Circuiti - introduzione

Costante di tempo e frequenza naturale

τ=RC

Il prodotto è detta costante di tempo del circuito (dimensionalmente è un tempo).

[V] = [A][s]

τ = RC = [s]

Il reciproco della costante di tempo è chiamata frequenza naturale.

Condizioni iniziali e costante di integrazione

L’integrale generale dell’omogenea è dato da:

t−= τv(t) + keC

La costante di integrazione si determina imponendo la condizione iniziale:

t−=0 => keC = 0 => kV0C = 0

Soluzione dell’equazione

La soluzione dell’equazione differenziale risulta pertanto:

t−= τv(t) + VeC0

Si tratta di un esponenziale decrescente a causa...

delfatto che i bipoli sono passivi (R e C >0).Se così non fosse, risulterebbe violato il principio diconservazione dell’energia.

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100 L’andamento nel tempo dellatensione è di tipo esponenziale

80 decrescente ed è descritto dallacostante di tempo:

60[%] τ = RCV

40 E’ possibile rappresentare tale

36.8 andamento in funzione di un tempoτ

20 “normalizzato” rispetto a .

13.6

5.11.9 0 0 1 2 3 4 5τ

t/Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno

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100 L’intervallo di tempo in cui latensione sul condensatore varia trai valori (di equilibrio) per t<0 e per

80 t→∞, è detto transitorio.

60[%] La tensione, già dopo 5 costanti diV

tempo, risulta di valore 40 “praticamente” trascurabile, ovvero 36.8 non apprezzabile da un voltmetro 20 “reale”. 13.65.11.9 0 0 1 2 3 4 5τt/Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005 100 dv V= − 0C Si osserva che la derivata: τdt = 0t80 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in t=0. 60[%] τ . Essa interseca l’asse dei tempi in t = V40 36.8 20 13.65.11.9 0 0 1 2 3 4 5τt/Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno Corso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005 Carica di un condensatore Consideriamo il caso di un condensatore inizialmente scarico in cui l’intervento dell’interruttore S all’istante t=0 determina un transitorio. t=0 Il circuito si dice non i(t) R S+ autonomo in quanto è presente un generatore. E C v (t) C Prof.

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t=0 Soluzione per t<0:

i(t)R S+ =i ( t ) 0

E Cv (t)C =v ( t ) 0C

La soluzione per t>0 si ottiene risolvendo il seguente sistema di equazioni algebrico-differenziale

t>0 = +E Ri (t ) v (t )

i(t)R+ CdvE Cv (t) = CC i t C( ) dt

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Sostituendo la caratteristica del condensatore nella LKT si ottiene:

dv= +CE RC v ( t )Cdt

Dividendo per RC si ricava l’equazione risolvente :

dv v ( t )E = +C CRC dt RC

Si tratta di un’equazione differenziale del primo ordine, lineare a coefficienti costanti e non omogenea.

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Affinché essa ammetta soluzione unica, occorre (problema di Cauchy) precisare una condizione iniziale.

dv vE = +C CRC dt RC

Tale condizione può essere imposta sulla base della conoscenza della tensione sul condensatore che si manterrà continua nell'intorno dell'istante in cui avviene l'intervento dell'interruttore.

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t>0

dv v ( t )E = +C Ci(t)R+ RC dt RC

RC= =E Cv (t) v ( t ) v ( t ) 0C –= = +C Ct 0 t 0

La soluzione è somma di due termini:

- il primo è l'integrale generale della equazione differenziale omogenea, ottenuta, cioè, annullando il termine noto;

- il secondo è il cosiddetto integrale particolare.

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L'integrale generale dell'omogenea è dato da:

t−= τv ( t ) keC

L'integrale particolare può essere calcolato:

• per via matematica, imponendo che esso assuma la stessa forma (di tipo polinomiale in t) del termine noto;

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L'integrale particolare può essere calcolato:

• utilizzando il fatto che per t→∞ (ovvero dopo poche costanti di tempo) le grandezze del circuito assumono la stessa legge oraria del forzamento (e quindi costanti nel tempo). In tal caso la caratteristica del condensatore coincide con quella di un circuito aperto.

i (t)=0R+ p =v ( t ) Et→∞ CE Cp

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Ldi=v(t)

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Sostituendo la caratteristica dell’induttore nella LKT si ottiene: di= + Ri(t)E L dt

Dividendo per L si ricava l’equazione risolvente il circuito: E di i= + τL dt

Il rapporto L/R, che ha dimensioni di un tempo, si chiama costante di tempo del circuito.

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La condizione iniziale può essere imposta sulla base della conoscenza della corrente nell’induttore che si manterrà continua nell’intorno dell’istante in cui avviene l’intervento dell’interruttore.

E di i(t)= + τL dt = =i(t) i(t)0- = = +t 0 t 0

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La soluzione è somma di due termini:

- il primo è l'integrale generale della equazione differenziale omogenea, ottenuta, cioè, annullando il termine noto;

- il secondo è il cosiddetto integrale particolare.

L'integrale generale dell'omogenea è dato da:

t^-τ i(t) dt

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L'integrale particolare può essere calcolato:

- per via matematica, imponendo che esso assuma la stessa forma del termine noto (una costante);

- utilizzando il fatto che per t→∞ le grandezze del circuito assumono la stessa legge oraria del forzamento (e quindi costanti nel tempo). In tal caso la caratteristica dell'induttore coincide con quella di un corto circuito. R i(t) = E/R i

( t ) E / R+ p pLE t→∞Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno

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Soluzione dell’equazione

La costante di integrazione si determina imponendo la condizione iniziale: t−E E= + = → = −τi ke k( 0 ) 0R R=t 0

da cui la soluzione per t>0 risulta: t−E= − τi ( t ) (1 e )R

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