Appunti Elettrotecnica

Analisi sinusoidale

L'analisi sinusoidale è importante per le applicazioni pratiche. Si riferisce a un circuito in cui l'ingresso è una funzione sinusoidale e, quando si equilibra il transitorio, tutte le grandezze del circuito diventano sinusoidali con la stessa frequenza.

Grandezza sinusoidale

La funzione sinusoidale è rappresentata come: u(t) = Vm cos(ωt+φ)

• Vm - Ampiezza
• φ - Fase

Il fasore e il numero complesso rappresentano l'ampiezza e la fase della sinusoide. È possibile passare dal dominio del tempo al dominio dei fasori (o della frequenza):

• t → dominio del tempo
• v(t) = Vm cos(ωt+φ)
• v_tdν(t)/dt → jω v_dν(t)/dt = -Vm ω sin(ωt+φ)

Legge di Ohm

Quando tensione e corrente sono in fase, si ha ψ = 0 → cosψ = 1.

Fasore

Il fasore è un numero complesso rappresentativo dell'ampiezza e della fase. Ad esempio:

• y(t) = Y_mcos(ωt+φ)
• ỹ(t) ⇨ jω ỹ(t) = R{Y_m cos(ωt+φ)} - R{ [Y]_ωe^jφe^jωt }
• y(t) = Y_m e^jφ con R{Y} = Y_mcosφ Im{Y}
• V(t) = V_mcos(ωt+φ)
• dV(t)/dt ⇨ jω ỹ
• S_t(t) ⇨ ¹/_jω ỹ
• dI_c(t)/dt = R[ Y_mg^jφ]
• y(t) = V_m cos(ωt+φ)

Induttore

Relazione di definizione: V(t) = L (di(t)/dt). Supponendo i(t) sinusoidale:

• i(t) = Im cos(ωt+φ)
• V(t) = L Im cos(ωt+φ) = L Im cos(ωt+φ) = L Im cos(ωt+φ)
• V = jωL I
• La I è in ritardo di 90° rispetto alla tensione

Condensatore

Relazione di definizione: i(t) = C dv/dt. Supponendo i(t) sinusoidale:

• V(t) = Im/ω cos(ωt+φ)
• con φ: I_c = Im e^j(ωt-π/2)

Impedanza

L'impedenza è data da: Z = 𝑍. In quanto numero complesso:

• |𝑍| = √(R²+X²) → modulo

L'ammettenza è definita come: 𝒴 = 1/Z

• R = G + jB resist
• Resistore: Z = R
• Induttore: Z = jωL
• Condensatore: Z = -j/(ωC)

Parallelismo

Le leggi di Kirchhoff per le tensioni affermano che la somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso del circuito è nulla. Consideriamo la dimensione nel dominio del tempo:

• ∑_k=1^N V_rk = 0, dove N è il numero delle tensioni di maglia.

Supponendo la V sinusoidale:

• v₁(t) = V_M1 cos(ωt + φ₁)     ⟺     ^V₁ = V_M1 e^jφ₁
• v_n(t) = V_Mn cos(ωt + φ_n)     ⟺     ^V_n = V_Mn e^jφ_n
• ⟹ ∑ V_k = 0   ⟺   ∑ ^V_k = 0
• ∑ V_k = v₁(t) + ... + v_n(t) = V_M1 cos(ωt + φ₁) + ... + V_Mn cos(ωt + φ_n) = Re [ (V_M_1 e^jφ₁ + ... + V_M_n e^jφ_n) e^jωt ] = 0   ⟺   ∑ ^V_k = 0

Correnti

La somma algebrica delle correnti entranti in un nodo è nulla:

• ∑ i_in = 0     H= numero di correnti concorrenti nel nodo

Supponendo le correnti sinusoidali:

• i₁(t) = I_M1 cos(ωt + φ₁)     ⟺     ^I₁ = I_M1 e^jφ₁
• i_n(t) = I_Mn cos(ωt + φ_n)     ⟺     ^I_n = I_Mn e^jφ_n
• ⟹ ∑ i_k = 0   ⟺   ∑ ^I_k = 0
• ∑ i_k = i₁ + ... + i_n = I_M1 cos(ωt + φ₁) + ... + I_Mn cos(ωt + φ_n) = Re [ e^jωt (^I₁ e^jφ₁ + ... + ^I_n e^jφ_n) ] = 0 ⟺ ∑ ^I_k = 0

Potenza istantanea e media

Per una rete N sincrona tempo-invariante, la potenza istantanea è data da: p(t)=v(t)·i(t), con v e i sinusoidali.

• v(t)=V_Mcos(ωt+φ)