Appunti rielaborati del corso di Statistica medica

La statistica

La statistica, ha due funzioni, che corrispondono anche a due branche della statistica (statistica descrittiva e statistica inferenziale):

• Funzione descrittiva: in quanto offre il metodo per riassumere (sintetizzare) le informazioni in modo da renderle utilizzabili più facilmente. Riduce i dati in forma maneggevole, sostituendo a molti numeri poche misure.
• Funzione inferenziale: permette di generalizzare i risultati osservati, ricavando proprietà e leggi generali sulla base di dati rilevati solamente su una parte (campione) della popolazione.

Definizioni

Unità statistica

Unità statistica: ogni elemento o caso appartenente alla popolazione, in cui vengono osservati caratteri oggetto di studio e da cui si raccolgono i dati.

Esempi: un singolo paziente o soggetto; una ASL; un occhio; un campione di sangue; una cellula; un topo; un oggetto, una famiglia etc.

Popolazione o universo

Popolazione (o universo): in statistica, si intende l’insieme di tutte le unità statistiche oggetto dell’osservazione (es.: medici, paramedici, studenti, diabetici, obesi, addetti all’agricoltura…).

Non necessariamente è costituita da individui: possono essere cellule, topi, oggetti.

È costituita da tutti elementi che hanno una caratteristica in comune (es. tutti gli individui con diabete nel mondo, tutte le matricole di questo ateneo). Comprende tutti gli elementi che hanno quella caratteristica.

Non necessariamente deve essere composta da un numero elevato di elementi.

Un’indagine che studia un’intera popolazione, si chiama censimento; rileva le informazioni su tutta la popolazione. Non sempre però è possibile indagare su tutta la popolazione. Le indagini, vengono perciò condotte su campioni.

Campione

Campione: la parte delle unità statistiche (che appartengono ad una popolazione) sottoposte all’osservazione, all’esperimento, etc.

Il campione è soltanto una parte del tutto.

Esempi:

• Universo: tutti i pazienti adulti con una determinata malattia.
• Campione: 120 pazienti con quella malattia, inclusi in una sperimentazione clinica.
• Universo: un lotto di 5000 impianti.
• Campione: 10 impianti di quel lotto sottoposti a controllo di qualità.

Il campione, deve essere rappresentativo della popolazione. Per essere rappresentativo deve:

• 1) Essere di dimensioni adeguate.
• n (minuscola) → indica la numerosità del mio campione.
• N (maiuscola) → indica la numerosità della popolazione.
• 2) Le unità statistiche considerate, devono essere scelte in modo casuale. Deve essere garantita l’estrazione casuale. (es. fatti dalla prof: tombola, lotto)

Variabile o carattere

Variabile (o carattere): la caratteristica (attributo o misura) osservata sull’unità statistica.

È l’informazione che vado a raccogliere.

Modalità della variabile: ogni diverso modo di presentarsi della variabile statistica osservata.

Es. la variabile “sesso” ha maschio o femmina come modalità; età ha i vari anni come modalità; peso ha i kg.

Frequenza: numero di volte che si presenta una data modalità.

Variabili qualitative e quantitative

Le variabili possono essere:

• Variabili qualitative → sono quelle che esprimono una qualità (es. sesso, colore occhi, colore capelli, nazionalità). Le modalità della variabile quantitativa non sono numeri.
• Variabili quantitative → sono quelle che esprimono una quantità. Le modalità della variabile quantitativa sono numeri.

Variabili qualitative

Le variabili qualitative possono essere ulteriormente classificate in:

• Ordinali (o per ranghi) → sono quelle, le cui modalità hanno un ordine oggettivo (es. titolo di studio: licenza media, superiore, laurea; non per forza in quest’ordine anche al contrario; giorni della settimana, indice di severità di una malattia).
• Nominali → sono quelle, le cui modalità non hanno un ordine oggettivo. (es. sesso; professione; diagnosi medica).

Date due qualsiasi modalità, di una variabile nominale, è possibile solo affermare se esse sono uguali o diverse.

Variabili quantitative

Le variabili quantitative possono essere:

• Discrete → variabili che assumono solo valori interi (es. n° figli; n° denti).
• Continue → assumono valori su tutto l’asse dei numeri reali (es. statura; peso; glicemia).

È possibile rilevare una variabile quantitativa continua, e renderla discreta; ma non il contrario.

Il verso della freccia nella slide, indica che si può procedere solo in un senso, non nell’altro.

Però così facendo, si perde variabilità, si perdono informazioni che invece potevo sfruttare. Quindi bisogna fare attenzione a non perdere i dettagli di ciò che ho studiato (non perdere variabilità).

Le informazioni raccolte, devono essere organizzate in strutture chiamate comunemente Data Base o File Dati.

Le informazioni vengono, comunemente, organizzate per riga, cioè su ogni riga, vengono elencati i dati relativi ad un soggetto. Abbiamo una riga per ogni paziente, e una colonna per ogni variabile.

Distribuzioni semplici di frequenze

I dati (cioè le informazioni raccolte) spesso non sono di immediata lettura. La prima esigenza è dunque quella di rendere i dati più facilmente interpretabili. Perciò si procede ad una sistematizzazione e sintesi delle informazioni raccolte, cioè alla loro tabulazione.

Per ogni variabile si calcolano le frequenze assolute (f.a.).

Frequenze assolute (f.a.) → rappresentano il numero di unità statistiche, che presentano una stessa modalità della variabile.

Vuol dire che 120 è il numero di maschi.

Scriviamo nella tabella, nelle colonne a sinistra, le diverse modalità della variabile, e a destra le frequenze assolute di ogni modalità (quanti maschi, quante femmine).

Il totale delle f.a. è dato dalla somma delle u.s. considerate.

In molti casi, è utile calcolare, oltre alle f.a., le frequenze relative.

Sono utili, (come le f. percentuali), per confrontare i dati di due campioni costituiti da un numero diverso di unità statistiche (vedi es. fumatori).

Frequenze relative (f.r.) → sono un esprimere le frequenze assolute in %.

Si ottengono dividendo la frequenza assoluta per il tot. delle unità statistiche; tutto moltiplicato per 100.

(Il valore che si ottiene dalla divisione, in realtà, può essere lasciato immutato o moltiplicato per 100, per ottenere il valore % (libro)).

Il totale delle f.a., è uguale alla somma delle unità statistiche; il totale delle f.r. è sempre 100.

In molti casi oltre alle f.a. e f.r. è utile calcolare le frequenze assolute cumulate e le frequenze %.

Frequenze cumulate (assolute) → si calcolano sommando la frequenza assoluta della modalità presa in considerazione, con le f.a. delle modalità precedenti.

Le frequenze cumulate indicano quante u.s. si presentano fino a quella modalità.

Ha senso calcolare le f. cum solamente per le variabili quantitative o qualitative ordinali.

Si possono calcolare le frequenze cumulate, anche sulle frequenze relative. Il principio è sempre lo stesso.

Quindi si possono avere anche frequenze relative cumulate → si calcolano sommando la frequenza relativa di una modalità con le frequenze relative delle modalità precedenti.

Distribuzioni doppie di frequenze assolute

Quando vogliamo considerare, per ogni unità statistica, più variabili, divido in più colonne, e in ogni riquadro metto la f.a., cioè il numero di u. s. che hanno quella caratteristica.

Ci accorgiamo che il confronto non può essere effettuato solo con le f.a. in quanto i campioni fumatori e non fumatori, non sono dello stesso numero.

In molti casi, ci si trova nella necessità di dover fare confronti (ad es. se si vuole stabilire se sono più i fumatori con BCO o i non fumatori con BCO vedi dopo) ma il confronto non può essere effettuato solo con le f.a. in quanto i campioni, non sono dello stesso numero. È necessario calcolare le frequenze relative o le frequenze percentuali e poi effettuare il confronto tra queste.

Dobbiamo esprimere i risultati in %.

Frequenze percentuali (f.%) (=f. relative) → sono un esprimere le frequenze assolute in %.

Si ottengono dividendo la frequenza assoluta per il tot. delle unità statistiche; tutto moltiplicato per 100 (cioè facendo riferimento ad una ipotetica popolazione di 100 unità).

È possibile calcolare anche le frequenze percentuali cumulate.

Statistica descrittiva

Come già detto, le funzioni della statistica, sono distinguibili in 2 grandi categorie:

• La prima funzione/branca della statistica, è la statistica descrittiva → una serie di metodi che hanno come obiettivo, quello di descrivere l’osservato, quindi ciò che abbiamo osservato sui nostri soggetti o sulle nostre unità statistiche.
• La seconda funzione/branca è di carattere inferenziale → è costituita da una serie di metodi, che consentono di generalizzare i dati osservati sul mio campione, ad un’intera popolazione.

Misure di sintesi numerica

(o misure/indici di posizione o misure/indici di tendenza centrale)

Si parla di misure di sintesi, perché l’obiettivo è trovare un indicatore, quindi un valore che possa descrivere in modo sintetico ciò che ho osservato sul mio campione.

Le misure di sintesi più utilizzate, sono tre:

• (x̅ media aritmetica)
• Mediana (Me)
• Moda (Mo)

Media aritmetica

È definita come quel valore che avrebbero tutte le osservazioni se non ci fosse la variabilità. Se fossimo tutti uguali saremmo tutti alti allo stesso modo. Sul singolo, però questo valore può commettere un errore, che può essere un errore di sovrastima o di sottostima.

È la misura di sintesi in assoluto più utilizzata.

Simbolo x minuscolo contrassegnato.

È data dalla somma dei prodotti delle singole modalità, ciascuna moltiplicata per la propria frequenza assoluta, tutto diviso per n (numerosità complessiva del campione).

Infatti, devo considerare che nella mia distribuzione, ciascuna modalità si presenta un determinato numero di volte (nell’es. sotto, sono 4 i soggetti che hanno un’altezza compresa in questa classe: 150-154; 10 i soggetti con un’altezza compresa nella classe successiva). In pratica considero quelle che abbiamo chiamato frequenze assolute.

La media aritmetica, tuttavia, ha dei limiti:

• È possibile utilizzare la media aritmetica per descrivere i miei dati, solamente quando la variabile è quantitativa.
• È particolarmente sensibile ai dati atipici (=anomali) presenti in una distribuzione. Un valore particolarmente alto o particolarmente basso presente nel mio campione, sposta la media aritmetica, e non è più rappresentativa dell’osservato.

Es. 7 valori di VES, rilevati sul mio campione di 7 soggetti: 8,5,7,6,35,5 e 4. La media aritmetica è 10, ma nessun paziente ha 10, anzi 6 dei 7 soggetti hanno valori più piccoli di 10. Quel valore 35, ha spostato la media aritmetica, andandola a posizionare in un punto in cui non rappresenta più nessuno. In questi casi, la media aritmetica, assolutamente non funziona. Quindi è necessario, innanzitutto, prima di calcolare la media aritmetica, osservare i dati e vedere se ci sono dei dati atipici. In questi casi non si potrà più utilizzare la media aritmetica, ma bisognerà usare altre misure di posizione, come la media o la mediana. Gode di alcune proprietà.

Proprietà della media aritmetica

• 1. Internalità: è sempre compresa tra il valore minimo e il valore massimo dei dati;
• 2. La somma degli scarti dalla media aritmetica è sempre uguale a zero; uno scarto è la differenza tra una modalità (un valore nel mio campione) e il valore della media aritmetica. Bisogna naturalmente considerare le frequenze assolute, cioè quante volte quella modalità è presente. Infatti la somma degli scarti positivi della media aritmetica è uguale in valore assoluto alla somma degli scarti negativi, e quindi la somma degli scarti (positivi e negativi) è zero.
• 3. La somma degli scarti al quadrato dalla media aritmetica (chiamata devianza) assume il valore minimo; cioè qualsiasi altro valore (z) io scelga (che può essere all’interno della distribuzione, esterno alla distribuzione, più grande o più piccolo della m.a., qualsiasi valore) la somma degli scarti al quadrato utilizzando quest’altro valore, sarà sempre più grande della somma che ottengo quando utilizzo il valore medio. Quindi la somma degli scarti al quadrato dalla media aritmetica è il valore minimo, cioè è il valore più piccolo che posso ottenere. Il che vuol dire che qualsiasi altro valore, sarà meno rappresentativo rispetto alla media aritmetica. ⋅
• 4. La media dei valori: k⋅x è pari alla media aritmetica k (dove k è un numero reale qualsiasi); moltiplicando ciascun valore della distribuzione, per un numero reale qualsiasi k, la nuova media che si ottiene è uguale alla media aritmetica precedente, moltiplicata per K.

Es. se ho una distribuzione con una serie di valori, e la media è 10, se io prendo questi dati e li moltiplico per 10, la loro nuova media aritmetica, sarà 10x10=100.

Questo è utile quando è necessario cambiare l’unità di misura dei miei valori. Posso cambiare l’unità di misura direttamente al mio valor medio; non serve che cambio l’unità di misura di tutti i valori, e poi calcolo di nuovo la media aritmetica.

• 5. Lo stesso vale per la somma o la sottrazione.

La media dei valori: x ± h è pari a: media aritmetica ±h (dove h è un numero reale qualsiasi).

Sommando o sottraendo a ciascun valore della mia distribuzione, un numero reale qualsiasi h, la nuova media aritmetica sarà uguale alla media aritmetica precedente ±h.

Questo è utile in caso di errori sistematici. Può succedere che io mi accorga alla fine della rilevazione che lo strumento che ho utilizzato commette un errore sistematico ad es. la bilancia sbaglia sempre di 100 gr, allora non è che peso nuovamente tutti, ma tolgo 100 gr al valore della media aritmetica.

La media aritmetica è in assoluto la misura di posizione più usata, ma ha dei limiti; per cui a volte, altre misure come la mediana e la moda si dimostrano utili.

Mediana (Me)

L'idea alla base della mediana è di cercare il valore al centro della distribuzione ordinata, perché ciò che sta al centro può essere rappresentativo del mio fenomeno.

È rappresentata dal valore (modalità) che si trova esattamente al centro della distribuzione ordinata.

È quel valore che divide la distribuzione esattamente in 2 parti uguali, lasciando alla sua destra e alla sua sinistra, lo stesso numero di unità statistiche (=dati/osservazioni).

La mediana è un indicatore, che in statistica si dice robusto, perché non influenzata da valori estremi, e quindi dai valori anomali (dato che si trovano alle estremità), al contrario della media aritmetica.

L’unico vincolo della mediana, è che è necessario ordinare i dati della distribuzione; per poter ordinare i dati la variabile deve essere quantitativa o qualitativa ordinale.

Fasi operative per il calcolo della mediana:

• 1) Ordinare i dati in ordine crescente;
• 2) Vedere se il numero di unità statistiche n è pari o dispari.
• Se n è pari, la mediana è la media aritmetica dei 2 valori centrali, cioè è la media aritmetica dei due dati che occupano la posizione n/2 e (n+1)/2.
• Se il numero di dati n è dispari, la mediana corrisponde al dato che occupa la posizione centrale, cioè che occupa la (n+1)/2 esima posizione.

(Devo considerare la modalità (il valore) dell’unità statistica che occupa quella posizione!!!)

Moda

È la modalità maggiormente frequente in una distribuzione.

È utilizzata quasi esclusivamente x variabili qualitative nominali.

In una distribuzione si possono avere anche più valori modali (si potrebbero avere 2 o + modalità che si presentano con frequenza uguale).

Una distribuzione è unimodale se ha un solo valore modale, bimodale se sono presenti due valori modali (si hanno due picchi di stessa altezza, in corrispondenza di due modalità diverse (moda, mediana e media non coincidono), trimodale se ne ha tre..etc.

Una distribuzione può anche non avere moda.

Nel caso di variabili quantitative continue, è possibile calcolare tutte e 3 queste misure di posizione. Non sempre, però forniscono lo stesso risultato.

Se media, mediana e moda coincidono, la distribuzione è una distribuzione simmetrica.

La più famosa delle distribuzioni simmetriche è la distribuzione Gaussiana.

Una distribuzione che ha due valori modali, è una distribuzione bimodale. Ha due picchi di stessa altezza, in corrispondenza di due modalità diverse. (moda, mediana e media non coincidono)

Se invece media, mediana e moda non coincidono, la distribuzione è una distribuzione asimmetrica. Può essere:

• Distribuzione asimmetrica destra (o d. a. positiva). Ha una coda che si estende verso destra, verso i numeri grandi.

Mo ≤ Me ≤ media aritmetica. La media aritmetica &e