Appunti statistica di tutto il corso

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• 0 se x < 0
• ∈1 se x ≥ 0 e x < 1
• X ⇒ ≤F (x) =f (x) = x se 0 ≤ x < 1
• X ≥ 1 se x ≥ 1

• P (a ≤ X ≤ b) = P (c ≤ X ≤ d) = h

• Nel caso in cui la serie o l’integrale siano convergenti:
• E(X) = ∑ xf (x) = xP (X = x), se X è discreta
• E(X) = ∫ xf (x)dx, se X è continua

discreteXx∈S X+∞ZE(x) = g(x)f (x)dx, se X, Y sono continueX−∞ 62. Proprietà: {x ∈ } ≤ ≤ ∈ }- Cauchy: la media sta tra il valore min e max: inf S E(X) sup{x SX X−- Baricentro: i dati shiftati hanno media zero: E(X E(X)) = 0 ∈- Linearità: la media è un operatore lineare: E(aX + b) = aE(X) + b∀a, b RUn’estensione della linearità è: E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )3.3.2 MedianaLa mediana (x ) della distribuzione di probabilità di X, è quel valore che ripartisce la massa unitaria di0.5 12≤ ≥ :probabilità, in modo che X x e X x abbiano probabilità pari a0.5 0.51- Se X è continua: F (x ) =X 0.5 2- Se X è discreta: è quel valore/valori dove la funzione di ripartizione raggiunge o supera per la prima1 .volta 23.3.3 ModaLa moda (x ) della distribuzione di probabilità di X è quel valore per cui è massima la funzione di densitàmodi probabilità; ci può essere anche più di un valore moda e può

Anche non esistere. Se F(x) ha un unico massimo la distribuzione di probabilità di X è unimodale; se ha 2 o più punti di massimo sarà una distribuzione bimodale o multimodale.

Quantili:

Con α (0, 1), il quantile (x) di livello α della distribuzione di probabilità di X è quel valore che ripartisce α - la massa unitaria di probabilità lasciando una proporzione pari a α alla propria sinistra e 1 - α alla propria destra.

• Se X è continua: F(x) = α
• Se X è discreta: è quel valore/valori dove la funzione di ripartizione raggiunge o supera per la prima volta α.

Varianza:

La varianza (V(X)) di una variabile casuale discreta o continua X, con supporto S e funzione di densità di probabilità f, è la quantità V(X) = E((X - E(X))^2), misura la dispersione della distribuzione di probabilità di X attorno alla media.

Calcolo:

Nel caso in cui la serie o l'integrale siano convergenti: X^2 - E(X) = ...

la mediana x = 0.5• −Lo scarto interquartilico SI = x x , è la differenza tra il terzo e il primo quartile.3/4 1/4• ∈ } − {x ∈ },Il campo di variazione (range) R = sup{x S inf S è la differenza tra il valore piùX Xgrande e più piccolo del supporto.3.3.8 Simmetria e curtosiPer il calcolo della simmetria e della curtosi della funzione di densità (probabilità) di una variabile casualeX si usa:• l’indice indice di simmetria: 3−E[(X E(X)) ]γ = 3σ- se la funzione di densità (probabilità) è simmetrica: γ = 0;- se c’è asimmetria negativa: γ < 0;- se c’è asimmetria positiva: γ > 0.• l’indice di curtosi: 4−E[(X E(X)) ]β = 4σ- Se la funzione di densità (probabilità) è normocurtica: β = 3;- se è leptocurtica (code pesanti): β > 3;- se è platicurtica (code leggere): β < 3.4 Variabili casuali bivariateServe a fare uno studio

congiunto di più variabili e a mettere insieme due o più fenomeni per confrontarli.

Vettore aleatorio (variabile casuale multivariata): è un vettore i cui elementi sono variabili casuali.

Una variabile casuale bivariata è formata da 2 variabili casuali.

4.0.1 Funzione di ripartizione congiunta 2≤ ≤ ∈F (x, y) = P (X x, Y y), (x, y) RX,Y 2∈

Il supporto congiunto S è dato dall’insieme dei punti (x, y) R nei cui intorni si possono osservareX,Yvalori per (X, Y ) con probabilità strettamente positiva.

4.0.2 Funzione di ripartizione marginale ∈F (x) = lim F (x, y), (x) RX X,Yy→+∞

Il caso discreto (caso più facile): consiste nell’estensione al caso continuo. {(xLa variabile casuale bivariata è discreta se esiste un insieme di coppie di reali , y )} finitoi i (i,j)∈I×J,P ⇒ {(x ∈ ×o numerabile, tale che P (X = x , Y = y ) = p > 0 e p = 1 (S = , y ), (i, j) I J})i i ij ij X,Y i ii,j

4.0.3 Funzione di probabilità

congiunta( ∀(i, ∈ ×p se (x, y) = (x , y ), j) I J,ij i if (x, y) =X,Y 0 altrimenti84.0.4 Funzione di probabilità marginaleX X ∈P (X = x ) = P (X = x , Y = y ) = p = p , x Si i i ij i+ i Xj∈J j∈J4.1 Condizionamento e indipendenza∩Due eventi (X, Y ) sono indipendenti se P (A B) = P (A)P (B) cioè se:F (x, y) = F (x)F (y)X,Y X YSe (X, Y ) è discreta allora saranno indipendenti se f (x , y ) = f (x )f (y )X,Y i i X i Y iSe (X, Y ) è discreta, la funzione di probabilità della variabile casuale X condizionata a Y è:p Riga/Colonna data dal condizionamentoij(x ) = P (X = x , Y = y ) =f =i i iX|Y =yi p totale riga/colonna+jSe (X e Y ) sono indipendenti tutte le distribuzioni condizionate di X|Y = y al variare di y sonoi iuguali e coincidono con la distribuzione marginale di X.4.1.1 Valore atteso condizionato X x f (x )E(X|Y = y ) = i ii X|Y =yix iSe (X e Y ) sono indipendenti il valore atteso condizionato è costante e coincide con E(X).4.1.2

Varianza condizionata X 2−V (X|Y = y ) = (x E(X|Y = y )) f (x ))i i i iX|Y =yix iSe (X e Y ) sono indipendenti la varianza condizionata è costante e coincide con V (X).

4.2 Covarianza e correlazioneLa misura della dipendenza lineare tra due variabili X e Y è la covarianza:− − −Cov(X, Y ) = E[(X E(X))(Y E(Y ))] = E(XY ) E(X)E(Y )Nel caso di variabili casuali discrete:X X − −Cov(X, Y ) = (x E(X))(y E(Y ))f (x , y )i i X,Y i ix yi iIl coefficiente di correlazione lineare descrive la dipendenza tra le due variabili:σ XY −1 ≤ ≤ρ = , ρ 1XY σ σX Y• ⇒Se ρ > 0 relazione lineare crescente fra X e Y ;XY• ⇒Se ρ < 0 relazione lineare decrescente fra X e Y ;XY• ⇒Se ρ = 1 relazione lineare crescente con probabilità 1;XY 9• −1 ⇒Se ρ = relazione lineare decrescente con probabilità 1;XY• ⇒Se ρ = 0 X e Y sono indipendenti:

incorrelate.XYSiccome: 2 2E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ) e V (aX + bY ) = a V (X) + b V (Y ) + 2ab Cov(X, Y )ci sono dei casi particolari in cui la Cov(X, Y ) = 0 implica indipendenza:

• • ∼ ∼(X, Y ) dove X Ber(p), Y Ber(p)
• • 2 2∼ ∼(X, Y ) dove X N (µ , σ ), Y N (µ , σ )X YX Y
• • −V(X+Y) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X, Y ) = V(X-Y) = V (X) + V (Y ) 2Cov(X, Y )

5 Modelli probabilistici

Un modello probabilistico è una famiglia di distribuzioni di probabilità, i modelli sono delle variabilicasuali ”tipiche”. n∈ ⊆Data X la sua famiglia di funzioni di densità sarà f (x; θ), θ Θ R , dove θ è il parametro cheXindividua le distribuzioni di probabilità appartenenti a quella famiglia.

5.1 Modelli per variabili discrete

5.1.1 Modello uniforme