Appunti teoria dei segnali

T T

−∞ −T /2

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Sistemi LTI tempo continuo 32

Per il teorema della media possiamo dire che esiste un punto t ∈ [−T /2, T /2] per cui:

Z +∞ δ (t)x(t)dt = x(t)

T

−∞

Passando al limite per T → 0 e ricordando che x(t) è continua nell’origine si ha:

Z +∞ δ (t)x(t)dt = lim x(t) = x(0)

lim T T →0

T →0 −∞

infine per la (35): Z

Z +∞

+∞ δ(t)x(t)dt (42)

δ (t)x(t)dt =

lim T

T →0 −∞

−∞

A questo punto possiamo pensare l’impulso di Dirac come il limite di impulsi rettangolari di

durata T e ampiezza 1/T (sebbene il passaggio sotto il segno di integrale a rigore non sia lecito);

per T → 0 l’impulso tende a concentrarsi nell’origine, la sua ampiezza diverge, ma l’area si

mantiene costante e pari a 1. Per semplicità scriveremo: è quindi possibile definire il delta di Dirac come il limite di una

finestra rettangolare per ampiezza che tende a 0

lim δ (t) = δ(t) (43)

T

T →0

si ricordi però che la convergenza intesa nella (43) non è di tipo puntuale, bensı̀ è valida in senso ciò giustifica la

proprietà di

generalizzato, come esprime la (42). Questa considerazione è molto importante dal momento cambiamento

che la δ(t) è definita mediante una proprietà integrale, e non ha senso altrimenti. di scala

La proprietà 6) ci dice che δ(t) è la derivata di u(t), derivata in senso generalizzato, dato

che per t = 0 la funzione gradino ha un punto di discontinuità e quindi non è possibile definire

la derivata in senso ordinario. Questo ci porta a generalizzare il concetto di derivata a tutti i

segnali che presentano un numero finito di punti di discontinuità. Supponiamo per esempio di

considerare il segnale x(t) = rect(t/2) e calcoliamone la derivata in senso generalizzato, risulta:

x(t) = rect(t/2) = u(t + 1) − u(t − 1)

quindi: dx(t) = δ(t + 1) − δ(t − 1)

y(t) = dt

Graficamente i segnale x(t) e la sua derivata sono rappresentati nella seguente figura:

x(t) y(t)

✻ ✻

1 1

✻

✲ ✲

t t

−1 1 −1 1

❄

L’impulso δ(t) si traccia graficamente mediante una freccia, rivolta verso l’alto (basso) se l’area

dell’impulso è positiva (negativa), la cui altezza corrisponde proprio all’area dell’impulso.

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Facciamo un altro esempio di calcolo della derivata generalizzata e consideriamo il segnale:

t − 1

t +1 + t rect

x(t) = |t| rect(t/4) = −t rect 2 2

Esprimiamo poi x(t) come:

x(t) = −t [u(t + 2) − u(t)] + t [u(t) − u(t − 2)]

la derivata è:

dx(t)

y(t) = = −[u(t + 2) − u(t)] − t[δ(t + 2) − δ(t)] + [u(t) − u(t − 2)] + t[δ(t) − δ(t − 2)]

dt

t +1 t − 1

= −rect − tδ(t + 2) + tδ(t) + rect + tδ(t) − tδ(t − 2)

2 2

t +1 t − 1

= −rect − (−2)δ(t + 2) + (0)δ(t) + rect + (0)δ(t) − (2)δ(t − 2)

2 2

Nell’ultimo passaggio abbiamo applicato la (37) e la (38). In conclusione:

t − 1

t +1 + 2δ(t + 2) + rect − 2δ(t − 2)

y(t) = −rect 2 2

Il risultato è mostrato graficamente nella seguente figura:

x(t) y(t)

✻ ✻

2 2

✻ 1

✲ ✲

t −2 2 t

−2 2 ❄

Notate come le ampiezze degli impulsi corrispondano proprio ai salti di discontinuità che pre-

senta il segnale. In effetti, possiamo derivare una regola pratica per il calcolo della derivata

generalizzata: derivare il segnale secondo le regole convenzionali laddove e continuo e nei punti

di discontinuità aggiungere impulsi di ampiezza pari proprio al salto di discontinuità, rivolti

verso l’alto (basso) se il salto è positivo (negativo).

valgono le stesse proprietà del caso discreto, ma con t invece di n

3.2 Convoluzione e sue proprietà

Per la proprietà di riproducibilità della delta (40), un qualsiasi segnale x(t) si può esprimere

come: Z +∞

x(t) = x(α)δ(t − α) dα

−∞

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Poniamo x(t) in ingresso ad un sistema LTI e determiniamo l’uscita:

Z +∞ x(α)δ(t − α) dα

y(t) = T −∞

Z +∞ x(α)T [δ(t − α)] dα (44)

= −∞

Z +∞ △

x(α)h(t − α) dα = x(t) ∗ h(t) (45)

= −∞

la (44) tiene conto dell’ipotesi di linearità, mentre la (45) della tempo invarianza, e si è posto

h(t) = T [δ(t)], risposta impulsiva del sistema. Anche in questo caso si può osservare che risulta:

Z +∞ x(α)δ(t − α) dα = x(t) ∗ δ(t) (46)

x(t) = −∞

cioè δ(t) rappresenta l’unità per l’operazione di convoluzione.

Mostriamo di seguito alcuni esempi di sistemi LTI.

1. Consideriamo il filtro interpolatore di ordine zero (pag.3), la cui relazione ingresso/uscita

è: Z t [x(α) − x(α − T )] dα

y(t) = −∞

Si può facilmente verificare che tale sistema è LTI, e la sua risposta impulsiva è:

Z t

h(t) = [δ(α) − δ(α − T )] dα

−∞ Z

Z t

t δ(α − T )] dα

δ(α) dα −

= −∞

−∞

t − T /2

= u(t) − u(t − T ) = rect T

Quindi l’uscita è data dalla convoluzione tra l’ingresso e un impulso rettangolare:

t − T /2

y(t) = x(t) ∗ rect T

2. Sia p(t) un segnale di energia e si definisca un sistema con risposta impulsiva:

h(t) = p(−t)

Calcoliamo l’uscita del sistema y(t), quando in ingresso si pone x(t):

Z +∞ x(α)h(t − α) dα

y(t) = −∞

Z +∞ x(α)p(α − t) dα = R (t)

= xp

−∞

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L’uscita non è altro che la mutua correlazione tra il segnale di ingresso e p(t). Tale sistema

viene anche chiamato a p(t) e valuta la correlazione tra il segnale di ingresso

filtro adattato

e il segnale a cui il filtro è adattato. Chiaramente se in ingresso si pone x(t) = p(t), il

sistema fornisce l’autocorrelazione di p(t). Questo esempio mette in luce come per segnali

di energia il calcolo della convoluzione è analogo a quello della correlazione, eccetto per

un’operazione di ribaltamento.

Vediamo adesso come il calcolo della convoluzione segua esattamente gli stessi passi che nel caso

discreto. Supponiamo allora di voler determinare il valore dell’uscita in un istante t :

0

Z

Z +∞

+∞ x(α)h(−(α − t )) dα

x(α)h(t − α) dα =

) =

y(t 0

0

0 −∞

−∞

E’ necessario realizzare le seguenti operazioni:

1. il segnale h(α) e ottenere h(−α);

ribaltare è positivo (negativo)intorno a t e ottenere

2. h(−α) verso destra (sinistra) se t

traslare 0 0

)) = h(t − α);

h(−(α − t 0 0 − α) e ottenere x(α)h(t − α);

3. x(α) e h(t

moltiplicare 0 0 .

4. del prodotto per ottenere il segnale in uscita all’istante t

calcolare l’area 0

Ovviamente bisognerà far variare t su tutto l’asse temporale per determinare l’uscita in ogni

istante di tempo. Prima di fare qualche esempio di calcolo della convoluzione, enunciamo (senza

dimostrarle) le proprietà nel caso continuo, che di fatto sono uguali a quelle nel caso discreto.

a) proprietà commutativa: x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) (47)

b) proprietà distributiva.

x(t) ∗ [h (t) + h (t)] = x(t) ∗ h (t) + x(t) ∗ h (t) (48)

1 2 1 2

c) proprietà associativa. (t) ∗ h (t)] = [x(t) ∗ h (t)] ∗ h (t) (49)

x(t) ∗ [h

1 2 1 2

d) proprietà associativa mista.

a [x(t) ∗ h(t)] = [a x(t)] ∗ h(t) = x(t) ∗ [a h(t)] (50)

e) Se x(t) ∗ h(t) = y(t), allora

Invarianza temporale. x(t − t ) ∗ h(t) = y(t − t ) (51)

0 0

x(t) ∗ h(t − t ) = y(t − t ) (52)

0 0

x(t − t ) ∗ h(t − t ) = y(t − (t + t )) (53)

1 2 1 2

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Dato che per la (46) risulta x(t) ∗ δ(t) = x(t), si ha inoltre:

x(t) ∗ δ(t − t ) = x(t − t ) (54)

0 0

x(t − t ) ∗ δ(t − t ) = x(t − (t + t )) (55)

1 2 1 2

Infine se x(t) ≡ δ(t): δ(t) ∗ δ(t) = δ(t) (56)

) = δ(t − t ) (57)

δ(t) ∗ δ(t − t 0 0

δ(t − t ) ∗ δ(t − t ) = δ(t − (t + t )) (58)

1 2 1 2

f) Un sistema LTI è non dispersivo se e solo se:

Dispersività. h(t) = kδ(t) (59)

g) Un sistema LTI è causale se e solo se:

Causalità. h(t) = 0 per t< 0 (60)

h) Un sistema LTI è stabile se e solo se:

Stabilità. Z +∞ |h(t)| < ∞ (61)

−∞

Di seguito si mostrano alcuni esempi per il calcolo della convoluzione y(t) = x(t) ∗ h(t).

1. x(t) = A rect(t/T ), h(t) = A rect(t/T ). Bisogna valutare:

Z +∞ 2

A rect(α/T ) rect[(α − t)/T )] dα

y(t) = −∞

Z +∞ 2

A rect(α/T ) rect[(t − α)/T )] dα

= −∞

L’ultimo passaggio è lecito dato che l’impulso rettangolare è pari, ma allora il procedia-

mento è identico a quello già svolto per valutare la funzione di autocorrelazione di x(t)

(cap.1, esempio 6.1.1). Quindi, senza ripetere i calcoli possiamo dire che:

2

y(t) = A Λ(t/T )

Supponiamo, adesso, di voler determinare la convoluzione tra x (t) = x(t − T /2) =

1

t−T /2

t−T /2 (t) = h(t − T /2) = A rect

e h , i due segnali sono traslati di T /2

A rect 1

T T

rispetto a quelli originali. Anziché rifare i conti, è possibile sfruttare la proprietà (53), e

affermare che:

parte dell'invarianza temporale

t − T

Se invece si veglio