Calcolo numerico

Calcolo Numerico

Aritmetica ed errori

Rappresentazione Floating-Point

a = (-1)^s pⁿ

N^* ≤ p ≤ 1

1 BIT SEGNO

52 BIT MANTISSA

11 BIT ESPONENTE

Esiste: Regione di Underflow e Overflow

Tipi di errori

n^o di cifre di mantissa: rounding to even

• Arrotondamento → se equidistante → arrotonda al n^o par
• → se + vicino ad uno

Errore Assoluto ea: |x- x̅| Errore Relativo er: |x- x̅|/|x| x ≠ 0

Operazione di Macchina: 2 numeri di macchina e poi arrotondati

• Vale: Commutativa: Somma e prodotto
• Non vale: Associativa e distributiva

Cancellazione Numerica

Quando? sottrazione tra 2 numeri simili

Calcolo Numerico

Aritmetica ed errori

Rappresentazione Floating-Point

a = (-1)^s p^N

N'₁ ≤ p ≤ 1

1 bit segno52 bit mantissa11 bit esponente

Esiste: Regione di Underflow e Overflow

Tipi di errori

• N° di cifre di mantissa: rounding to even
  • Arrotondamento → se equidistante → arrotonda al n° par
  • → se + vicino ad uno
• Errore assoluto ea = |x-_x|
• Errore relativo er = |x-_x|/|x| x≠0
• Operazioni di macchina: 2 numeri di macchina e poi arrotondati
  • Vale: Commutativa - Somma e Prodotto
  • Non Vale: Associativa e Distributiva

Cancellazione Numerica

Quando? Sottrazione tra 2 numeri simili

Soluzioni possibili alla cancellazione numerica

1. Alzare precisione di macchina (no vera soluzione)
2. Razionalizzazione:
3. Taylor - attenzione: non sempre possibile xkè num.i troppo grandi
4. Trigonometria

forma esplicita y = f(x) forma implicita: f(x, y) = 0

Condizionamento di un problema numerico

DA y = f(x)

Trovare K t.c. |y₂ - y₁| / |y₁| ≤ K (|f_j, x₁|x - x₁| / |x|) K n° di condizionamento

Algoritmo è stabile se |y^(c) - y^(f)| / |y^(f)| < ε_m

Approssimazione di dati e funzioni

Criterio dell'interpolazione

• Interpolazione con una funzione lineare
• Interpolazione polinomiale

Alcune funzioni d'ordine con condizioni di regolarità

Unico polinomio

Approssimazione polinomiale

Interpolazione polinomiale

Criterio di approssimazione

Unicità ed esistenza del polinomio interpolante

1. Di grado n
2. Polinomio non nullo
3. Ha n+1 zeri (n+1 = n° punti)

es esercizio:

PONOMI di GRADO: n=5,9,13 che INTERPOLANO

f(x)=₁⁄^{(1+x^2)} in nodi equidistanti in (a,b) e, per

Ciascuno dei 3 casi rappresentare graficamente

RIPETERE con i nodi di CHEBYSHEV

t_i=-cos(_(2i-1)π⁄²⁽ⁿ⁺¹⁾) i=1, ... , n+1

definiti sull'intervallo [-1,1] e opportunamente

trasformati in [a,b] mediante x_i=_b-at_i+_b+a⁄²

clc

clear all

f=@(x) 1./(1+x.^2)

a=-5;

b=5;

for n=5:4:13

X=linspace (a,b,n+1);

n=0(1)

y = f(x);

c = polyfit(x, y, n);

z = linspace(a, b);

fz = f(z)

p = polyval(c, z);

plot(x, y, 'k', z, fz, 'r', z, p, 'b', 'linewidth',

end

2) CHEBYCHEV

clc

clear all

f = @(x) 1./(1+x.^2)

a = -1;

b = 1;

for n = 5:4:13

i = 1: n+1;

t = -cos((2*i-1)*pi)/(2*(n+1)));x = ((b-a)/2)*t + (b+a)/2);y = f(x);c = polyfit(x, y, n);

z = linspace(a, b);fz = f(z);p = polyval(c, z);

plot(x, y, 'ko', z, fz, 'r', z, p, 'b', 'linewidth', 2);errore = max(abs(fz-p))

RAPPRESENTAZIONE di LAGRANGE del POLINOMIO

RISULTATO: STESSO PUNTO DELL’INTERPOLANTEPER CIASCUN NODO SI DEFINISCE UN POLINOMIO

es: 4 NODI x_i = {x₁, x₂, x₃, x₄} = {0, 1, 2, π/2}

ℓ₁ = ((x - x₂))((x - x₃))((x - x₄)) / ((x₁ - x₂))((x₁ - x₃))((x₁ - x₄))

₂ = (−₁)(−₃)(−₄) ...

(₂−₁)(₂−₃)(₂−₄)

=ᵢ(₃) = 0 ≠

ₙ() = ()−ₙ() -

'̀ ;

° → ̄̄ = → ||||∞ = _{x ∈ [,b]}|()|

+

ₙ

||ₙ||∞= _{x ∈ [,b]} |()−(x)|

̀

• -

CHEBYSHEV

ξ_i := cos &LeftParen;½(2i - 1)π&RightParen;_h ∈ [-1, 1]

CHEBYSHEV-LOBATTO

ξ_i := cos &LeftParen;½(i - 1)π&RightParen;_n ∈ [-1, 1]

i = 1, ..., n+1

INTERPOLAZIONE A TRATTI: SPLINE

• Utilizza polinomi diversi e basso grado per ogni sotto-intervallo
• Max grado ^d - stesso per ogni sotto-intervallo
• Soddisfa condizioni di interpolazione
• La derivata del polinomio è continua

SPLINE di ORDINE 1

d = 1 - Tutte le derivate fino alla (d-1) sono continue

Funziona come la ricerca di retta tra 2 punti

h = max_1≤i≤n (x_i+1 - x_i) allora ||f - S_h||_∞ = O(h²)

Spline cubiche

d=3

S₃(x) è un polinomio di terzo grado

Ogni sottointervallo ha 4 condizioni da rispettare:

1. Polinomio cubico su ciascuno
2. Spline deve essere interpolante + ogni estremo sinistro agganciato con il dx
3. Continua in tutti i punti di raccordo
4. Derivata seconda deve essere continua

Spline cubiche

• Naturali
  • Derivata seconda = zero ai nodi
• Not-a-knot
  • La continuità della deriv. terza nei nodi x₂-x_n ⇒ Equazione tra coeff.
• Vincolate
  • Vincoli agli estremi f''(x) = derivate calcolate