Appunti Scienze delle costruzioni per ingegneria chimica

DEFORMAZIONI DI UNA SEZIONE TRASVERSALE

- La deformazione causata dal momento flettente M è misurata dalla curvatura della superficie neutra.

1 1

= = = =

- Sebbene le sezioni trasversali rimangano piane quando sono soggette a momento flettente,

le deformazioni nel piano non sono nulle

= = − =

- L’allungamento al di sopra della superficie neutra e la contrazione al di sotto della stessa,

causa una curvatura nel piano della sezione

1

= = curva anticlastica

′

CASI DI SAINT VENANT: TORSIONE

Carichi torsionali su aste circolari

Vogliamo determinare le tensioni e le deformazioni in alberi circolari soggetti a

momenti torcenti. 

La turbina esercita una coppia torcente T sull’albero l’albero trasmette la



coppia al generatore il generatore reagisce con una coppia uguale e opposta

a T’.

Momento risultante dovuto alle tensioni interne

Il momento risultante delle tensioni tangenziali è una coppia interna, uguale ed

opposta alla coppia applicata: ∫ ∫

= = ( )

La distribuzione delle tensioni tangenziali non è nota ed è staticamente

indeterminata: occorre considerare le deformazioni prodotte dal momento

torcente.

Diversamente dalla tensione normale dovuta ai carichi assiali, la distribuzione delle

tensioni tangenziali dovuta a carichi torsionali non può essere assunta uniforme.

ANALISI DELLA DEFORMAZIONE E CALCOLO DEGLI SFORZI (METODO SEMI-INVERSO)

Componenti tangenziali parallele all’asse

Il momento torcente produce tensioni tangenziali sulle facce perpendicolari all’asse

dell’albero.

La simmetria delle tensioni tangenziali implica l’esistenza di tensioni analoghe sulle facce

perpendicolari.

Consideriamo un albero formato da asticelle separate. Quando due coppie uguali e

opposte vengono applicate alle due estremità dell’albero, le asticelle scorrono l’una

rispetto all’altra.

Deformazioni dell’albero

- L’angolo di torsione dell’albero è proporzionale al momento applicato e alla lunghezza dell’asta:

∝

∝

Dove φ è l’angolo di torsione relativa.

- Soggette a torsione, tutte le sezioni trasversali delle aste circolari rimangono piane

e indeformate perché la sezione circolare è assial-simmetrica.

- Le sezioni trasversali di aste non a sezione circolare (non assial-simmetriche)

soggette a torsione subiscono deformazioni fuori piano, ovvero di “ingobbano”.

Per effetto dell’assial-simmetria:

- Gli archi di circonferenza rimangono nel loro piano e restano tali.

- Le sezioni ruotano restando piane.

- I segmenti rettilinei restano tali anche a deformazone avvenuta

La deformazione nel piano della sezione

Consideriamo un segmento PQ di lunghezza dL inclinato di un’angolo θ rispetto all’asse x e che ruota di un

angolo ω .

z

0 −

[ ] =[ ] [ ] →

Consideriamo il tensore spostamenti: 0

= − ; = ;

queste rappresentano le componenti di spostamento, dove n e n sono i coseni

x y

di vettori.

Consideriamo la sezione circolare: qualunque assi io prenda nel baricentro sono sempre assi principali di

inerzia. =

La rotazione relativa sarà data da:

Dove α è l’angolo di torsione unitario, costante. Esso indica quanto l’asta si

deforma per effetto di un momento torcente.

= 0

= −

Gli spostamenti nel piano saranno:

= +

= ,

Sostituendo ricaviamo:

= − = +

Dove ω corrisponde a φ, z corrispone a n dL e y corrisponde a n dL.

z p y p x

Ricaviamo che le deformazioni estesionali sono tutte nulle:

= = 0 è già nullo

= = 0 dipende solo da z e x

= = 0 dipende solo da x e y

Mentre non è necessario verificare le equazioni di congruenza, già soddisfatte:

= + = − = + = + = + =0

Gli sforzi sul piano della sezione

Note le deformazioni, grazie alla legge di Hooke, dal legame elatico possiamo ricavare gli sforzi:

= = = = 0

= = −

= = +

La soluzione dipende da α, angolo di torsione unitario, rotazione relativa tra due sezioni dell’asta poste a

distanza unitaria.

Controlliamo ora le equazioni indefinite di equilibrio:

+ + =0 + =0 =0 =0

Risultano tutte verificate.

Condizione al contorno della superficie laterale

Dalle condizioni al contorno della superficie laterale (n =0), l’unica significativa è:

x

+ = 0

Le componenti n e n del versore della normale alla superficie esterna, funzioni

y z

dell’angolo β di cui il raggio c della sezione è inclinato rispetto all’asse y, possono

essere determinate in funzione del raggio c e delle coordinate y,z del punto della

superficie esterna in esame:

= cos = = sin =

= = − = = + ,

Siccome e possiamo sostituire e otteniamo:

− + = 0

L’equazione risulta dunque soddisfatta perché si annulla tutto.

Questa espressione ci dice che la tensione tangenziale è tangente al contorno.

Consideriamo un versore tangente alla superficie: −

−

− sin

=[ ]=[ ]=[ ] = =

cos

Le tensioni tangenziali sono tangenti al contorno e quindi perpendicolari al raggio.

Condizioni al contorno sulle basi

Le espressioni di equilibrio alla traslazione intorno a y e z risultano soddisfatte:

∫ ∫ ∫

= = − = − = 0

∫ ∫ ∫

= = = = 0

Sono entrambe verisficate in quanto il sistema di riferimento ha origine nel baricentro.

Consideriamo ora l’equilibrio alla rotazione intorno all’asse x (momento torcente): 2 2

( )

∫ ( ∫ ∫

= − ) = ( + ) = +

2 2

( )

+

Dove è il momento di inerzia polare.

∫

4

= → =

2

α è anche detto parametro di resistenza. Se vado a sostituirlo nelle espressioni precedenti ricavo:

= − =− = + =

Nel generico punto a distanza r dal centro della sezione la tensione tangenziale risultante può essere

denominata , indicando con s un’ascissa curvilinea che, punto per punto della sezione, ha direzione della

normale al raggio. Lo sforzo risultante può essere calcolato facendo uso di pitagora e vale:

2 2 2 2

√

= + = + =

√

La deformazione del prisma di lunghezza L è compiutamente definita dall’angolo φ:

= =

ANALISI DELLA DEFORMAZIONE E CALCOLO DEGLI SFORZI

Scorrimento angolare

Sezione interna di un’asta: quando si applica il momento torcente, un elemento quadrato

all’interno del cilindro si trasforma in un rombo.

Le sezioni di estremità rimangono piane: lo scorrimento angolare è uguale all’angolo tra le line

AB e A’B’.

Se γ è piccolo, la lunghezza dell’arco AA’ è:

= oppure =

Lo scorrimento angolare è proporzionale all’angolo di torsione e al raggio c:

= =

Tensioni in campo elastico

Se moltiplichiamo l’espressione appena trovata per il modulo di elasticità tangenziale G otteniamo:

=

= ,

Ma siccome dalla legge di Hooke, ricaviamo:

=

La tensione tangenziale varia dunque linearmente con la distanza ρ dall’asse dell’albero.

Ricordiamo che la somma dei momenti delle forze elementati esercitate su ogni sezione è uguale al

momento torcente agente sull’albero:

2

∫ ∫

= = =

I risultati seguenti sono conosciuti come formule della torsione elastica:

= e =

1 24 14

0 ≤ ≤ = ( − ).

dove e 2

Ci sono solo tensioni tangenziali che in ogni punto sono perpendicolari al raggio.

Esempio

Un cilindro cavo in acciaio è lungo 1.5 m e ha diametri interno ed esterno

rispettivamneti a 40 e 60 mm.

Qual è il massimo momento torcente che può essere applicato all’asta se lo sforzo tangenziale non deve

superare i 120 MPa? Qual è il corrispondente valore minimo dello sforzo tangenziale? =

Il massimo momento torcente ammissibile T che pu&ogr