Appunti relativi ad una lezione di laboratorio di Statistica

B=”lo studente ha seguito il corso”

1. Dall’informazione fornita dal docente ”il 65% degli studenti hanno se-

guito il corso”, approssimando la probabilità con la frequenza relati-

va, si ha P(B) = 0.65 e applicando il primo teorema del calcolo delle

probabilità si ottiene: − −

P ( B̄) = 1 P (B) = 1 0.65 = 0.35

e inoltre P (A|B) = 0.75 e P (A|

B̄) = 0.40. L’evento A può essere

∩ ∪

rappresentato come l’unione di due eventi incompatibili A = (A B)

∩

(A B̄); pertanto ∩ ∩

P (A) = P (A B) + P (A B̄)

dove

• ∩ ∗ ∗

P (A B) = P (A|B) P (B) = 0.75 0.65 = 0.4875

• ∩ ∗ ∗

P (A B̄) = P (A|

B̄) P ( B̄) = 0.40 0.35 = 0.1400

Pertanto P (A) = 0.4875 + 0.1400 = 0.6275

2. La probabilità richiesta è ∩ 0.4875

P (A B) = = 0.7769

P (B|A) = P (B) 0.6275

2

Esercizio 3

Ad una certa conferenza, partecipano 30 psichiatri e 24 psicologi. Due di que-

ste 54 persone vengono scelte casualmente per fare parte di una commissione.

Qual è la probabilità che venga scelto almeno uno psicologo?

Soluzione

Siano A e B gli eventi

A=”il soggetto scelto è uno psicologo”

B=”il soggetto scelto è uno psichiatra”

Vogliamo calcolare la probabilità che su 2 soggetti estratti almeno uno sia

uno psicologo. Possiamo adottare 2 possibili strategie.

Strategia 1: l’evento ”estraggo almeno 1 psicologo” è complementare al-

l’evento ”non estraggo alcun psicologo”. Pertanto Pr(”almeno 1 sia uno

psicologo”)=1-Pr(”nessuno psicologo”)=1-Pr(”2 psichiatra”). Sia B l’even-

1

to ”seleziono uno psichiatra alla prima selezione” e B l’evento ”seleziono

2

uno psichiatra alla seconda selezione”. La probabilità richiesta è pertanto

pari a : 29

30

− ∩ − |B − = 0.6960

1 P (B B ) = 1 P (B )P (B ) = 1

1 2 1 2 1 54 53

Strategia 2: equivalentemente questa probabilità poteva essere calcolata come

probabilità dell’unione dei seguenti eventi:

∩ ∪ ∩ ∪ ∩

(A A ) (A B ) (B A )

1 2 1 2 1 2

ossia ∩A ∩B ∩A ∩A ∩B ∩A

P ((A )∪(A )∪(B )) = P ((A ))+P ((A ))+P ((B )) = 0.6960

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

poichè 24 23

• ∩ |A

P (A A ) = P (A )P (A ) = = 0.1929

1 2 1 2 1 54 53

24 30

• ∩ |A

P (A B ) = P (A )P (A ) = = 0.2516

1 2 1 2 1 54 53

30 24

• ∩ |B

P (B A ) = P (B )P (A ) = = 0.2516

1 2 1 2 1 54 53

3

Esercizio 4

Su un tavolo ci sono 2 monete. Qaudno vengono lanciate, una moneta da’

testa con probabilità 0.5 mentre l’altra da’ testa con probabilità 0.6. Una

moneta viene scelta a caso e lanciata.

1. Qual è la probabilità che esca testa?

2. Se esce croce, qual è la probabilità che fosse la moneta equilibrata?

Soluzione

Siano M =la moneta scelta è la moneta 1

1

M =la moneta scelta è la moneta 2

2 |M |M

Il testo afferma che P (T ) = 0.5 e P (T ) = 0.6.

1 2

|M |M ∗ ∗

1. P (T ) = P (T )P (M ) + P (T )P (M ) = 0.5 0.5 + 0.5 0.6 = 0.55

1 1 2 2

2. Si vuole calcolare la probabilità che essendo uscita croce sia stata

estratta la moneta 1; applicando il teorema di Bayes ∗

P (C|M )P (M ) 0.5 0.5

1 1

|C)

P (M = = = 0.55

1 ∗ ∗ ∗

P (C|M )P (M ) + P (C|M ) P (M ) (0.5 0.5) + (0.5 0.4)

1 1 2 2

Esercizio 5

Tra i partecipanti ad un concorso per giovani compositori il 50% suona il

pianoforte, il 30% suona il violino e il 20% la chitarra. Partecipano ad un

concorso per la prima volta il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti e il 10%

dei chitarristi. Applicando i concetti di probabilita’ condizionata e il teorema

di Bayes, rispondere alle seguenti domande.

1. Qual è la percentuale di aspiranti compositori alla prima esperienza?

2. Sapendo che ad esibirsi per primo sarà un compositore alla prima

esperienza, qual è la probabilità che sia un chitarrista?

Soluzione

Siano:

A = Aspiranti compositori alla prima esperianza

4

B = Pianisti

C = Violinisti

D = Chitarristi

abbiamo ∩ ∩ ∪ ∪

P (A) = P (A S) = P (A (B C D))

∩ ∩ ∩

= P (A B) + P (A C) + P (A D)

= P (A|B) + P (B) + P (A|C)P (C) + P (A|D)P (D)

· · ·

= 0.1 0.5 + 0.33 0.3 + 0.1 0.2 = 0.17

Per quanto riguarda il secondo quesito abbiamo:

∩

P (D A)

P (D|A) = P (A) ·

0.1 0.2

P (A|D)P (D) = = 0.12

= P (A) 0.17

Esercizio 6

Un esame del sangue riconosce una certa malattia nel 99% dei casi quando

essa è in atto. Tuttavia, l’esame fornisce un falso positivo (esito positivo

quando la malattia non è in atto) nel 2% dei pazienti. Supponiamo che 0.5%

della popolazione abbia la malattia. Quale è la probabilità che una persona

scelta a caso abbia effettivamente la malattia se il test è positivo?

Soluzione

Indichiamo rispettivamente con D ed E gli eventi

D = un soggetto estratto casualmente ha la malattia

E= il test è positivo

Il testo ci dice che il test è affidabile al 99%, ossia fornisce un esito positivo

quando il soggetto è effettivamente malato. Ciò significa che

P (E|D) = 0.99

Tuttavia, l’esame fornisce un falso postivo nel 2% dei casi, ossia

c

P (E|D ) = 0.02

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