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right] D = \frac{1}{m} \]
GENERAL SITUATION
Supponiamo di avere un'equazione differenziale di ordine \(m\) di questa tipa:
\[ \dot{Z}^{(m)} + A_{m-1}\dot{Z}^{(m-1)} + ... + A_{1} \dot{Z} + A_{0} Z = \mu(t) \] con le seguenti condizioni iniziali:
\[ \begin{cases} Z(0)\\ \dot{Z}(0)\\ ...\\ Z^{m-1}(0) = X(0) \end{cases} \]
Definiamo il seguente state vector: \[ X_1 (t) = \left( \begin{array}{c} Z(t)\\ Z^{(m-1)}(t) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} Z_1\\ Z_2\\ ...\\ Z_{m-1} \end{array} \right) \sim \dot{Z} = \left( \begin{array}{c} Z_1\\ Z_2\\ ...\\ Z_{m-1}(t) \end{array} \right) \]
DEFINIZIONE
(geometria): una matrice A si dice DIAGONALIZZABILE se e solo se l.m autovettori di L.I. ai quali mg(λi) = ma(λi).
dove: ma (λi): molteplicità algebrica dell' autovalore λi (quante volte si ripete)
- mg (i):molteplicità geometrica dell' eigenvalue λi (dimensione del sottosu...
- Spiro generata degli eigenvector L.I. corrispondente)
Mg A(λi = n-rk (X,I-A) A con n ordine della matrice A
...
scegliamo opportunamente la matrice tale che
T = [U,T] = [μ ...] ...[um Vi ...ui]
[A,t][A,t]
...
di questa considerazione ricostruiamo anche una formacionca comoda per l'A:
A = v'u A'V-1 = [u]i,m[u]i,m = [a, ...O]- A=s, Ei viu1''SPECTRAL FACTORIZATION OF A
...
U''mgmmm' ... A=l(m..''...resto')A- NON È DIAGONALIZZABILE: λi REALI
Siccome A non è diagonalizzabile esisteranno autovalori per i quali:
mg(λi) < mg(λi) quindi (da un risultato algebraico che non dimostriamo) Ag sarà descritta dalla dimensione di JORDAN BLOCK associata a λi.
Jkλi = forma canonica nelle nuove coordinate
z = T x x è:
- Jk-2λ
- Jk-1
Per ogni autovalore λi otteniamo una Jk e quindi è possibile raccogliere tutti gli autovalori λ formandosi una MATRICE DIAGONALE A BLOCCHI.
Prendiamo bloccata una sola piccola dimensione e definiamo:
Mjj = MAX{dim(Ji)}
- J1
- J2
- Jp
questa A sarà quella che avremo al posto di λ e quindi sarà quella che caratterizzerà in natural modes:
A- eJkt = eAtT |T- analizziamo il singolo eJkλit:
- Jk | λi | λi Jk-2-
- eJit
si dimostra che per k>3 si ha:
=λi + ⟦ 0 0 λ 0⟧ ⟦e λ 0 λ⟧ ⟦λ⟧ ⟦ ⟧
CASO PARTICOLARE (n=2)
I coefficienti della 1a colonna corrispondono a quelli del polinomio e quindi in questo caso "CN coincide con RNS".
OSSERVAZIONE:
Generalmente sappiamo che un sistema è stabile se i suoi λi hanno Re {λi} < 0, ossia sono a sx dell'asse immaginario; quando ci interessa sapere se gli autovalori λi si trovano a dx di un certo valore "d" bisogna ripetere lo schema precedente effettuando questo cambio di variabile
λ ↦ λ - d ↔ λ + d ↦ μ ⇔ Re {λ + d } = 0 ⇔ Re { μ} = 0
risolvendo il sistema nella nuova variabile μ si rispota banalmente a d (è come se avessi traslato l'asse t.c.m di una quantità d verso sx). Re {λi} < d ⟺ equivalente a Re {λi + d} = 0
Può essere utile per capire quanto rapidamente decade la risposta.
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