Appunti Statistica descrittiva

NIC

1. - indice nazionale dei prezzi al consumo per l’interra collettività. Si una in genere per

calcolare l’in azione.

FOI

2. - indice dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e impiegati. È utile soprattutto in

relazione alle norme nazionali che prevedono l’adeguamento periodico di voci quali a tti e

assegni dovuti al coniuge separato.

IPCA

3. - indice dei prezzi al consumo armonizzato per i paesi dell’Unione Europea.

variazione media complessiva del prezzo

Volendo confrontare la di un bene intervenuta tra due

indici dei prezzi al consumo.

istanti temporali, considerando le quantità, si farà ricorso agli

prezzi p,

Indicando i (i-esimi) al tempo t e al tempo 0 con la lettera si avrà

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ff fl fi fi fi ff ffi

p

it

I (i) ossia il numero di indice elementare del bene i

=

t p

0 i0

Numero indice dei prezzi di Laspeyres media ponderata,

Partendo da ciò è possibile costruire la prendendo come pesi alla media il

prodotto p q

del prezzo (i-esimo al tempo zero) e la quantità (i-esima al tempo 0)

ni=0 ni=0

I p q p q

∑ ∑

it i0 i0 it i0

L I = =

t ni=0 ni=0

p q p q

0 ∑ ∑

i0 i0 i0 i0 rilevando solo i

L’indice indica la variazione media complessiva tra il momento 0 e il momento t,

prezzi ponderazione,

e non le quantità (prese sempre al momento zero). Questo tipo di

costante, migliora la confrontabilità rispetto agli indici.

sistema di pesi perde di signi cato nel tempo,

Ciò nonostante il si logora e per cui può essere

necessario cambiare l’arco temporale di riferimento. Nei confronti a breve tempo è preferibile non introdurre

.

variabilità, che si presume non emerse considerevole

peso maggiore ai prezzi aumento

L’indice così descritto tende a dare un che registrano un e un

peso minore diminuzione.

a quelli che registrano una

azione

Supponendo un’in (periodo in cui i prezzi aumentano), il consumatore tende a sostituire i

cambiano le quantità.

beni con prezzi aumentati con i beni il cui prezzo è inferiore, per cui La

quantità del bene il cui prezzo è alto diminuisce, viceversa la quantità del bene “inferiore”

aumenta. Ciò non viene riportato nell’indice, in cui si hanno solo le quantità i con 0, l’indice

sovrastima il tasso di crescita, l’in azione.

Calcolo tasso di in azione

Per calcolare l’in azione ci si serve del numero indice di Laspeyres, in percentuale:

L I I

LO

−

t t−1

O 100

I

L t−1

O

Si parla di una variazione degli sull’indice di intervallo. Ciò è utile perché questa divisione

permette di standardizzare l’indice.

- variazione percentuale maggiore di 1, azione maggiore di zero

Se la è l’in è

- minore di 1, minore di zero. de azione

Se il rapporto è l’in azione è In questo caso si ha una

dei prezzi.

- uguale a 1, zero

Se il rapporto è il tasso è e non c’è variazione.

Tipologie di variazioni

Variazione tendenziale: confronto un periodo di tempo in due anni diversi ( .

marzo 2020-marzo 2021)

Variazione congiunturale: confronto di due periodi più estesi ( ). Va scelto un periodo a cui si

anni

riferisce l’anno, di cui si fa una media.

In azione e mezzi di comunicazione

azione scende

Non è sempre vero che se l’in i prezzi scendono. Il tasso può diminuire nel tempo

senza diminuzione dei prezzi.

che ci sia per forza una Si dice quindi che l’in azione scende e i

prezzi aumentano. Altre volte si propongono confronti non veritieri, senza considerare che l’indice

cambiamento in relazione alla situazione base.

restituisce un Ciò non da nessuna informazione

sull’ordine di grandezza del fenomeno nelle due situazioni, su cui dunque nulla (o quasi) si può

dire.

Numero indice dei prezzi di Paasche 16 di 23

fl fl fl

fl fl fl fl fl fi fl fl

di Paasche

L’indice si costruisce come il precedente, servendosi della media ponderata, ma i

pt

pesi sono determinati sia dalla variazione di del prezzo al tempo che dalla variazione della

qt.

quantità al tempo I pesi cambiano dunque con il periodo t considerato.

ni=0 ni=0

I p q p q

∑ ∑

it i0 it it it

P I = =

t

0 ni=0 ni=0

p q p q

∑ ∑

i0 it i0 it confronto ciascun periodo t

Dato che i pesi cambiano sempre, l’unico possibile è quello tra e il

periodo 0. Non possono più dire se sono cambiati i prezzi o la quantità perché variano entrambi e

variazione osservata variazione congiunta dei prezzi e delle

quindi la a t dipenderà dalla

quantità.

Confronto tra indici

Laspeyres maggiore Paasche dei

L’indice di è tendenzialmente di quello di all’aumentare

prezzi da 0 a t perché non considera la variazione (in genere una diminuzione) della quantità qt.

minore prezzi

Viceversa, l’indice di Laspeyres tende ad essere dell’indice di Paasche quando i

diminuiscono. 30.03.2022

ASSOCIAZIONE TRA CARATTERI

QUALITATIVI (1)

Esempio Titanic distribuzione univariata doppia,

Per valutare eventuali discriminazioni si costruisce una (una

dati bivariati. studio congiunto

tabella con entrambi i dati) che riporta di Per e ettuare lo dei due

distribuzioni unitarie:

dati ci si serve di due una per il carattere salvato e una per il carattere

classe.

Ciò però non permette alcuna associazione tra le variabili, per cui è necessario costruire una

tabella di contingenza frequenza congiunta,

a doppia entrata),

(tabella in cui si esprime la tutti i

possibili incroci, tutte le possibili situazioni veri cate nell’esempio. Il valore di ciascuna di queste

coppie indica una frequenza assoluta detta frequenza congiunta. Questi valori non sono però

marginali”,

confrontabili perché i totali accomunati da una modalità (ossia le “frequenze

frequenze assolute per “classe”) sono diversi dai totali dell’altra modalità.

La tabella così descritta è molto ricca, contiene sia le frequenze congiunte che quelle marginali.

confrontabile frequenze relative,

Per renderla però vanno prese le ottenute dividendo le varie

frequenze per il totale (1316). Osservando i valori si deduce che i deceduti in classe 3 sono circa il 40% mentre in

classe 1 sono solo il 9%. Osservando i non sopravvissuti la percentuale di morti diminuisce andando da classe tre a

classe uno. Ciò non si può dire per la classe dei salvati (andamento altalenante).

Per dare una risposta più precisa (questa tabella è riferita al totale, alle 6 possibili situazioni) è

necessario approfondire con altri calcoli.

Rappresentazione gra ca del caso gra ci a barre,

È possibili costruire l’esempio con due (si, no) che restituiscono in maniera

congiunta l’idea di salvato delle tre classi. Viceversa si possono fare tre gra ci (I, II, III

classe) che esprimono i salvati e morti. Verranno restituiti gli stessi risultati.

diagramma a bolle.

È possibile usare anche il

Tabella a doppia entrata

tabella congiunta

Ogni permette di formalizzare e rappresentare la distribuzione di due o più

distribuzione di frequenze

variabili. La tabella contiene quindi varie distribuzione di frequenze: la

congiunte distribuzione di frequenze

(valore del cuore; relativo: diviso per il totale assoluto), la

marginali distribuzione condizionata delle frequenze

(di riga e di colonna) e la (di una colonna

frequenze relative

o di una riga). Volendo calcolare le per ciascuna colonna/riga, prese

condizionatamente all’altra modalità, in quest’ultima distribuzione il totale per cui si divide è 325

è possibile confrontare i dati:

(per la prima colonna). Da qui si nella classe1 si salva il 62%; nella 2 il

41% e nella 3 il 25%. Ciò fa sospettare una qualche dipendenza alla classe.

Esempio due

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fi fi fi ff fi

Formalizzando

tabella a doppia entrata,

Nella le variabili delle colonne e delle righe sono variabili qualitative (X:

nij

{x1, … xH}; Y: {y1, … yK}) a cui si associano le diverse modalità. Chiamando (n i-esima e j-

frequenza congiunta,

esima) la ossia il numero di unità statistiche che presentano

simultaneamente la modalità xi di X e la modalità yj di Y.

ni. n.j frequenza marginale,

Chiamiamo e (i-esima o j-esima) la

rispettivamente di di X e di Y. La frequenza marginale di X è la frequenza

assoluta delle unità che presentano la modalità xi e qualunque modalità

di Y; analogamente la frequenza marginale di Y è la frequenza assoluta

delle unità che presentano nel collettivo la modalità yj e qualunque

modalità di X. Il punto del pedice della frequenza marginale indica la

variabile che resta sso (noto).

totale complessivo n.

Il si indica con

distribuzioni condizionate

Le sono tante quante le modalità presenti (le

distribuzioni di una variabili sono tante quante le modalità dell’altra). La colonna j-esima mostra la

distribuzione di X condizionata a Y=yj (X|Y=yj); la ruga i-esima mostra la distribuzione di Y dato

X=xi

Proprietà delle distribuzioni congiunte

Le frequenze congiunte nij (“doppie”) godono delle seguenti proprietà:

k

∑

n n , con i=1, …, H distribuzione di X dato Y (X|Y)

=

i. ij

j=1

h

∑

n n , con j=1, … K distribuzione di Y dato X (Y|X)

=

.j ij

i=1

H K H K

∑ ∑ ∑ ∑

n n n n

= = =

ij i. .j

i=1 j=1 i=1 j=1

dividendo per il totale relative,

Si ricordi che n otteniamo la distribuzione di frequenze congiunte

le distribuzioni relative marginali e le distribuzioni relative condizionate. Si ha quindi:

n n

n .j ij

i. f f

f = =

=

i. .j ij

n n n

Esempio tabelle congiunte istat

Dipendenza, indipendenza e distribuzioni condizionate

valutare la dipendenza o indipendenza

Per di due variabili tra loro, si prendono in

distribuzioni condizionate relative. Se

considerazioni le le distribuzioni relative di x,

diverse, x dipende da y

condizionatamente a y, sono tra loro si dirà che (oppure che y dipende

da x, cosa diversa).

Indipendenza

proporzione è uguale per tutte le frequenze

Quando la (assolute) traiamo come dato che le due

non si condizionano tra loro.

variabili Prendendo le frequenze relative o percentuali condizionate

ste