Condensatore, induttanza ed altro

ORA DEFINIAMO ALCUNE GRANDEZZE:

10 IMPEDENZA DI INGRESSO DEL TRATTO A VALLE DI Z O “IMPEDENZA ALL’ASCISSA Z”.

Preso un circuito Se fisso un punto z e sono interessato a cio’

che succede a monte, posso schematizzare

il resto del circuito a valle con un circuito

equivalente in cui all’ascissa z è presente un

parametro concentrato ovvero l’impedenza

Z.

Questa impedenza lungo l’ascissa z non è l’impedenza caratteristica della linea Z 0.

Z è una costante mentre Z(z) varia con z e solo in un caso coincidono ed è solo quando è

0

presente solo l’onda progressiva.

Che succede se c'è solo l'onda progressiva? -

Se c'è solo l'onda progressiva manca il termine V ovvero non ci sono i termini

- -

jkz -jkz

V e ed -V e . →Z=

E se facciamo il rapporto tra V(z) e I(z) rimane solo 1/Z al denominatore Z

0 0

COEFFICIENTE DI RIFLESSIONE ALL’ASCISSA Z

E’ IL RAPPORTO TRA LA TENSIONE DELL’ONDA REGRESSIVA E LA TENSIONE DELL’ONDA

PROGRESSIVA

mettendo insieme il rapporto dei due esponenziali si avrà

−

è il valore del coefficiente di riflessione

+

all’ascissa z=0.

Otteniamo che

è detta FORMULA DEL TRASPORTO PER Γ (gamma) perché consente,noto il coefficiente di

riflessione all'ascissa zero, di ottenere il coefficiente di riflessione ad un ascissa z qualsiasi

lungo la linea.

Analogamente alla formula del trasporto per tensione e correnti che consentivano da

tensioni e correnti all’ascissa zero di trovare tensione e corrente all’ascissa z qualsiasi.

11

Esiste un legame tra Γ(z) ed Z(z).Troviamolo.

Scrivo Z in forma progressiva + -jkz

Quindi Z passa al numeratore e se metto in evidenza V e

0 (1:41:00)

Ora troviamo la formula inversa

Quindi

Possiamo quindi riscrivere V e I come

Ora otteniamo La FORMULA DEL TRASPORTO PER L’IMPEDENZA

Nota l’impedenza all’ascissa 0 potremmo trovarla per un’ascissa qualunque.

Scriviamo Z in forma stazionaria

Con il mcm con Z e mettendo in evidenza I(0) cos(kz),Avremo

0

120421 continuo linee di trasmissione…

Abbiamo visto che la soluzione dell'equazione delle linee espressa sia in forma progressiva

(come sovrapposizione di un'onda progressiva e di una regressiva) e sia in forma stazionaria

(come interferenza di due onde stazionarie).

Ora vediamo che anche il flusso di potenza attraverso una sezione trasversa e l’energia

elettromagnetica immagazzinata nella linea possono essere espresse tramite tensione e la

corrente .

12

FLUSSO DI POTENZA ATTRAVERSO UNA SEZIONE TRASVERSA DELLA LINEA

Si deve calcolare il flusso del VETTORE DI POYNTING attraverso quella superficie quindi

dobbiamo prendere il flusso di potenza attraverso la sezione trasversa (indicata con s)

all’ascissa z.

Il flusso di potenza complessa attraverso la sezione trasversa posta all'ascissa z sarà

Abbiamo scritto i perché la normale ad una sezione trasversa è proprio il versore i

z z

(i in questo caso coincide con i ).

n z

Poichè stiamo considerando modi TEM avremo che E ed H sono puramente trasversali

quindi coincidono con E ed H ,quindi li possiamo sostituire con V(z)e ed I(z)h :

t t

V(z) e I*(z) li possiamo portare fuori dal segno di integrale perché l'integrale esteso alla

superficie della sezione trasversa della linea su cui z è fissato quindi non varia sulla sezione

z.

Ora usiamo la proprietà di invarianza per permutazioni cicliche del prodotto misto

(quindi spostiamo tutto di una posizione a sinistra e portiamo e all'ultimo posto)

Ma hxi = ,quindi

z

Sostituisco e (min 6’)

Dobbiamo capire il valore di quel modulo.

Usiamo LA 1° IDENTITÀ DI GREEN SCALARE

Tale identità afferma che se prendiamo una spf S piana il cui contorno è

una curva C allora l’integrale di una funzione f per il laplasiano di un'altra

funzione g è (no DIMOSTRAZIONE)

Nel nostro caso la superficie S è la sezione trasversa della guida (quindi della linea di

trasmissione) delimitata all'interno dal conduttore centrale C e dal contorno esterno C .

1 0

C è il contorno della sezione trasversa e include C e C .

1 0

Inoltre poniamo f= ϕ e g=ϕ* .

13

Otteniamo che

Parlando del primo integrale possiamo dire che poiché ϕ (fi) è soluzione dell’equazione di

laplace,il laplaciano trasverso di ϕ è pari a 0; (VEDI PDF 8 PG 23)

Ciò significa che il laplaciano trasverso della parte reale e parte Im del laplaciano di ϕ è pari

a 0→ il laplaciano di ϕ coniugato è 0 .

Rimangono solo due integrali e scomponendo C avremo

Se ricordiamo per fare in modo che la funzione scalare di modo V coincidesse proprio con la

differenza di potenziale tra i due conduttori fissammo la differenza di ϕ(1) - ϕ(0)=1.

Ma ϕ =0 e ϕ =1 .

0 1

Quindi sul contorno C ho ϕ=0 e su C ho ϕ=1

0 1

Per la definizione che demmo su A in modo che la funzione scalare di modo I era uguale alla

corrente che scorre nel conduttore centrale, avremo:

{in realtà nella definizione era presente il segno “-” e i era uscente rispetto al conduttore,

n

in questo caso la normale è uscente rispetto alla sezione trasversa quindi entrante nel

conduttore e quindi considerando la normale uscente dal conduttore invece che entrante,

ci vuole un segno meno, di conseguenza l’integrale è proprio uguale ad A coniugato}

Sostituisco questa relazione nella formula

e rimane

ovvero è esattamente la formula che avremmo se volessimo calcolare la potenza

consegnata a un carico costituito da un bipolo qualsiasi.

Scrivendo le corrispondenti espressioni in forma progressiva

14

Ora sono uno il complesso coniugato dell’altro.

Se ho un numero complesso meno il suo coniugato rimane 2 volte la parte Im.

Sostituendo nella formula avremo

Se scriviamo così la potenza, possiamo già vedere la parte Re (potenza attiva) e parte Im

(potenza reattiva).

La prima risulta la differenza di 2 termini

Dove:

• è il flusso di potenza associato all'onda di tensione progressiva

• è il flusso di potenza associato all'onda regressiva.

il segno meno indica che il flusso di potenza è nel verso negativo dell'asse z

Quindi il FLUSSO DI POTENZA ATTIVA NETTO può essere visto come la differenza tra il

flusso di potenza attiva associata all'onda progressiva (che si propaga nel verso positivo

dell'asse z) meno il flusso di potenza attiva associata all’onda regressiva (si propaga invece

nel verso negativo)

Mentre è il flusso di potenza puramente reattiva

Poiché la dipendenza da z compare solo nella parte Im e non compare nella parte Re della

potenza complessiva, possiamo dire che la potenza attiva è costante lungo la linea

(infatti, in base al principio di conservazione dell'energia, visto che stiamo considerando

la linea senza perdite non ci sono perdite).

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E’ possibile legare l’onda progressiva e onda regressiva.

Consideriamo Γ (gamma) .

Effettuando opportune modifiche in P(z) si ha

(min 27’)

Un altro modo di scrivere P(z) non considerando il coefficiente di riflessione ma

considerando l’impedenza all’ascissa z è

Considerando invece l’ammettenza (reciproco dell’impedenza)

Dove

ORA ABBIAMO DETTO CHE

IL FLUSSO DI POTENZA ATTIVA È LA DIFFERENZA TRA LA POTENZA ATTIVA ASSOCIATA

ALL’ONDA PROGRESSIVA MENO QUELLA ASSOCIATA ALL’ONDA REGRESSIVA.

Quest’ultima l’abbiamo scritta come

Ora se l'asse z è orientato nel verso che va dal generatore verso il carico, la potenza che va

dal generatore verso il carico (il flusso di potenza attiva) deve essere necessariamente

positiva.

LA POTENZA ATTIVA DELL’ONDA RIFLESSA DAL CARICO NON PUÒ ESSERE MAGGIORE DI

QUELLA DELL’ONDA INCIDENTE OVVERO LA POTENZA ASSOCIATA ALL'ONDA

PROGRESSIVA DEVE ESSERE MAGGIORE UGUALE DELLA POTENZA ASSOCIATA ALL’ONDA

REGRESSIVA.

Ciò vuol dire che -

(N.b. nella formula di Γ ricorda che V è al numeratore)

16

Il legame che c’è tra Γ e Z è (ho scomposto perché Z è

complesso)

Quindi dovremmo avere

NOTA:QUESTO VALE SE I GENERATORI SONO SOLO DA UN LATO E SE IL CARICO È PASSIVO

17 ENERGIA ELETTRICA ED ENERGIA MAGNETICA

Anche l'energia elettrica e l'energia magnetica possono essere scritte in termini di

tensioni e correnti.

L'energia elettrica immagazzinata in un certo volume si può scrivere,dal th di pointing,

come

questo vale anche se il volume è all'interno della linea di trasmissione compreso tra i due

conduttori e compreso tra l’ascissa z e l’ascissa z

1 2

Ora calcoliamo l'energia immagazzinata nella linea trasmissione tra l’ascissa z e l’ascissa z

1 2 .

Ho separato l’integrale triplo in un integrale singolo tra le due ascisse e un integrale doppio

esteso ad S (sezione trasversa alla linea di trasmissione).

Inoltre

• ho sfruttato il fatto che il modo è TEM quindi E=E =Ve(z)

t

• (vedi pg 14)

Avremo che

Ma εA=C (capacità per unità di lunghezza)

quindi L'ENERGIA ELETTRICA

18

l'ENERGIA MAGNETICA,sempre per il teorema di pointing, è pari a

poi come prima ho separo gli integrali

inoltre

• H=H

t

• hxi =e/A

z

MA (vedi pg 14)

Ora μ/A=L (induttanza per unità di lunghezza)

Quindi l'energia magnetica immagazzinata nel tratto di linea tra z e z è

1 2

L’integrando è l’Energia per unità di lunghezza immagazzinata nella linea, per averla su

tutta la linea dobbiamo integrare tra z e z .

1 2

19

Definiamo il parametro (per la linea di trasmissione) ROS detto anche VOLTAGE STANDING

WAVE RATIO (VSWR) RAPPORTO DI ONDA STAZIONARIA (ROS)

Il ROS PER DEFINIZIONE È IL RAPPORTO TRA IL VALORE MASSIMO E IL VALORE MINIMO

DEL MODULO DELLA TENSIONE LUNGO LA LINEA.

E’ possibile legare il rapporto di onda stazionaria al modulo del coefficiente di riflessione.

+ -jkz +

Se scriviamo il modulo di |V(z)| mettendo in evidenza V e e quindi semplicemente | V |

per|1+Γ(z)|. Idem per il denominatore.

Quindi avremo: (vedi pg 12)

Nota:

+

|V | è una costante

Analizzo |1+Γ(z)| Prima con il metodo matematico e poi con quello grafico.

Poiché Γ è un numero complesso, possiamo scrivere

Andiamo a usare la formula del trasporto di Γ e facendone il mo