Appunti Topografia - Elementi di Geodesia

ELEMENTI DI GEODESIA 1

C

APITOLO 1

–

GENERALITA' E DEFINIZIONI ELEMENTI DI GEODESIA

OPERATIVA

1. Problemi della Topografia

1.1. Definizione della Topografia

La complessa attività dell’uomo sulla Terra richiede un documento che permet-

ta di conoscere in modo sintetico e metricamente valido la superficie fisica su cui e-

gli vive ed opera.

Questo documento nella maggior parte dei casi è una carta ad una scala conve-

niente anche se oggi si tende spesso a rappresentare il terreno per via puramente nu-

merica ottenendo il cosiddetto terreno digitale.

La Topografia, traendo le basi scientifiche da varie discipline, definisce un

complesso di tecniche di misura, di calcolo e di disegno che permette di definire me-

tricamente e di rappresentare il terreno in maniera conveniente ai vari scopi.

1.2. Procedimento teorico per rappresentare il terreno

Difficoltà:

- la superficie fisica del terreno ha una forma molto irregolare;

- la superficie su cui sarebbe naturale rappresentare il terreno non è piana;

dimensioni eccedenti quelle dell’uomo.

- La superficie su cui rappresentare il terreno dovrebbe essere il geoide, superfi-

cie normale in ogni punto della terra alla verticale (filo a piombo), materializzabile

con la superficie dei mari idealmente prolungata sotto le terre emerse.

Il procedimento si può, schematicamente, indicare col seguente percorso (Fig.

1): a) individuazione del terreno con un numero discreto di punti, funzione ovvia-

mente della scala della carta: più grande è la scala della carta (1:500, 1:1000,

1:2000) maggiore è il numero di punti;

b) proiezione dei punti sul geoide secondo la verticale e determinazione della

quota ortometrica di ciascuno (la quota ortometrica è la distanza tra il punto

sulla superficie terrestre e la sua proiezione sul geoide presa lungo la vertica-

le);

c) misurazione sul geoide di angoli e distanze per definire la posizione relativa

di ciascun punto. Trattandosi di superficie curva è necessario definire sia gli

angoli che le distanze;

d) determinazione, sulla base delle misure fatte, della posizione dei punti e ciò

mediante coordinate curvilinee (u, v). A tal scopo è necessario definire

2 l’equazione del geoide, un sistema di coordinate curvilinee ed eseguire i do-

vuti calcoli sulle misure per ricavare le coordinate di ciascun punto;

e) costruzione, in scala opportuna, della porzione di geoide interessata al rilie-

vo, riporto su di essa del sistema di coordinate curvilinee e quindi di tutti i

punti rilevati tramite le relative coordinate. A questo punto, congiungendo

opportunamente con linee i punti proiettati, si possono evidenziare tutte le

particolarità del terreno. Per evidenziare l’andamento altimetrico, a fianco di

ciascun punto si riporta la sua quota: punti di eguale quota uniti danno luogo

alle curve di livello; un esempio di ciò è il mappamondo;

f) se però si vuole un supporto piano si deve ricorrere ad una rappresentazione

cartografica. Per far ciò si deve stabilire una corrispondenza biunivoca tra le

coordinate curvilinee u e v e le coordinate cartesiane del piano x ed y:

 



x f u,v (1)

 



y g u,v

che si definiscono equazioni della carta. Poiché il geoide non è una superficie

sviluppabile sul piano la rappresentazione piana che si ottiene sarà deformata.

Fig. 1

1.3. Procedimento pratico

I punti b) e c) non possono, in pratica, essere effettuati in quanto noi eseguiamo

le misure sul terreno; la difficoltà si supera perché, lo dimostreremo, i metodi di mi-

sura di angoli e distanze che usiamo forniscono gli stessi angoli e distanze che si sa-

rebbero misurati sul geoide.

Anche le quote non possono essere misurate: noi misuriamo solo dislivelli per

cui basterà collegarsi ad un punto situato sul geoide per avere le quote di tutti i punti

misurati.

Ciò detto per risolvere i problemi detti occorre:

definire l’equazione del geoide;

1) 3

2) definire il sistema di coordinate curvilinee;

3) definire la natura degli angoli e delle distanze da misurare;

4) definire i calcoli che permettono di ricavare le coordinate dalle misure;

5) specificare le equazioni della carta.

Difficoltà enormi: per fortuna esistono delle semplificazioni che possono sinte-

tizzarsi in:

a) per piccoli intorni la superficie del geoide può considerarsi piana;

b) per intorni di qualche centinaio di chilometri può considerarsi sferica;

c) differenziazione tra punti di inquadramento e punti di dettaglio.

I punti di inquadramento vengono effettuati con operazioni geodetiche e sono

distribuiti sul territorio a distanze di tre-quattro chilometri.

I punti di dettaglio si appoggiano a questi e sia per le misure che per i calcoli

possono intendersi come effettuati sul piano.

Tutto ciò vale solo per la planimetria non per le quote che debbono sempre es-

sere riferite al geoide.

2. Definizione della superficie di riferimento

2.1. Equazione del geoide

Il campo di forza della gravità è un campo conservativo, ammette cioè poten-

ziale. Nel campo si individuano le linee di forza, tangenti in ogni punto alla direzione

della forza; nella fattispecie queste linee sono curve gobbe e prendono il nome di

verticale (la direzione della gravità in un punto è tangente cioè alla linea verticale

che vi passa).

Punti di eguale potenziale definiscono una superficie equipotenziale che ha la

caratteristica di essere normale alle linee di forza del campo.

Nel campo della gravità esistono infinite superfici equipotenziali: una di que-

ste, cioè quella passante per un punto di posizione planimetrica nota posto sul livello

medio del mare, dicesi geoide. Tutti i punti situati sul geoide avranno, ovviamente,

quota nulla.

Si riferisca il corpo terrestre ad un sistema di coordinate cartesiane OXYZ aven-

te l’origine nel baricentro della Terra, l’asse coincidente con l’asse di rotazione

O Z e

coincidenti con gli assi principali d’inerzia (Fig.

gli assi X ed Y 2).

Il vettore gravità in un punto generico P è funzione della posizione del pun-

g

to, cioè 

g g ( X ,

Y , Z )

e si può considerare, fondamentalmente, composto da due forze:

a) la forza di attrazione newtoniana che ogni elemento della massa della

f

Terra esercita sulla massa unitaria posta in P;

la forza centrifuga sull’unità di massa dovuta alla rotazione della Terra in-

b)  7,29x10-5

torno all’asse Z (con velocità angolare pari a rad/sec)



  

2 2 2

c r con r X Y

Il potenziale in un punto è funzione della posizione del punto



W W ( X ,

Y , Z )

4 per la quale si verifica che

  

W W W

  

g g g

  

X Y Z

X Y Z

che sinteticamente si possono esprimere con la notazione



g gradW

ovvero: le derivate parziali del potenziale danno le componenti della gravità secon-

do i tre assi. Fig. 2

Ricordiamo che in generale indicando con dP uno spostamento infinitesimo si

ha:  

dW g dP

cioè la derivata del potenziale secondo la direzione dP dà la componente del vettore

gravità in quella direzione; in particolare se la direzione individuata da dP è tangente

alla superficie equipotenziale passante per P risulta ovviamente

  

dW 0 cioè g dP 0

da cui si deduce l’ortogonalità di rispetto alla superficie equipotenziale.

g

Ciò detto il potenziale W è la somma del potenziale V relativo alla forza di at-



trazione newtoniana e del potenziale relativo alla forza centrifuga.



Il potenziale è di immediata deduzione

1 1

  

  

2 2 2 2 2

( X ,

Y ) r ( X Y )

2 2

Per il potenziale V si consideri (Fig. 2) un elemento della Terra di massa dm

(a,b,c)

posto nel punto Q di coordinate generiche a,b,c; se è la densità in tale punto

si ha 



dm ( a ,

b ,

c ) da db dc

Questo elemento determina sulla massa unitaria posta in P una forza di attra-

zione di modulo dm dm

  

dF G G ( l PQ )

    

2 2 2 2

( X a ) ( Y b ) ( Z c ) l

e diretta da P verso Q (G costante di attrazione universale).

Il potenziale dV dovuto a tale massa dm vale 5



G ( a ,

b , c ) da db dc G dm

 

dV      l

2 2 2

( X a ) ( Y b ) ( Z c )

ed il potenziale dovuto a tutte le masse della Terra

dm



 (2)

V ( X ,

Y , Z ) G l

ove l’integrale è esteso a tutto il volume della Terra.

Il geoide ha quindi equazione 

  (3)

V ( X ,

Y , Z ) ( X ,

Y ) cos t

esplicita tale equazione sarebbe necessario eseguire l’integrale tri-

Per rendere

plo della (2) che esprime il potenziale della forza di attrazione newtoniana; per far

ciò occorrerebbe conoscere la densità della Terra in ogni suo punto, cioè la funzione



(a,b,c).

Tale conoscenza è piuttosto vaga: se ne conoscono solo valori approssimati e

3

globali; si sa infatti che la densità media è di 5,52 gr/cm e che nello strato superfi-

3

ciale della Terra è di 2,67 gr/cm . l’equazione del

Per tale motivo diviene impossibile determinare rigorosamente

geoide.

2.2. Ellissoide di rotazione

Nella impossibilità di scrivere l’equazione del geoide gli studi dei geodeti si

sono rivolti alla determinazione di una superficie che meglio approssimasse la forma

della Terra e fosse matematicamente gestibile per gli usi geodetici.

Fig. 3

Si è giunti così alla definizione di un ellissoide di rotazione (Fig. 3) di semiassi

equatoriale a e polare c di equazione



2 2 2

X Y Z

  4

1 ( )

2 2

a c

Di esso si definiscono le due grandezze caratteristiche:

lo schiacciamento 

a c c

   

1 (5)

a a

l’eccentricità

e

6 

2 2 2

a c c

  

2 6

e 1 ( )

2 2

a a

3. L'ellissoide terrestre

3.1. Dimensioni dell'ellissoide

Diversi geodeti hanno lavorato per determinare i parametri che più si addices-

sero all’ellissoide da assumere come riferimento; se ne citano alcuni che hanno preso

il nome dai geodeti che li hanno calcolati: 

Bessel (1841) a = 6.377.397m = 1/299,2



Clarke (1880) a = 6.378.243m = 1/293,5



Helmert (1906) a = 6.378.140m = 1/298,3



Hayford (1909) a = 6.378.388m = 1/297,0



Krassovsky (1942) a = 6.378.425m = 1/298,3



WGS84 a = 6.378.137m = 1/298,257

Al Congresso della Unione Geodetica e Geofisica Internazionale (UGGI), tenu-

to a Madrid nel 1924, si è stabilito di assumere come ellissoide internazionale di rife-

rimento quello proposto da Hayford che pertanto si caratterizza con i seguenti para-

metri 

a = 6.378.388 = 1/297,0

Al Congresso dell’UGGI di Mosca nel 1971 è stato consigliato di adottare

nuovi parametri per l’ellissoide e precisamente



a = 6.378.140 = 1/298,257

Coordinate curvilinee sull’ellissoide

3.2.

In generale per individuare un sistema di coordinate curvilinee su una superfi-

cie di equazione    7

f X ,

Y , Z 0 ( )

occorre scegliere due parametri u e v e determinare le equazioni parametriche della

superficie  



X X u , v

 

 8

Y Y u , v ( )

 



Z Z u , v

Dando un valore costante u al parametro u e facendo variare l'altro parametro

o

si determina sulla superficie una linea individuata dalle equazioni

 



X X u , v

o

 



Y Y u , v 9

( )

o

 



Z Z u , v

o

Dando ad u valori diversi si individua una famiglia di curve.

o

Ripetendo lo stesso procedimento con il parametro v si ottiene un'altra famiglia

di curve. 7

Le due famiglie di curve individuano sulla superficie un sistema di coordinate

analogo al sistema formato sul piano dalle rette x = cost. ed y = cost..

Conviene scegliere i parametri u e v in modo tale che le linee coordinate u =

cost e v = cost siano ortogonali, si incontrino cioè sulla superficie formando un ango-

lo retto.

Vediamo come si può specificare questo procedimento per l'ellissoide di rota-

zione.

Ricordiamo dalla geometria analitica che in un ellissoide di rotazione i piani

contenenti l’asse tali piani intersecano l’ellissoide se-

Z sono detti piani meridiani;

condo ellissi, dette meridiani, tutte uguali e di equazione (Fig. 4)

2 2

r z

  (10)

1

2 2

a c

La (10) si ottiene dalla (4) ricordando che in ogni punto della superficie ellis-

soidica vale la relazione

2 2 2

X + Y = r .

Ricordiamo ancora che le in-

tersezioni dell’ellissoide con piani

normali all’asse Z sono circonferen-

ze, dette paralleli, di raggio nullo ai

poli e pari al semiasse maggiore a

sul piano equatoriale (contenente il

centro dell’ellissoide); questo paral-

lelo di raggio massimo si dice equa-

tore. Ciò detto possiamo definire

due angoli caratteristici di un punto P

dell’ellissoide, e precisamente (Fig.

5):

Fig. 4  , che è l’angolo acuto

- l'angolo e all’ellissoide

che la normale n nel

punto P forma con il piano equatoriale (Fig. 4);

 , che è l’angolo minore di 180° che il semipiano meridiano passan-

- l'angolo e

te per P forma con un semipiano origine.

 

In funzione di e , con opportuni calcoli, si possono determinare le equa-

e e

zioni parametriche dell'ellissoide:  

a cos cos

 e e

X W

 

a cos sen

 e e

Y (11)

W

  

 2

a 1 e sen

 e

Z W

8 avendo posto 

  2 2

W 1 e sen e

 

I due angoli e

e e

possono pertanto essere

presi come coordinate di

un punto P sulla superfi-

cie ellissoidica (Fig. 5) e

si indicano col nome ge-

nerico di coordinate geo-

grafiche ellisoidiche e

col nome specifico di

- latitudine ellissoidica

 : si specifica in la-

e

titudine nord e latitu-

dine sud a seconda

che il punto giaccia

nell’emisfero boreale

o australe; Fig. 5

- longitudine ellissoi-

 , che è l’angolo minore di 180° che il semipiano

dica meridiano passante per P

e

forma con un semipiano origine, assunto come il semipiano passante per la pla-

nimetria sull’ellissoide di un punto G (osservatorio di Greenwich) della superfi-

cie terrestre: si specifica in longitudine est o longitudine ovest a seconda che il

punto sia ad est o a ovest del meridiano di Greenwich.



Alle linee = cost. corrispondono i meridiani, luogo dei punti che hanno la

e 

stessa longitudine; alle linee = cost. corrispondono i paralleli, luogo dei punti che

e

hanno la stessa latitudine. Queste due famiglie di curve sono tra di loro ortogonali.

 

E’ importante osservare che i parametri e individuano sia la direzione di

e e

una normale all’ellissoide che la posizione del punto per cui passa (coordinate curvi-

linee).  

Se misurassimo direttamente i valori di e per tutti i punti della superficie

e e

terrestre da rilevare avremmo con un solo atto realizzato tutte le operazioni descritte

nei punti a), b), c) e d) del par. 1.2..

Queste misure in effetti si possono eseguire con stazioni astronomiche, come si

vedrà in seguito, ma richiederebbero complesse apparecchiature e lunghe e raffinate

osservazioni per ottenere la precisione necessaria per cui si ritengono inapplicabili al-

lo scopo. 9

3.3. Sezioni normali e raggi di curvatura

Si consideri un punto P

sull’ellissoide e la sua normale n; tutti

i piani passanti per n, aventi cioè n

intersecano l’ellissoide

come costo