Appunti Elettrotecnica

• ANALISI SINUSOIDALE

• imp. x le applicazioni pratiche, fa riferimento a un circuito in cui l’ingresso è una f.e. sinusoidale e quindi si esaurisce il transitorio e tutte le grandezze del circuito diventino sinusoidi con la stessa frequenza.

Grandezza sinuisodali:

    s(t)  = sm cos(ωt+Φ)    Am=ampiezza    cos ωt    Ω=pulsazione

        ω =   2π           

                     T

• modul

• trasmissibili •

v(t)= V_m cos(ωt+Φ)

Φ = fase

● operazioni

Derivata

v(t)=V_ω sen(ωt+Φ)

d^2v(t)         

LEGGE DI Ohm

( nel dominio del tempo : v(t) = R i(t)

•

INDUTTORE

Relaz. di def.: v(t)=L di(t)/dt

Sorgente litt sinusoidale: i(t)=Im cos(wt+φ)

v(t)=-LwIm sin(wt+φ) = LwIm cos(wt+φ-π/2)

Im

Re

IΥ = I

CONDENSATORE

Relaz. di def.: i(t)=C dv(t)/dt

Sorgente litt sinusoidale: v(t) = Vm cos(wt+φ)

i(t) = C Vm ws cos(wt+φ) = -Vm wsen(wt+φ) = Cm cos(wt+φ+π/2)

Vm

Re

Im

IMPEDENZA

Il concetto di impedenza equivale ad affermare che l'induttore e il condensatore si comportano come resistori... di cui resistenza dipende dalla frequenza dell'eccitazione sinusoidale.

L'impedenza è padre da: Z = Vω/Iω

[Ω]

In questo num. complesso: Z = R+jX con Re{Z} = R resistenza Im{Z} = X reattananza

AMMETTENZA Y = 1/Z

Resistore: Z = R Re Z = R, Z = R/k

Induttore: Z = jωL, Z = jωL, Z = jωμL = jωL/jωCR = 1/3s

Condensatore: Z = 1/jωC

Serie: Z1

Parallelo:

P tensing D tempo D fasori

POTENZA COMPLESSA

Ma I_eq = I_eq (√_{R² + X²}/^{R2 + X2})

• Se si può scrivere come:
• (1) Ŝ = V_eqI_eq (cosφ + j senφ)
• (2) Ŝ = V_eqI_eq (cos (φ_v - φ_i)+ j sen (φ_v - φ_i))

Re{Ŝ} = P P. ATTIVA Im{Ŝ}=Q P. REATTIVA (VAR)

3. impedenze

- Induttivo φ = π/2 capacitivo

- Da impedenza e P. complessa hanno sfasamento ψ poiché:

ψ = arctg(j/sen(Ŝ/Z)) = arctg(X/R)

- Partitore di potenza: il cascolo di fase dell’impedenza di un carico ha analogo significato nell’andamento della potenza, e per questo con f.p:

• p_r = 1 se φ=0 -> carico resistivo
• p_r = 0 se φ ± π/2 -> carico
• i.e.f. induttivo o capacitivo

P=|Ŝ|(cosφ)=P

In generale 0 < f.p.< 1

RESISTORE

V_eqin phase with I_eq

P=V_eqI_eq

Q=0

INDUTTORE

Only Im{Ŝ}

P=0

Q=Im{Ŝ}

CONDENSATORE

Only Im{Ŝ}

P=0

Q=-Im{Ŝ}

TRIFASE SIMMETRICI E SQUILIBRATI

V= in modulo sfasato di 120°

I₁ ≠ I₂ ≠ I₃

T. diretta: t. principali di fase

1. E₂ = E₁ e^-j2π/3
2. E₃ = E₂ e^-j2π/3
3. E₃ = E₁ e^-j4π/3

Concetti sul codice = c. di linea:

• I₂ = E₂
• E₃ = E₂ e^-j2π/3
• I₃ = E₃

Il conduttore che collega 00' (commi stella) è percorso da corrente, in quanto:

I₁ + I₂ + I₃ + I₀ = 0 ⇒ I₀ ≠ 0

Significa quindi che studiare un intero sistema è ≠ da studiare i 3 sistemi indipendenti (tal caso equilibrato)

Se il sistema è squilibrato il centro concreto + centro astratto:

Ê₀ = _{(λ1Ê1 + λ2Ê2 + λ3Ê3)} / ^{(λ₁ + λ₂ + λ₃)}

Φ: ¹/₂

Al contrario, se il codice è equilibrato Ê₀ = 0 → centro concreto = centro astratto

Casi particolari

(1) Una fase è in corto circuito ⇒ λ₃ = 0 ⇒ Ê₀ = Ê₃

(2) Carico a Y con un ramo aperto

KcL in 0: I₁ + I₂ = 0

I_1λ = _V12 / ^{(2₁ + 2₂)}

→ corrente di linea - corrente del codice

INDUTANZA

Sopponiamo di avere un avvolgimento attorno a un circuito

di materiale ferromagnetico.

La corrente passante un flusso φ concatenato con

l'avvolgimento.

Se i varia nel tempo → φ varia → ai capi dell'avvolgimento

si genera una f.e.m. indotta.

INDUTANZA (coeff. di autoinduzione)

Per avvolgimento con N spire: L = Nφ con φ flusso concatenato

con una singola spira.

LEGGE DI HOPKINSON: φℛ = NI

φ = L = Nφ

→ L dipende dal num. spire e

dalla riluttanza

Legge di Faraday f_ew = -dφ_c/dt

KVL : V + f_ew = 0

f_ew = -L di₁/dt

MUTUA INDUTANZA

2 avvolgimenti vicini:

φ₁₁ → generato da i₁ concatenato con l'avvlgm:1

φ₂₁ → generato da i₁ via concatenato con l'avv: 2

Sapendo che L = φ_c/i φ₂ = L₂₁ i₁ = φ_M

φ₂₁ = M₂₁ i₁ coeff. DI MUTUA INDUTAZIONE

Se i variano nel tempo φ_M e φ₂₁ variano

e si genera una tensione ai capi dell'avvolgimento.

V₁(t) = L di₁/dt V₂(t) = M₂₁ di₁/dt

Si può fare lo stesso ragionamento x l'avvolgimento 2

V₁(t) = L₂₁ di₁/dt con M₂₁ = M₁₂ = M

V₂(t) = L₂ di₂/dt + M₂₁ di₁/dt