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CONSIDERIAMO LE EQUAZIONI DI MAXWELL NEL DOMINIO TRASFORMATO
Le trasformate che considereremo sono
o la trasformata di furier che vale per segnali che variano nel tempo in maniera
arbitraria
o la trasformata fasoriale per i segnali puramente sinusoidali.
TRASFORMATA DI FURIER
ATTRAVERSO LA TRASFORMATA DI FURIER SCRIVIAMO UNA FUNZIONE CHE HA UN
ANDAMENTO NEL TEMPO ARBITRARIO COME UNA SOVRAPPOSIZIONE DI TANTE
jωt
e
FUNZIONI DEL TIPO OVVERO ESPONENZIALI COMPLESSI A DIVERSA FREQUENZA ω
(omega).
La trasformata di furier è definita in questo modo:
(ho la trasformata di un vettore e (campo elettrico) rispetto
al tempo )
(con frequenza angolare o pulsazione ω =2πf)
Per ottenere la funzione originaria nel dominio del tempo si può usare la formula inversa
detta antitrasformata. PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FURIER
LA TRASFORMATA DI UNA FUNZIONE REALE È UNA FUNZIONE COMPLESSA ED
ERMITIANA.
Hermitiana significa che la parte Re è pari mentre la parte Im è dispari.
LA TRASFORMATA DI UNA FUNZIONE REALE E PARI È UNA FUNZIONE REALE E PARI
LA TRASFORMATA DI FURIER DELLA DERIVATA RISPETTO AL TEMPO DI UNA FUNZIONE È
PARI A Jω PER LA FUNZIONE F .
la derivata rispetto al tempo nel dominio del tempo diventa
semplicemente una moltiplicazione per jω nel dominio trasformato
SE UNA FUNZIONE DEL TEMPO È PARI AL L'INTEGRALE DI CONVOLUZIONE SI OTTIENE UN
PRODOTTO TRA LE TRASFORMATE DELLE FUNZIONI
(annotazione esterna:
per convoluzione si intende il prodotto tra due funzioni traslate di un certo valore)
TRASFORMATA FASORIALE
Nel caso di grandezze sinusoidali puramente sinusoidali conviene lavorare con la
trasformata fasoriale.
Fissata la frequenza ω un SEGNALE SINUSOIDALE è completamente caratterizzato da due
numeri reali:dalla sua ampiezza A e dalla sua fase (phi).
ϕ
Questi due numeri reali li possiamo considerare come modulo e fase di un numero
complesso F e quindi il fasore F (“f maiuscolo”) che corrisponde ad una funzione
sinusoidale f(t) è quel numero complesso che ha come modulo l'ampiezza della sinusoide
e come fase, la fase iniziale della sinusoide:
(Fasore che corrisponde a una grandezza sinusoidale che varia
sinusoidalmente nel tempo )
La formula inversa: jωt
Per trovare la funzione f(t) ,noto il fasore F ,moltiplico quest’ultimo per e e ne prendo la
parte reale .Cosi ottengo proprio il modulo di F quindi A per il cos (ωt+ )
ϕ
Proprietà
ho le stesse proprietà della trasformata di fourier:
EQUAZIONI DI MAXWELL NEL DOMINIO TRASFORMATO
La forma delle equazioni di Maxwell è la stessa sia nel dominio della trasformata di furier
che per la trasformata dei fasori perché in entrambi in entrambi i casi alla derivata rispetto
al tempo corrisponde la moltiplicazione per jω. (“ρ maiuscolo”)
Se le sorgenti sono sinusoidali, per la linearità delle eq. di Maxwell (ed ipotizzando che
anche le relazioni costitutive siano lineari) tutti i campi saranno sinusoidali.
Se j e ρ variano sinusoidalmente nel tempo allora tutti i campi avranno lo stesso
andamento.
VETTORE FASORIALE
E’ un vettore le cui componenti variano sinusoidalmente nel tempo.
Se un campo ha componenti che variano sinusoidalmente nel tempo, esso si può scrivere
come: ho fissato il punto dello spazio quindi
ho dipendenza solo da t
Nel dominio dei fasori (quindi non ho dipendenza dal tempo) avremo
La formula inversa sarà
Il vettore e nel dominio del tempo, qualunque sia t, è la combinazione lineare dei due
vettori reali R e I .
ORA SE UN VETTORE È LA COMBINAZIONE LINEARE DI ALTRI DUE VETTORI ,ESSO È
COMPLANARE .
Al variare del tempo, cioè qualunque sia l'istante di tempo, il vettore nel dominio del
tempo giace sul piano definito dal vettore parte reale e vettore parte immaginaria del
fasore.
In particolare l’estremo libero del vettore campo elettrico descriverà una curva chiusa
(perché se le componenti sono sinusoidali vuol dire che il vettore varia periodicamente nel
tempo con periodo T e quindi l'estremo libero del vettore certamente descriverà una curva
chiusa).
Questa curva chiusa che viene descritta dall'estremo libero del vettore è una curva chiusa
piana che appartiene ancora al piano definito da parte reale e parte immaginaria del
vettore fasoriale E.
IL PIANO DEFINITO DA R E DA I VIENE CHIAMATO PIANO DI POLARIZZAZIONE ma è vero se
R ed I non sono paralleli,perché se sono paralleli non definiscono un piano ed entrambi
hanno la stessa direzione e qualunque piano che passa per questa direzione contiene sia R
che I.Se per caso R ed I sono paralleli e quindi il campo fasoriale ha parte reale e parte
immaginaria paralleli addirittura il campo elettrico nel dominio del tempo non solo è
vincolato a stare su un piano ma addirittura è vincolato a stare lungo la retta definita da R e
da I (si chiama direzione di polarizzazione del campo).
“Ora scegliamo il sistema di riferimento in modo tale che il piano di polarizzazione coincida
con il piano XY perché se facciamo così, siccome il campo e giace nel piano di
polarizzazione,il campo e avrà solo componente lungo x e lungo y mentre avrà una
componente nulla lungo z e quindi ci semplifichiamo in questo modo un po' la vita”.
Avremo
| |cos( )
= +
0
{ = −
0 0
(
= + + )
| |cos
0
L'estremo libero del vettore è un vettore che varia sicuramente nel tempo e descrive una
curva chiusa piana. vediamo di capire che tipo di curva sia.
Dall’ equazione dobbiamo eliminare la variabile t
COS(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
Uso le formule di addizione per il cos
| |cos( )
= +
0
{ ( ) )
= + cos − sin( + sin
| |cos | |
0 0
Divido per il modulo di E e di E ,inoltre scrivo il seno in termini di cos
x y
)
= +
cos( 0
| |
√
) ( )
= + cos − − + sin
cos( 0
| |
{
ora
)
+ =
cos( 0 | |
ottengo 2
−√1
− cos = − sin
2
| | | |
| |
Elevo al quadrato 2
2 2
2 2 2
cos + −2 cos = sin − sin
2
2 2
| | | |
| || |
| |
2 2
Metto cos e sin insieme e poiché la loro somma fa 1 si ha:
2
2
2
+ − 2 cos = sin
2
2
| | | || |
| |
e
OVVERO L’EQUAZIONE DESCRITTA DALL’ESTREMO LIBERO DI SAREBBE L’EQUAZIONE
DELL’ELLISSE NON CANONICA (GLI ASSI DELL’ELLISSE NON CORRISPONDONO AGLI ASSI
CARTESIANI)
ESISTONO DUE CASI PARTICOLARI DI POLARIZZAZIONE
POLARIZZAZIONE LINEARE : CASO IN CUI L’ESTREMO LIBERO DEL VETTORE CAMPO
ELETTRICO DESCRIVE UN SEGMENTO DI RETTA
(SOSTANZIALMENTE L'ESTREMO LIBERO VA AVANTI E
INDIETRO LUNGO UNA RETTA).
QUESTO ACCADE IN 3 CASI
1) QUANDO UNA DELLE DUE COMPONENTI È PARI A ZERO
| | | |
≠ 0 = 0
{ ∪{
= 0 ≠ 0
| | | |
→
= 0
| |
Se il campo elettrico ha solo componente lungo X e quindi sarà costretto a
giacere sull'asse x e quindi sarà polarizzato linearmente lungo x .
| | = 0
Se il campo elettrico è costretto a giacere sull'asse y .
Se invece
| | ≠ 0, ≠ 0
| | 2
2 | |
→ →
{ + ∓ 2 = 0 = ±
2
2
| | | || | |
= ( ) |
| |
NB
SFRUTTO QUADRATO DI UN
BINOMIO(A^2+B^2+2AB)
Il cos=+-1 mentre il sin=0
Otteniamo l'equazione di una retta passante per l'origine e di pendenza pari a
| |
± a seconda che n sia pari o dispari.
| |
POLARIZZAZIONE CIRCOLARE (min 1:26:00)
L’ESTREMO LIBERO DISEGNA UNA CIRCONFERENZA
| | = | |
{ = +
2
Se sostituisco l’angolo si ottiene 2
2
+ =1
2 2
| | | |
L’ellisse non è più obliqua ma diventa in forma canonica ovvero con gli assi che coincidono
con l’asse x e y .
Otteniamo un’equazione di una circonferenza di raggio modulo E .
x
Quello che cambia a seconda che n è pari o dispari è il verso di percorrenza della
circonferenza.
RIPRENDIAMO LE EQ DI MAX NEL DOMINIO DEL TEMPO E NEL DOMINIO DEI FASORI
nel vuoto DEVO
SCERIVERE LE EQ
IN TERMINI DI
e ED h
Potremmo trattare i mezzi materiali usando le equazioni di Maxwell nel vuoto tenendo
conto esplicitamente della presenza di tutte le cariche microscopiche , cosa impossibile.
I mezzi materiali vengono descritti come se fossero costituiti da un continuo di cariche e
di densità di correnti e vengono introdotti dei campi ausiliari b e d.
Bisogna tener conto che nel mezzo materiale si possono indurre delle correnti J (per
esempio nei metalli ci sono degli elettroni che sono liberi di muoversi all'interno e possono
indurre delle correnti) allora in generale i mezzi materiali si distinguono a seconda se al loro
interno si possono generare correnti indotte o meno.
CLASSIFICAZIONE MEZZI MATERIALI
La classificazione si può basare sulla capacità di condurre o meno la corrente elettrica .
Se si possono generare correnti indotte i mezzi vengono detti conduttori (metalli, soluzioni
saline).
Se non si possono generare correnti indotte si parla di isolanti.
Se si possono generare correnti indotte molto basse si parla di semiconduttori.
Un'altra classificazione si basa sul comportamento dal punto di vista magnetico.
Infatti ci sono dei materiali che sono detti magneti permanenti che hanno propriet&
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