Automazione industriale

Stabilità dei sistemi di controllo

STABILITÀ INTERNA:

1. Quando lo stato x(t) tende a 0 per ogni t, gli autovalori hanno parte reale <0. Questa condizione è equivalente alla stabilità esterna se il sistema è raggiungibile e osservabile.

STABILITÀ ESTERNA:

2. Quando per ogni ingresso limitato avremo un'uscita anch'essa limitata, tutti i poli del sistema devono avere parte reale <0. Per stabilire la stabilità si utilizzano i criteri di Routh (algebrico) e Nyquist (geometrico).

CRITERIO DI ROUTH:

Il criterio di Routh è usato per studiare la stabilità dei sistemi di controllo a ciclo chiuso, dove è nota la funzione di trasferimento del sistema a ciclo aperto. Questo criterio ci permette di stabilire se tutte le radici delle equazioni p(s)=0 hanno parte reale negativa senza dover risolvere l'equazione stessa.

CONDIZIONE NECESSARIA:

Il sistema è stabile, ovvero il criterio di Routh è soddisfatto, se tutti i coefficienti "ai" del polinomio sono dello stesso segno e tutti diversi da zero.

0.-------------------------------stessa cosa (automatica)
Il criterio di routh lo utilizziamo per indicare la stabilità sia esterna che interna di un sistema a tempocontinuo quando il polinomio caratteristico diventa complicato. Le condizioni di stabilità dipendono dalsegno delle radici di questo polinomio caratteristico.
Il criterio di routh si basa sulla costruzione di una tabella ottenuta con i coefficienti del polinomiocaratteristico
Considerando la tabella di routh si troverà:
- il numero di radici con parte reale positiva che è uguale al numero di variazioni di segno dei coefficienti della prima colonna della tabella
- il numero di radici con parte reale negativa è uguale al numero di invariazioni di segno
- a volte per sapere quante radici ci sono si puo sostituire lo zero delle ultime righe con una costante positivamolto piccola cosi da poter ricavare la tabella di routh. Oppure si puo fattorizzare il polinomiocaratteristico.
CRITERIO DI

STABILITÀ DI NYQUIST: Consente di determinare la stabilità di un sistema in controreazione, analizzando il diagramma di Nyquist della funzione di trasferimento ad anello aperto F(s).

Per analizzare i sistemi automatici è necessario conoscere:

MARGINE DI STABILITÀ: mi dice quanto posso aumentare il guadagno K prima di arrivare all'instabilità. Maggiore guadagno a ciclo aperto, maggiore precisione a ciclo chiuso ma maggiore instabilità a ciclo chiuso.

MARGINE DI FASE: il margine di guadagno non basta per definire la stabilità di un sistema quindi abbiamo bisogno di sapere il margine di fase per essere sicuri che il sistema è stabile. Il margine di fase indica l'angolo formato dal punto di intersezione della funzione 1+F(s) con la circonferenza di raggio 1 e l'asse reale negativo.

Se MG e MF sono minori di 0 allora la funzione circonda il punto -1 e di conseguenza il sistema è instabile.

REGOLE TRACCIAMENTO

DIAGRAMMI NYQUIST:

ω=0per se ci sono poli all’origine, il modulo è sempre infinito e la fase -90°, se non ci sono poli• all’origine, la fase è 0 se k>0 oppure -180° se k<0 e il modulo=kω=infinitoper il modulo è sempre 0 e la fase tende a n-m(-90°)• se il diagramma non va nel 2 quadrante il sistema a ciclo chiuso è stabile• PRECISIONE A REGIME PERMANENTE-è la risposta forzata che si è stabilizzata dopo tanto tempo che è stato applicato l’ingresso-La risposta di regime permanete è UNICA e INDIPENDENTE dalla condizione iniziale.-Esiste solo se il sistema è stabile.-deve essere precisa ed insensibile ai disturbi perché deve funzionare per istanti molto lunghi.ERRORE DI UN SISTEMA:l’errore a regime permanente si può annullare rendendolo il più piccolo possibile.il tipo o grado del sistema è definito dai poli nell’origine

1. il grado dell'ingresso è definito dagli zeri nell'origine (m=0) (se l'ingresso ha grado K allora anche l'uscita ha grado K)
2. Se n=m avremo un errore costante
3. Se n>m avremo un errore nullo
4. Se n<m avremo un errore che tende all'infinito
5. GUADAGNO STATICO: data una W(s) stabile, è detto guadagno statico il valore di Kw=limW(s) per s che tende a 0. Il guadagno statico indica di quanto amplifico l'ingresso a regime permanente.
6. I poli peggiorano la stabilità perché causano uno sfasamento di -90°
7. ERRORI CAUSATI DA DISTURBI: (con H=1/kd noi consideriamo disturbi costanti) un disturbo è un segnale indesiderato che agisce sul sistema provocando uno spostamento della risposta rispetto a quella prevista. Con ciò è necessario calcolare la funzione di trasferimento disturbo-uscita in modo da renderla nulla.
8. ASTATICITÀ: Un sistema è detto astatico se la risposta a

regime permanente al disturbo è 0 (si può dire anche che il sistema è astatico rispetto ad un disturbo se nei blocchi a monte è presente almeno un polo nell'origine). Se un disturbo è in controreazione non è mai astatico perché non ci sono blocchi a monte con poli nell'origine. STATICITÀ: STATICO un sistema è se nei blocchi a monte di un determinato disturbo non è presente un polo nell'origine. In questo caso il valore di Wd(s) per s=0 è pari al valore della risposta in regime permanente. Se il controllore e il processo utilizzano basse frequenze (ω tende a 0) il disturbo si attenua: - Wd(jω)=0 - G(jω)*P(jω) tende all'infinito Se il controllore e il processo utilizzano alte frequenze (ω tende a infinito) il disturbo non si elimina: - Wd(jω)=1 - G(jω)*P(jω) tende a 0 RISPOSTA TRANSITORIA A differenza della risposta a regime permanente la

RISPOSTA TRANSITORIA è la risposta forzata nei primi istanti successivi all'applicazione dell'ingresso. Dipende dalla condizione iniziale, a differenza della risposta a regime permanente, quindi è difficile da determinare.

Se la risposta transitoria va a 0 allora il sistema è stabile. Se un sistema è instabile non esiste risposta transitoria.

Di solito se la risposta transitoria è soddisfacente all'applicazione di un gradino (sollecitazione più grande) allora lo è per tutti i tipi di ingresso. Come nella risposta a reg. permanente esiste un errore transitorio.

Considerazione: la risposta transitoria è soddisfacente se i poli del sistema a ciclo chiuso appartengono a quella regione desiderata.

POSSIAMO STUDIARE E CARATTERIZZARE LA RISPOSTA TRANSITORIA SECONDO DIVERSI PARAMETRI:

TEMPO DI SALITA: intervallo di tempo che impiega la risposta del sistema per arrivare per la prima volta al valore di regime

TEMPO DI ASSESTAMENTO:

Intervallo di tempo tra 0 e un valore del tempo oltre il quale la risposta a gradino si è assestata attorno al valore di regime.

SOVRAELOGAZIONE: valore in percentuale del picco della risposta rispetto al valore di regime, in genere è meglio che non superi il 10%.

TEMPO EMIVALORE: viene introdotto per i processi industriali, è l'intervallo di tempo che impiega la risposta indiciale (indiciale perché la valuto con parametri empirici) per arrivare al 50% del valore di regime.

TEMPO DI SALITA PER PROCESSI INDUSTRIALI: intervallo tra il 10% e il 90% del valore di un sistema.

ωBANDA PASSANTE: tutto il campo di frequenze che vanno da 0 a B3 (B3 è la frequenza alla quale W(jω) è inferiore di 0.707 volte (-3dB) rispetto a W(0)).

Maggiore è la banda passante, minore sono il tempo di salita e di assestamento e ciò aumenta l'instabilità.

Nella banda passante la risposta viene attenuata e nel picco di risonanza viene

amplificata. La velocità di risposta di un sistema è più elevata quando la sua larghezza di banda è ampia, perché è in grado di seguire sollecitazioni che variano rapidamente.

PICCO DI RISONANZA: è il punto dove W(jω) è massimo

SINTESI PER TENTATIVI

La sintesi per tentativi si fa nel dominio della frequenza di W(s) nei sistemi a ciclo aperto con poli a parte reale negativa, ed il sistema dev'essere preciso.

BISOGNA RISPETTARE 3 SPECIFICHE FONDAMENTALI: (trasferisco queste specifiche W(s) a ciclo chiuso alla F(s) a ciclo aperto)

STABILITÀ:

1. usando Nyquist, esso è stabile se il margine di fase di F(s) è maggiore del 30%-10% e comunque positivo

PRECISIONE:

2. y = Kd*u(t) vogliamo che l'errore sia piccolo e finito. Per ridurlo, essendo l'ingresso desiderato di tipo k, il sistema dev'essere anch'esso di tipo k.

L'ingresso ha un polo con molteplicità molt.=knell'origine nella catena diretta quindi un controllore o un processoE =kd /(kg*kp) elevato guadagno del controllore minore errore2k RAPIDITÀ DI RISPOSTA: 3. si fissa la banda passante B3 a ciclo chiuso che corrisponde a ciclo aperto aω(t). ω(t) ω(t)se dobbiamo spostare la alla bisogna aggiungere una o più reti anticipatrici edesattenuatrici: RETI COMPENSATRICI: RETI ANTICIPATRICI: serve nel caso in cui dobbiamo spostare verso DESTRA la pulsazione verso quella desiderata nel diagramma del modulo (fase) e quindi AUMENTARE di conseguenza il marginedi fase (guadagno). RETI ATTENUATRICI: serve nel caso in cui dobbiamo spostare verso SINISTRA la pulsazione verso quella desiderata nel diagramma del modulo (fase) e quindi DIMINUIRE di conseguenza il marginedi fase (guadagno). Dobbiamo cercare di mantenere costante il guadagno perché amplificare il sistema costa. LUOGO DELLE RADICI

Il luogo delle radici è il luogo descritto dalle radici dell'equazione 1+F(s)=0 o meglio riscriverla come:

Il luogo delle radici è un metodo per valutare come variano i poli a ciclo chiuso al variare di K' quando K' vada 0 a +infinito (luogo positivo delle radici)

CONSIDERAZIONI:

1. Se l'equazione algebrica è di grado n allora essa ha n radici
2. Il luogo delle radici è costituito da tanti rami quanti ne indica n (simmetrici all'asse reale)
3. Se K'=0 allora i poli a ciclo aperto=poli a ciclo chiuso
4. Se K'=infinito allora gli zeri a ciclo aperto=zeri a ciclo chiuso
5. Se poli>=zeri avrò poli-zeri (n-m) asintoti (zeri all'infinito)
6. Al luogo delle radici positivo appartengono i punti sull'asse reale che lasciano alla propria DESTRA un numero DISPARI di poli o zeri (calcolati con la loro molteplicità)