Appunti teoria Elettrotecnica

IL MODELLO CIRCUITALE

I circuiti elettrici ed elettronici sono basati sull'elettricità cioè l'insieme di quei fenomeni che coinvolgono le cariche elettriche e le loro interazioni

Il modello circuitale si basa sui circuiti ovvero l'insieme dei dispositivi elettrici ed elettronici, tali dispositivi possono essere di vario tipo e diverse forme l'unica caratteristica in comune sono i morsetti o terminali ovvero conduttori che permettono la connessione tra i vari dispositivi elettrici

Durante il funzionamento del circuito sia i componenti che i terminali sono sedi di cariche elettriche che generano campi elettrici e campi magnetici, tali componenti e tutte le grandezze che caratterizzano il modello circuitale sono regolati dalle leggi di Maxwell e dalle leggi di Kirchhoff.

VARIABILI CIRCUITALI

Le principali grandezze elettriche di interesse in un circuito ovvero le grandezze circuitali sono la tensione o potenziale e l'intensità di corrente in generale però possono avere alcuni andamenti temporali tipici

• COSTANTE
• SINUSOIDALE
• IMPULSI
• CASUALE

CORRENTE

Quando un circuito elettrico è in funzione nei dispositivi e nei terminali si avrà un passaggio di corrente elettrica per ogni terminale si avrà un certo valore di intensità elettrica, l'intensità di corrente elettrica è il movimento ordinato di cariche elettriche sottoposte a un campo elettrico macroscopico

Considerando una generica superficie è un intervallo di tempo definiamo l'intensità di corrente media il rapporto fra la variazione di carica presente sul superficie e l'intervallo di tempo

Im_m = ^ΔQ_s/_ΔT

Definiamo corrente istantanea attraverso la superficie si il limite del rapporto incrementale ovvero il limite per Δt che tende a 0 dell'intensità di corrente media

Im_(E) = lim ^ΔQ_s/_ΔE

Tale intensità di corrente dei morsetti deve avere un verso che può essere entrante o uscente essa si misura in ampere [A]

TENSIONE

la tensione elettrica è una grandezza in funzione del tempo che viene associata ad una coppia ordinata di morsetti ovvero ogni due morsetti la tensione varia, gli elementi che presentano solo due morsetti si chiamano bipoli.

considerando un elemento a due morsetti A e B. se esso viene attraversato da una corrente si creerà una differenza di potenziale tra i due terminali Vab

la corrente quindi sarà unica e la tensione sarà la stessa trascurando il segno, in base al verso della tensione e della corrente abbiamo due convenzioni

1. convenzione dell’utilizzatore: la tensione della corrente hanno verso opposto
2. convenzione del generatore: la tensione alla corrente hanno lo stesso verso

POTENZA

il lavoro è l’attitudine dello strumento nel compiere un’operazione e si misura in joule. [J] se potenza è il lavoro fratto il tempo e si misura in watt. [W]

se abbiamo un bipolo in cui passa una corrente i(t) e dove abbiamo una tensione V(t) la potenza istantanea non è altro che il prodotto fra la corrente e la tensione.

PC(t) = V(t) : i(t) [W]

la potenza quindi è il lavoro svolto nel tempo -lavoro trasmesso dalla rete all’elemento allora abbiamo un UTILIZZATORE -lavoro trasmesso dall’elemento alla rete abbiamo un GENERATORE

La potenza della rete viene data dalla somma delle potenze generate dagli elementi del circuito

Pc(t) = i1 V1 + i2 V2 + ---- + im Vm

Insieme di Taglio

Se consideriamo un grafo connesso (C, V, A) un sottoinsieme T = A si dice insieme di taglio se valgono contemporaneamente tali proprietà:

• la rimozione dal grafo di tutti i lati dell'insieme di taglio rende il grafo non più connesso
• il ripristino di uno qualsiasi dei lati dell'insieme di taglio connette nuovamente i due sottografi
• la rimozione parziale di un lato dell'insieme di taglio non fa variare il grafo

L'insieme di taglio ci permette di capire quante equazioni linearmente indipendenti descrivono la rete

LKC: m - p

L'insieme di taglio fondamentale è l'insieme che contiene un solo lato dell'albero e altri del coalbero

Il segno delle correnti positive o negative dei lati contenuti nell'insieme di taglio fondamentale è dato dal verso dell'unico lato dell'albero presente nell'insieme

J₁ -> i₅ + i₃ - i₂ + i₁ + i₆ = 0

J₂ -> i₇ + i₆ - i₃ + i₁ = 0

J₃ -> i₈ + i₆ - i₃ + i₁ = 0

la matrice di incidenza è importante perché grazie ad essa è possibile scrivere direttamente l'equazione di kirchhoff per le correnti ,consideriamo infatti il grafo applicando la legge di kirchhoff per le correnti ai nodi del circuito ottenendo le seguenti equazioni

m₁: i₁ + i₂ + i₃ = 0 → i₁ + i₂ - 0 + i₃ + i₁ + i₄ + 0 + i₅ = 0

m₂: -i₅ + i₄ = 0 → i₁ + 0 + i₂ + 0 + i₃ + 0 + i₁ + i₄ + i₅ = 0

m₃: -i₃ + i₁ + i₂ = 0 → i₁ + 0 + i₂ + i₃ + 0 + 0 + i₁ + i₄ + i₅ = 0

m₄: i₄ - i₃ = -i₁ - i₂ + 0 + i₅ = 0

che le equazioni si possono ottenere utilizzando il prodotto riga per colonna tra la matrice di incidenza e il vettore colonna delle correnti

quindi il sistema può essere scritto come prodotto di:

A_ij ⋅ i = 0

se sottraggo le prime tre righe della matrice di incidenza ottengo la quarta riga almeno del segno quindi posso ridurre la matrice levando l'ultima riga ottenendo la cosiddetta matrice di incidenza ridotta

la matrice di incidenza ridotta sarà quindi una matrice formata da n-1 righe ed l colonne ottenendo così equazioni linearmente indipendenti

Teorema di Tellegen

Il teorema di Tellegen ci esprime un'importante proprietà per i circuiti elettrici ovvero esprime la conservazione delle potenze elettriche, se abbiamo un generico circuito e abbiamo le varie intensità di corrente \(i_1, i_2, ..., i_l\) e le varie tensioni \(V_1, V_2, ..., V_l\) ed Esse verificano le leggi di Kirchoff. Sia per definizione che la potenza elettrica assorbita del circuito è dato da

\[ P_K(t) = i_K(t) V_K(t) \]

Si ha quindi la seguente proprietà ovvero che la somma delle potenze istantanei in cui valgono le lkc e lkt è istante per istante uguale a 0

\[ \sum_{k=1}^{l} P_K(t) = 0 \Longrightarrow \sum_{k=1}^{l} i_K(t) V_K(t) = 0 \]

Facendo riferimento al Vettore \[\vec{i} = (i_1, i_2, ..., i_l)\] delle correnti e il vettore \[\vec{V} = (v_1, v_2, ..., v_l)\] delle tensioni e il vettore \[(A_{tj,u_1}, A_{z1}, ..., u_{vc})\] dei potenziali di nodo possiamo esprimere quindi l'espressione della somma delle potenze assorbite come:

\[ \sum_{k=1}^{l} V_K I_k = V^T i \]

Ovvero la somma può essere espressa come il prodotto del vettore riga V per il vettore colonna I

Se le tensioni del circuito possono essere rappresentate attraverso i potenziali di nodo allora avremo la seguente espressione. Sostituendo otteniamo quindi.

\[ V = A_i u l \]

\[ V^T i = (A^T u_l) T_i \]

Per una proprietà delle matrici possiamo esprimere tale espressione come.

\[ V T_i = u^T (A_i) \]

Quindi sostituendo alla sommatoria otteniamo che.

\[ \sum_{k=1}^{l} V_K I_k = -u^T (A_i)\]

Ma per le leggi di Kirchoff per le correnti sia che.

\[ \sum_{k=1}^{l} V_K I_k = 0 \]

Considerando il lavoro del circuito in un certo intervallo di tempo

\[ \mathcal{L}(t, \sigma) = \int_{t_0}^{t_f} i_K(t) V_K(t) dt = \int_{t_0}^t P_K(t) df \]

Considerando la somma di tutti i lavori elettrici tutti gli elementi di una rete otteniamo

\[\sum_{k=1}^{l} \mathcal{L}(t, \sigma) = \sum_{k=1}^{l} \int_{t_0}^{t_f} P_K(t) dp = \int_{t_0}^{t} \sum_{k=1}^{l} P_K(t) dt = 0 \]

Il teorema di Tellegen vale per tutte le infinite reti che presentano la stessa configurazione