Appunti sulla prima parte del programma di meccanica dei solidi (fino a verifiche di resistenza)

SFORZO Ì

1 a

A

KPa

Pa MPa

6 forza

normale

sforzo perpendicola­re

distribuita

dalla

al piano sezione sulla sezione

NB Una rettilineo

ad

trave detta

solo ad assiale è

azione

cesse soggetta

BIELLA MECCANICA

Metti scalare

no

I sforzo tangenziale

T T

T da forza

azionato una

alla sezione

tangente

1 d

9 A

Ao

an an COSO

E cosa seno

n

A NI

1 Ni N 5

N seno Perp a

rispetto

a Ne ai

Ncos rispetto

e

Ne

MI

So 0

cos so to

e sforzi dalla

a dipendono e

posizione

o di

dall'angolo avervazione

MI

No coso

seno

DI CAUCHY

CONTINUO delle dimensioni

E dalla ho che

differente struttura predominano

non

qui

altre

sulle

Si fissi l’attenzione su di un generico corpo tridimensionale che, sotto l’azione di assegnate azioni esterne, trova

l’equilibrio in una certa configurazione. Sia V il volume occupato dal corpo in tale configurazione e sia S la sua

superficie. Sul corpo possono agire carichi distribuiti sia al suo interno che sulla sua superficie. Si dirà che il

corpo sia costituito da un mezzo continuo (o semplicemente che esso stesso è un continuo), nel senso che si

trascurerà la reale natura molecolare, ovvero discontinua, della materia in esso presente, ritenendola priva di

vuoti. La branca della meccanica che studia i corpi basandosi su questa schematizzazione, peraltro molto

meccanica dei continui.

ragionevole, è detta del di

delcontinuo Candy

modo

le

studiare

passiamo ipotesi

ora a Le forze agenti sul corpo saranno distribuite con

continuità: si avrà ad esempio su ciascun

volumetto una forza dF che può essere pensata

come applicata in un punto qualsiasi con

E l’aggiunta di un momento di trasporto dM. Lo

stesso discorso analogo può essere fatto sulla

da superficie in cui avremo una forza dF e un

Ist momento di trasporto dm.

IF Gp

a coppie

non ci

11 sono superficie

distribuite sulla

2 non forze coppie

ammesse

sono concentrate

o

Su vincolata

superficie

SE LIBERA

SUPERFICIE

5 su

contorno se

superficie di distanza

di a

coppie

LÌ dovute

forze Esterne a camp de forze distanza

a campi

II contatto

forze esterne al

dovute esterni

corpi etc

de contatto

forze di

Io da dicontatto

coppie

l'equilibrio

ap

Impongo per

Per la superficie

daI t trazione

il superficiale

a

giogo

Cim IF o

2 as so Non

hp

Questa dire

traducono che 11 concentrate

ci

si forze

a sono

nel superficie

sulla

Non concentrate

21 ci sono coppie o

distribuite sulla superficie

Per il volume

dI

Cim

il E FORZE DI VOLUME

VETTORE

d so II

Cim ciò le

ritenere

a

2 e equivale corpo non

maa

a agiscono coppie

di so distribuite di

Le Cauchy

continuo

ipotesi del

fatte traducono il modello di

di mediante

si in

ora parti

il a piano

corpo

spezzare un

immaggini norma

n

le G Arbitraria

NORMALEGENERICA

a

ha del

Affinché le due parti imma

corpo

divise si

gginate mantengano

singolarme­nte

e in come il

equilibrio nel suo

corpo dove

dovranno scambiarsi

insieme esse contraria en

attraverso

azioni uguali e E

di separazione

superficie

de due vi era

i volumi si scambia

forza

hanno la

p commentare puoi

una in

applicata

sempre immagginarsi

Élie.am pede di

pento patto

un a aggiunge

me

È

Cim Ea riferito

sforzo in

na a

x p

de o na

1

1 Cim II

o a

di so di P

definizione del definito dalla

di della

rotazione

vettore e

sforzo

conceng

normale na 01

Per Cim na

GE

ie x

a

s

va de so

Sia

Si

dove Reazione

a Azione dall'inclinazione

dipende

vettore ce

sforzo na

da

NB ha

Il P

in di in

forzo sulla normale

vettore superficie

agente del dalla

dal P

dipende punto ma giacitura

anche

solo

non

generale corpo

P o

del considerato Si in

le

passante

piano inoltre

noti

per generale

diretto la

lungo

scomposto normale

non può

è come e

n ma essere

la parallela a n

SFORZI

TENSORE DI CAUCHY

DEGLI

Il di

teorema Cauchy fra

E sussista il In

vettore

quale reazione sforzo

fondamentale capire e

Per

delimita due

della

la vettore

giacitura superficie su cui esso ha

agisce

di

far dee P

infinitesimo

intorno

isolare punto

questo s'immagini un a

forma tetraedro 3 ai

facce

avente piani coordinati ca

di quanto

parallele e

Indicando

detto

è du

di il

Cauchy volume

tetraedro di con

normale e

deades

dei le delle avi

facce ortogonali agli

aree

Ciò l'equilibrio

si impone

premesso annuceando

traslazione

alla ea­.nl

di tutte le forze

vettoriale

somma di

vettoriali esso

su

agenti NE

tetraedro forza di

Sua una

agirà LE

ga ga

una a DX

superficie di

di no

DE

dza ha

LE LE ha

I 1 of

at a

alla allora

l'equilibrio scriverà

traslazione si come

di

dI dà

di 63 bar

6

6 Ga II o

ma e e

tolto trascurabile

è

dove dato

bar stato di

che ordine

ponce superiore

è

dei de

dove ho

hai ca

del o dato

63

Gare deto

Gaiana dividoper

ha ce

6 e

ma esso

ex was o

Gare 63

Gaiana ha e

nina no

6 È Gini

Gare 63

t ha

Galina e

ex ma no

6

Per relazione

la

cui è riscrivere

possibile precedente come

È 612 622632

Gale 6,16216

ha

Questa traduce di

la

il teorema di Cauchy ce

vocazione esprime legge

variazio­ne

Il teorema

del ce è

fa

sforzo

vettore ga

la noto

mostra

normale se

ha

con 3 di

vettori

lo normali

i sforzo g superfici

agenti

aria precissata

sono su

del

il in

punto esame

per corpo

passanti ii sforzi Norman

S S Y

62

6 632 punto

sforzo un

E in

613 623 Gig

63 sforzi tangenziali

a 2

tensore sforzi

degli io tensore

indice da deglisforzi

componente

20 Piano di

indice ricevimento

La di si

relazione quindi

Cauchy scrivere

può come

hai

Gale LE

E La tensione scrivere

degli si può

sforzi come

Tre

Try

Gx

E yxgytyz­tzxtzy.bz

e

amen

Simmetria tensore di

del sforzo intorno

rotazione

equilibrio una a

xe 633 623

6,3 contribuiscono

non

all'equilibrio

623 621 6.1 a

612 6211 622 uguali

6 Ed opposti

da 6311 631

_guy

Is 6

6 g

613

63

6E DX

a ga

ga da quelle

sono

tratteggiate

quelle

da aaaa aaaa

aaaa naaaaa

gg

e dx

Quelli che sono

rimangono È

Gia Forza braccio

da

612 62

612

da la

deduce

cui si simmetrico

p g Rappresenta degli

il teorema coniugazione

di

a TANGENZIALI

sforzi

8

LEZIONE

Abbiamo stessi

sellettucendo tutti

612 procedimenti

le

visto gli

62 per

trovare E

si

altri componenti ce

a

arriva

gli

Per reale cui

cui radice ammette

è autovalori

se simmetrica per

una e

autovettori

e E

6 Normale

componente

La sforzo

di

ate

q Gara

Em Arancio

di Sforzo

componente GENERALE

è Ia Ga

En Ga Sforzo

na tangenziale

G

1 Ia Ta è scalare

a uno

16 ta

Quindi le

dato a componenti

sue sono a

direzioni principali Sforzo

di

Ci si propone ora di mostrare che per ogni punto di un corpo passano sempre (almeno) 3 superfici mutamente

ortogonali che risultano soggette solo a sforzi normali. Le direzioni dello spazio perpendicolari a tali superfici

direzioni principali di sforzo; sforzi principali.

prendono il nome di gli sforzi che agiscono secondo tali assi si dicono

deve

direzione

Per determinare che sulla

si imporre

principale

una superficie

di diretto

sforzo

il

normale sia la

vettore come stessa

ha Ga la

esiste

Canciano t.co 6ha a

quindi se un ha

I

6

E ha

GI

ha

E

ora e

s

la o e 9 sistema

ha linea

Re omogeneo dati

Condizione a

sulliciente e GI o

E

necessaria nato

affinche

e G 3 autovalori

3 Autovettori

i

È 63

621

GI 6

622

612 632

623

613 6

633

I

63

det I

I

GI I

g 62

o s II e

1616 o

I

Ii Iz tensore in non

invarianti del quanto

sforzo

di

sono detti di

del riferimento scelto

sistema

cambiano variare

al dunque

sono

da

intrinseche tensore e

proprietà

Ii 61 3p

622 dove

633 la isotropa

è pressione

p

Il dei

Determinante di ordine

minori 2 2

Er

the

6,633 623632

61363

61262

611622 e

622633

Is det E

Risolta trovo 3 autovalori

l'espressione sforzi

sono

de proprio gli

princi­pali

GI

611 GI

E E autovettori

trovato autovalori

Dopo cerco

gli

aver gli

6 E GEI

te GITE LI

E in questa equazione

q generale diverso

vettori

infiniti

avrebbe a soluzioni avere e

possono verso

gli Per

direzione

modulo imponiamo

ma questo

uguale Normalizzazione

LI the 1

the

da di

direzione

troviamo 6

associata

cui le sforzo

a principale a

Te

troviamo

Rifacendo Te

stessa 6

se

la cosa e

per TI

NIL NE

NIL Te di sforzo terna destrorsa

gg 6

11 GI GI Molteplicità 1

E 0 o

6 GI

g GI

GI

ai Z

o MOLTEPLICITÀ

G 31

O 6 6 GI 3

o Molteplicità

Nel del

direzioni

tutte

molt le

siano

principali

caso uguali

2 a piano

sforzi

caso Tale

30 stato

direzioni di

sforzo sforzo

sono

al è

principali

principale

ortogonale

detto cilindrico tre

Se sforzi

tutti le

caso allora

3 e tutte

most principali sono uguali

gli dire­zioni

doe direzioni

punto

dono il principali

passanti sono

spazio pon corpo

di detto

Questo sferico

stato è idrostatico

isotropo o

sforzo di

Costruiamo votazione

matrice

una RIT

RT LE

Le RE

LE MATRICE ORTOGONALE

Etti E GRAT punto preso

espressione valida nel

soltanto in

t.ge

t.name considerazione

lo

di

la

NB dipende

nel

caratterizza

tensione punto

sforzo sforzo più

ma non

dalla E E

normale

ARBELO DI MOHR

dato fa ba ta tutte

na in

Abbiamo le

che ha

visto faccio ruotare

accora

direzioni baita

diverse

trovo

e coppie

AT

Gig Rappresentazione di g

gracica

le lo.tl

visualizzando componenti

6

Ge

6 o e

una

a

e

ha

i It

CIRCONFERENZA

PIANO

SFORZO Mona

Di

Esso di Ina

in

è è

sforzi

cui

stato sforzo

uno principali

degli

uno monaco

Il tensore

Ge quindi

diventa

di sforzo

esempio Ak

fà

Gia 622

E

Guardando ho

la fig le no

seno

I

E Era E o

Giacosa 622seno

E

a 2612

genocoso

i

Ga fa cos'o

6 Grisenocoso Giasenocosa barsenza

ha

Ta Gai

Ea

Ea Giacosa cosa

senza 622

ancorasono seno

aaaa no

g

e

aaaa

201161

G Gia di

senzo

Il 622

Gut

622 cos parametrica una

eq

circonferenza

16 Giacos

ta 20

senza

122

161

E 622

GO

CENTRO S 1 Gia

da 20

6 622

61 20

cui 60

a sen

cos

I

ta 612 20

61 senza

622 cos

s

Ora le due membro

membro

quadrato equazioni

al sommo

elevo a

e

VI

TI R 16

601 Re

dove Gia

6 6221

ciao

circonferenza centro

di o

T

A 122 Dg

Go

INTRO DEFORMAZIONI

Dopo aver imparato a descrivere lo stato di sollecitazione nei continui tridimensio-

nali, si passa allo studio del comportamento deformativo di un continuo causato da

generiche azioni esterne. Si è già osservato nell'Introduzione che un continuo tri-

dimensionale è "intrinsecamente iperstatico", nel senso che la valutazione delle

sollecitazioni al suo interno non può prescindere dalla messa in conto della sua de-

formabilità: è necessario far figurare anche gli spostamenti da esso subiti fra le in-

cognite del problema.

Ora continuo

di

Cerchiamo le

di descrivere deformazioni un

tridi­mensionale

Per far studiamo la iniziale

conf

sua

questo

caratterizza­ta

So

Vo

da di vincolata

è la

suo

cui

volume parte

una sup

un P Vo

tale

Rispetto determinato dal

conf di vettore

a sarà

punto

un

of

A

Per esterne il nel

carichi si tempo

cause temperatura deforma

corpo V Su

S

da

trovandosi t corrente caratterizzata

nella config

a

In di detti

subisce

Suo

la contorno

anche parte spostamenti

generale cedime­nti Nel

di alla

accade

vincoli perfetti

caso

VINCOLARI questo non

mea passaggio

5

descrive traiettoria descritto

corrente mette dal

in

io si

c e

punto una p

Of X

E

Risulta t

vettore funzione che

vettoriale descrive

I

e_

la tempo

del

traiettoria nel

punto ii

traiettorie I spostamento

vettore

Vo p

A

E

X

anni Il 11

sta

Suo Su

a

DEFORMAZIONI dei continui

Cinematica

a DX

Di D Do

Lo O

LO EO

s

8 ALLUNGAMENTO

8D LEO

D Do ALLUNGAMENTO

a

tuttavia dalle dimensioni

dipende

l'allungamento iniziale

togliere deformazioni

dipendenza le

uso

questa

per I IO

E Longitudinale

deformazione Normale

Io

Et E 0 deformazione trasversale

Normale

LII

E E

E d E STRETCH

dove

1 a variazione

nessuna

1 a

tutta formula Infatti

valida

è

via questa dog molto

per piccole

E ha

1

Es significato

G E È

D NON Posibile

1 L

D

1 o O

cioe

Infatti valide

queste deformazioni

sono

espressioni solo piccole

per

modo de_ DE E Cgl e

la

trovo costante venal

cosa

impongo

i

o E

che Lo

l

se

o

lg lo

D

s e

se

e C

If Cd corpo in

deformato

Lo

lg

c

E E

C ly

Per cui DEFORMAZIONE LOGARITMICA

NORMALE

La Questa

indica

si con lettera

Usando i E lgt

A i Due

Cg sono e

naperiani

si

X e

1 01

Se ACCORCIAMENTO e

a e

e auggane

a

Ora Mi deformabile

ad continuo

riferisco un

ooo fatto lo

te

Analogamente quanto

a scrivere

per posso

EXP

der Ieri

dove

Ep STRETCH

1 1dg

dip

dip 1

E 1 o

com e AI

DEFORMAZIONI FORMA

DI

CAMBIAMENTI

ASSOCIATE

ta­nta e s

1

a

È DX

a Ex

La E Ve

Ve abs tg bis

f a

E

8

aricolo

di volume mentre scorrimenti mon a Scorrimento

agg agape

Questa def è normale

non due

infatti riguarda segmenti

aaaa aaaa

a aaaa

Se riferisco al continuo

mi continuo

due di

fibre del cambiare

solo lunghezza

non

generiche possono subire

anche

da rotazione

all'altra

una una

ma

nel config

passaggio

relativa Ia

d

d

Ora Ip

Sia fibre

le

fra

l'angolo iniziale

nella

compreso cons

e

dy

Opg dea

tra la

allora

l'angolo

e variazione d'angolo o

e

scorri­mento

Spa

8Pa

è Pa

angolare l'angolo tra

risulta le

se

so

fibre chiudersi

tende a

Descrizione finito

un configurazione

di cambiamento di di un contino

l'intorno

l'approccio

si di

l'astensione

fissa

si

lagrangiano pent

userà su un

nel quale

di di

durante

si

e immagina cambiamento

materiale parti

un

seguirlo configurazione a

generico

È

È È

traiettorie I spostamento

vettore

u G

P

E FUNZIONI MATEMATICHE

E REGOLARI

CONTINUE 3

l