Circuiti - introduzione

Circuiti contenenti bipoli dinamici

Cosa accade quando in un circuito apriamo o

chiudiamo un interruttore?

Corrente e tensione variano, ma come?

t = t i(t)

0 i(t)

R R)

+

E/(R

+ S

i i

R

E t t

0

Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno

Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005

Nel caso siano presenti solo generatori e

resistori, a causa della “staticità” della

caratteristica, tensioni e correnti passano dal

valore assunto prima dell’intervento

dell’interruttore a quello successivo in maniera

“istantanea”.

t = t i(t)

0 i(t)

R R)

+

E/(R

+ S

i i

R

E t t

0

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Esiste una differenza fondamentale rispetto al

caso di circuiti contenenti soli bipoli statici

quando nel circuito esistono anche bipoli

dinamici (condensatore o induttore).

t = t

0 Per tali circuiti sarà in

i(t) generale necessario

R S

+ i risolvere sistemi di

E C

v (t)

C equazioni algebrico-

differenziali.

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Le equazioni algebriche discendono dalle LKC,

LKT e dalle caratteristiche dei bipoli statici,

mentre i bipoli dinamici introducono relazioni

differenziali. Le tensioni e correnti

t = t

0 passano dal valore assunto

i(t)

R S prima dell’intervento

+ i dell’interruttore a quello

E C

v (t)

C successivo in un intervallo

di tempo, detto transitorio.

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Transitori del primo ordine

Il transitorio dipende dai valori dei parametri

(resistenze, capacità, induttanze) del circuito.

i(t)

t = t

0 i(t)

R S

+ i

E C

v (t)

C t t

0

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Proprietà di continuità (della tensione)

1V v(t) C=1F

i(t)

1A

0 2

1 3 t(s)

i(t) v(t)

-1A

In un condensatore LTI la tensione risulta continua

anche se la corrente è discontinua.

Questa proprietà può essere convenientemente

adoperata per calcolare la soluzione di circuiti

contenenti bipoli dinamici.

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Scarica di un condensatore

Consideriamo il caso di un condensatore C carico

in cui l’intervento

ad una tensione V

0

dell’interruttore S all’istante t=0 determina un

transitorio. Il circuito si dice autonomo in quanto

non sono presenti generatori. Soluzione per t>0:

Soluzione per t<0: t=0 = − +

= 0 Ri (

t ) v (

t )

i ( t ) 0 C

i(t)

S

=

v ( t ) V dv

= −

R

C 0 C

C ( )

i t C

v (t)

C dt

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dv 1

+ =

C v ( t ) 0

Per t>0 si ottiene: C

dt RC

Si tratta di una equazione differenziale di primo grado

lineare a coefficienti costanti.

Per ottenere la soluzione occorre (problema alla

Cauchy) conoscere una condizione iniziale: si può

allora sfruttare il fatto che la tensione sul condensatore

è continua nell’intorno dell’istante 0.

dv 1

+ =

C v ( t ) 0

C

dt RC

=

v ( 0 ) V

C 0

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