Appunti Elettrotecnica

L L L

ΔV%’=(R P+X Q’)/V ^2*100=[(R P+X Q)/V ^2-(X |Q |)/V ^2]*100=  ΔV%-(X |Q |)/V ^2*100. Con

L L L L L L L C L L C L

quest’ultima  equazione,  mettendola  a  sistema  con  la  prima  possiamo  determinare  la  potenza  che  

devono assorbire i condensatori per avere una certa caduta di tensione e un dato angolo di

rifasamento.

Motore asincrono trifase

Il motore asincrono trifase è una macchina elettrica rotante, tale macchina è costituita da uno statore,

cioè una carcassa in materiale ferro magnetico fissa nello spazio nella quale sono collocati tre

avvolgimenti  uguali  i  cui  assi  geometrici  sono  radiali  e  sfasati  l’uno  rispetto  all’altro  di  120°,  questi  sono  

poi alimentati da un sistema di correnti trifase anch’esse  sfasate  di  120°.  L’altra  parte  componente  

questo motore è il rotore, parte rotante del motore sempre costituita da una struttura ferromagnetica,

che ospita degli avvolgimenti chiusi in cc. Tali avvolgimenti possono assumere la forma di una gabbia e

sono infatti denominati a gabbia di scoiattolo altrimenti possono avvolgersi intorno al rotore cilindrico

e sono chiamati rotori avvolti. La scelta di uno dei due influisce sul processo di avviamento del motore

stesso. Lo statore è costituito non da un singolo blocco di materiale ferromagnetico, ma da un pacco di

lamierini  molto  sottili  isolati  singolarmente  con  l’applicazione  di  un  foglio  di  carta  o  di  un’apposita  

vernice ad olio. Tale pacco lamellare è poi supportato da una carcassa fissata ad un basamento. I

circuiti  preposti  alla  creazione  del  campo  magnetico  rotante  sono  alloggiati  all’interno  di  canali  detti  

cave,  queste  sono  praticate  all’interno  della  superficie  dello  statore  e  sono  parallele  al suo asse. Per

quanto riguarda il rotore è di forma cilindrica ed è costituito da pacchi di lamierini metallici, lavorati in

modo da realizzare sulla superficie delle cave longitudinali // a quelle dello statore o con andamento

leggermente obliquo. Solitamente si fa in modo che le cave del rotore siano in numero maggiore

rispetto a quelle dello statore. Inoltre la scelta della forma delle cave è molto importante perché da

essa dipende la coppia meccanica e il suo andamento in funzione della velocità di rotazione. La

corrente circolante in ogni avvolgimento statorico determina un campo magnetico rotante che

interagendo con la corrente indotta da esso stesso nelle spire del rotore genera una coppia motrice, la

quale pone in rotazione il rotore con wrot=cost. per disegnare un circuito equivalente considero due

casi: rotore bloccato e rotore libero.

Nel primo caso il campo magnetico rotante Bs avrà una velocità angolare w pari a w/p dove w=2πf è la

s

pulsazione del segnale elettrico negli avvolgimenti statorici e p il numero di coppie polari. Negli

avvolgimenti del rotore si creerà una corrente di pulsazione w =p*w .  essendo  quest’ultimi  percorsi  da  

r s

corrente genereranno un campo magnetico rotante B che avrà velocità angolare w =w /p=w . quindi

R R r s

Bs e B ruotano alla stessa velocità e sono tra loro fermi. Questo fa si che vi sia una coppia costante nel

R

tempo. Tale situazione è assimilabile ad un trasformatore trifase con secondario in cc. Inseriamo

quindi due resistenze R e R per  le  perdite  dovute  all’effetto  Joule, due induttanze Xds , Xdr che

js jr

tengono  conto  dell’energia  dissipata  degli  avvolgimenti  e  un impedenza Z =Ro + Xo che tiene conto

0

dell’energia  spesa  per  magnetizzare  il  nucleo  e  di  quella  perca  a  causa  del  ciclo  d’isteresi  e  delle  

correnti parassite.

Se ci troviamo in condizione di rotore libero avremo allora w =cost e sempre w =w/p. la pulsazione

Rot s

nell’avvolgimento  rotorico  sarà  invece  w = p(w - w ), mentre la velocità di rotazione di B sarà

r s Rot R

w =w - w . Introduciamo ora il parametro s (scorrimento) definito come la frazione di giro persa dal

R s Rot

rotore per ogni giro di Bs: s=(w -w )/w

s rot s

Scriviamo allora che w =(1-s)w = (1-s)w/p e anche w =p(w -w ) = p(w -(1-s)w )=psw =sw. Ne segue

rot s r S Rot S S S

che w =sw. Vediamo ora che valori assume s nelle due condizioni limite: a rotore bloccato, cioè nella

r

fase di avviamento, quando w =0 allora s=1 e w =w; quando invece ci troviamo in sincronismo si ha

rot r

w =w e quindi s=0 e w =0.  Perciò  in  generale  avremo  che  0<s≤1. Riprendendo w =sw vediamo che

rot s r r

possiamo esprimere alcune grandezze in funzione di s: E =-jw φ =E s e X =w L =sX e sE =

rs r r r drs r dr dr r

(R +jsX )I = (R /s+jX )I , prendendo questa come impedenza possiamo ridisegnare il circuito

Jr dr rs Jr dr rs

equivalente del rotore che sarebbe poi il secondario. Dividiamo la resistenza R /s in una parte costante

jr

ed una variabile R /s=R +(1-s)/s*R . La nuova resistenza variabile (1-s)/s*R prenderà il nome di Re. In

jr jr jr jr

avviamento s=1 Re=0 quindi vi saranno elevati correnti nel circuito potenzialmente dannose. In

sincronia s=0 Re=infinito condizione a vuoto I2=0.

Passiamo ora ad analizzare cosa accade alla potenza. La potenza in ingresso si trasferisce agli

avvolgimenti rotorici per accoppiamento elettromagnetico. Dopo aver perso Pjs e Po sulle resistenze e

sul traferro arriva al rotore e una parte si disperde su Rjr. La quota parte di P rimasta se il rotore non è

bloccato si trasforma in potenza meccanica. Pmecc=Putile+Pev dove Putile è quella consegnata

all’utilizzatore  e  Pev  è  quella  dissipata  per  attriti  e  ventilazione.  La  potenza  reattiva  Q  viene  in  parte  

dissipata sulle reattanze Xdr e Xds e in parte viene utilizzata per magnetizzare il nucleo ferromagnetico.

rs2

La potenza dissipata su Re corrisponderà alla potenza meccanica erogata dal motore: Pm=3Re*I .

= + ∗

Risolvendo il circuito del rotore con kirchhoff ottengo che (fasori) quindi

I = , sfruttando  l’uguaglianza  Er=KEs  se  Rjs  e  Xds  sono  piccoli  si  ottiene  che  Er=KEf.  Possiamo  

( ) 2 2 2 +

allora scrivere ricordandoci che 3Ef =V : Pm=(KV (1-s)R )/  ( ) e

jr

2 +

Cm=Pm/w =(PKV R )/  ( ) da dove si vede che alla condizione di avviamento, cioè per s=1

Rot jr

più è elevata la tensione maggiore sarà la coppia di avviamento. Mentre nella situazione di sincronismo,

dove s=0 si ha C =0. Mentre la coppia max si ha quando il denominatore è minimo, cioè per s=R /X , da cui

m jr dr

2

risulta C =kpV /2wX . Considerato ora il grafico di C in funzione di s, detto caratteristica meccanica, si

max dr

vede che il motore ha due punti di funzionamento a regime che  si  ottengono  dall’intersezione  del  grafico  

relatico alla coppia motrice e quella resistente. Un punto è instabile, nel senso che una variazione del carico

in questo punto comporterebbe uno spegnimento del motore mentre  l’altro  punto  è  detto  stabile  in  

quanto aumentando il carico si avrà una diminuzione della velocità di rotazione con un aumento della

coppia erogata, tale situazione tenderà poi a tornare verso il punto stabile dove vi è equilibrio.

Metodo dei nodi e delle maglie

Iniziamo  con  l’analizzare  il  metodo  dei  nodi.  Questo  metodo  può  essere  applicato  solo  se  il  circuito  

contiene solamente generatori di corrente; eventuali generatori di tensione, se si trovano in serie con

una resistenza, può essere trasformato in un generatore di tensione seguendo la legge: I =E /R.

S S

Prendiamo in esame un generico circuito con le caratteristiche descritte, che abbia n nodi. Le equazioni

ai nodi saranno in numero n-1, poiché posso sempre scegliere un potenziale di riferimento e porlo

uguale a zero (messa a terra). Le incognite del problema sono proprio i potenziali nodali. Applichiamo

ora la legge di Kircchoff  per  le  correnti  e  si  ha  per  l’i-esimo  nodo:  ∑I =0. Utilizziamo ora la prima legge di

i

Ohm: I =V /R =G V , dove G=1/R è detta conduttanza. Scriviamo ora: [I ]=[G ][V ], dove la prima matrice

i ri i i ri Si i i

è  composta  dalle  correnti  note  erogate  dai  generatori,  l’ultima  dai  potenziali,  cioè  dalle  incognite  e  la  

seconda è la matrice delle conduttanze, la quale gode delle seguenti proprietà: è simmetrica; gli

elementi della diagonale principale sono positivi, mentre quelli della secondaria sono negativi o uguali

a zero; i termini della diagonale principale sono  la  somma  delle  conduttanze  legate  all’i-esimo nodo

considerato, la presenza di un eventuale generatore di corrente sul nodo considerato non mi dà alcun

contributo sulla conduttanza poiché avendo R=infinito G=0, mentre quelli fuori dalla diagonale sono le

conduttanze in comune a più nodi cambiate di segno. Per quanto riguarda invece il metodo delle

maglie, questo si applica solo nel caso siano presenti solo generatori di tensione, perciò se ho

generatori di corrente in // ad un impedenza li trasformo in generatori di tensione Es=ZI . Risolviamo il

S

sistema utilizzando le leggi di kirchhoff per le tensioni.  I  nodi  del  sistema  sono  “n”  mentre  il  numero  di  

lati  “l”  il  numero  di  maglie  “m”  da  utilizzare  per  la  risoluzione  sarà  dunque  pari  a  l-n+1. Per farlo

introduciamo una corrente di maglia,incognita del sistema, per ogni maglia presa con un verso a

piacere, orario o antiorario. Ora risolviamo il seguente sistema matriciale: [E ]=[Z ][I ],

Si i mi

Esi sono le tensioni generate da ogni generatore il cui segno sarà positivo o negativo