Appunti Protezione idraulica del territorio

T

Max curva rossa = q T

- Bipicco

Metodi di valutazione della pioggia efficace e trasformazione afflussi-deflussi

Hp: iso-frequenza tra piogge e portate

Fissata la LSPP con periodo di ritorno T, determinare il quantile di portata con periodo di ritorno T

(determinando la durata critica) -> v T

Per la stessa durata critica ci calcoliamo il volume di piena corrispondente q

T

Formule??????

Analisi bivariata portata-volume

(Q, V) sono variabili dipendenti -> determinare la distribuzione di probabilità congiunta

F(Q, V)=Pr[Q≤q, V≤v]

Dipendenza di Q e V

- Coefficiente di correlazione di Pearson ρ : rapporto tra covarianza e prodotto delle deviazioni

P

standard delle due variabili Coefficiente compreso tra -1 e 1

Correlazione definita solo se entrambe le deviazioni

sono finite e diverse da zero

Se Y=a*X + b ==> ρ = ±1

P

- La τ di Kendall

Date due osservazioni di variabili aleatorie continue (x , y ) e (x , y ): se (x – x )(y – y )>0 allora le

i i j j i j i j

due osservazioni sono concordanti, altrimenti sono discordanti

La τ è compresa tra -1 e 1

τ>0 => dipendenza positiva

τ<0 => dipendenza negativa

Se le variabili sono indipendenti => τ=0

Se si considerano le coppie (q , v ) e (q , v ) con le stesse proprietà di concordanza sopra riportate

i i j j

=> formula campione

c = numero di coppie concordanti

d = numero di coppie discordanti

c+d=N=numero di coppie totali

Proprietà della τ di invarianza a seguito di trasformazioni monotone delle variabili g(X) e h(Y)

τ = τ

XY g(X)H(Y)

[proprietà non valida per il coefficiente di correlazione lineare]

- La ρ di Spearman

S Coefficiente compreso tra -1 e 1

Esiste sempre ρ S

Esiste una relazione tra ρ e ρ -> ρ = ρ

P S S(X,Y) P(FX, FY)

F (x) e F (y) sono funzioni monotone crescenti variabili tra 0 e 1, limitate inferiormente e

X Y

superiormente => ρ esiste sempre, perché esistono sempre i momenti statistici delle due

P(FX, FY)

F

Determinazione della distribuizone di probabilità congiunta

HP: indipendenza -> F(Q, V) = Pr[Q≤q]*Pr[V≤v] = F (q)*F (v)

Q V

1. Metodi classici

2. Attraverso la distribuzione di probabilità condizionata

Probabilità condizionata

3. Attraverso misture

4. Attraverso il concetto di Copula

Copulare: collegare, connettere due cose differenti, unire

Definizione di copula nel caso binario

Dato un intervallo I=[0, 1], una funzione bivariata di Copula C:IxI -> I tale che

- Condizione di bordo (marginali uniformi): per ogni u, v appartenenti ad I

C(u, 0) = 0 C(u, 1) = u C(0, v) = 0 C(1, v) = v

- Condizione di volume (incremento 2): per ogni u , u , v , v appartenenti ad I, con u ≤u e

1 2 1 2 1 2

v ≤v

1 2

C(u , v ) - C(u , v ) - C(u , v ) + C(u , v ) ≥ 0

2 2 2 1 1 2 1 1

Significato 1: la Funzione copula C(u, v) può essere vista funzione di distribuzione cumulativa

congiunta con le marginali uniformi in [0, 1]

=> C(u, v) = Pr[U≤u, V≤v] = F (u,v)

U,V

Marginali uniformi in [0, 1]: C(u, 1)= u, C(1, v)= v

=> Pr[U≤u, V≤ 1]= Pr[U≤u]= u marginale di U

=> Pr[U≤ 1, V≤v]= Pr[V≤v]= v marginale di V

La condizione di volume rappresenta la probabilità

associata al dominio identificato dai 4 vertici

C(u ,v )=Pr[U≤u , V≤v ]

2 2 2 2

C(u ,v )=Pr[U≤u , V≤v ]

1 1 1 1

C(u ,v )=Pr[U≤u , V≤v ]

1 2 1 2

C(u ,v )=Pr[U≤u , V≤v ]

2 1 2 1

Significato 2: c(u, v) = f (u, v) densità della copula

U,V

2

(,)

(, ) =

Importanza della copula: il collegamento tra la copula-2 e le distribuzioni bivariate è il teorema

di Sklar (caso bidimensionale)

Sia F (x,y) una funzione di distribuzione congiunta di due variabili casuali X e Y, con funzioni di

XY

distribuzione marginali F (x) e F (y). Allora esiste una copula C tale che:

X Y

F (x, y) =C(F (x), F (y)) per ogni x,y R

∈

XY X Y

Se F e F sono continue, allora la copula C è unica.

X Y

Pseudo DIM:

Dalla trasformazione dell’integrale di probabilità, se X è una variabile continua con disribuzione

F non specificata, la variabile derivata F (x) è distribuita in maniera uniforme in [0, 1]

X X

N. B. 1: F e F descrivono il comportamento delle variabili; C descrive la dipendenza tra le

X Y

variabili (mappa la distribuzione di probabilità congiunta nel dominio)

N. B. 2: Separare il problema della modellazione dei marginali dal problema della modellazione

della dipendenza tra le variabili -> importante per la stima dei parametri: il numero dei parametri

di dipendenza N cresce esponenzialmente col numro di variabili n

=> N= n(n-1) / 2 

==> ciò significa che la dipendenza tra X e Y è la stessa tra U=F e V=F => =

X Y XY UV

N. B. 3: studiare le non stazionarietà in maniera separata tra le marginali e il parametro di

indipendenza

Copule bivariate elementari

- W Frechet-Hoeffding limite inferiore

2

W (u,v)=max{u+v-1,0} per valori al di sotto della bisettrice di II e IV quadrante

2

- M Frechet-Hoeffding limite superiore

2

M (u,v)=min{u,v}

2

- Indipendenza (o prodotto) Π

2

Π (u, v)=u*v prodotto delle marginali in ipotesi di indipendenza stocastica

2

Le copule W e M forniscono un legame generale per ogni copula bivariata

2 2

W (u,v) ≤ C(u, v) ≤M (u,v)

2 2

Copule per applicazioni idrologiche

- Modello logistico (copula di Gumbel-Hougaard)

 

  

C (u, v) = exp−[(− ln u) + (− ln v) 1 /



  1 parametro di dipendenza; modello considerato solo per dipendenze positive



Se = 1-> C(u, v)= u*v

- Copula di Frank 

con η=1-e e -

-

=0

Se allora le due variabili sono indipendenti

Modello per dipendenza negative e positive

N. B. Il modello delle misture può essere visto come combinazione lineare di due copule

Copula empirica

Considerato un campione di n variabili {(u , v ), k=1, 2, …, n}, la copula empirica è definita come

k k

n = numero di coppie tali che U≤u e V≤v

ij i j

Posso considerare n rettangoli e identificare il numero di osservazioni all’interno

-> uso i, j per considerare le N=n(n-1)/2 coppie andando a incrociare qualsiasi valore di u e v

Quantile per il caso multivariato -> il quantile con un fissato livello di

probabilità non è unico: esiste un’isolinea (infiniti punti) per uno

specifico livello di probabilità

Tutti i punti sull’isolinea sono coppie (x, y) a cui è associato il livello di

[0,1]

probabilità t -> tra le possibili infinite coppie, quale scegliere?

- Coppia più frequente

- Coppia (x*, y*) tale che si massimizzi la probabilità del dominio associato X>x* AND Y>y*

Ordine per il caso multivariato

Esiste solo ordine parziale (non totale): se si considerano due osservazioni (x , y ) e (x , y ) di (X, Y)

1 1 2 2

-> se x >x o x ≤x

1 2 1 2

-> se y >y o y ≤y

1 2 1 2

Ma non si può dire -> se (x , y )>(x , y ) or (x , y ) ≤(x , y )

1 1 2 2 1 1 2 2

Tempo di ritorno per il caso multivariato -> T=μ /Pr[…]

T

μ tempo medio tra due eventi -> se il campionamento è annuale μ = 1 anno

T T

4. Sicurezza idrologica delle dighe

Diga (dam): sbarramento artificiale permanente su un corso

d’acqua naturale (river), che serve a creare un lago artificiale

(reservoir) o invaso

Altezza della diga (1): livello tra la quota del piano di coronamento

e quella del punto più basso della superficie di fondazione

Quota di massimo invaso: quota massima a cui può giugnere il

livello dell’acqua dell’invaso (in caso di evento gravoso di piena);

inferiore al livello di coronamento

Quota massima di regolazione (3): quota del livello d’acqua al

quale ha inizio,automaticamente, lo sfioro degli appositi dispositivi

Franco: dislivello tra quota del piano di

coronamento e quella di massimo invaso

Franco netto: dislivello tra quota del piano di

conoramento e quella di massimo invaso

aggiunta a questa la massima onda prevedibile

nel serbatoio

Volume utile di regolazione: compreso tra

quota massima di regolazione e quota minima

del livello d’acqua alla quale può essere

derivata l’acqua invasata

Volume totale d’invaso: capacità del serbatoio

compresa tra la quota di massimo invaso e la

quota di fondazione

Volume di laminazione: volume tra la quota di massimo invaso e quella massima di regolazione; per i

serbatoi di laminazione, è compreso tra la quota di massimo invaso e quella dei dispositivi di scarico

Ogni diga è dotata di almeno due opere di scarico - Sfioratore (scarico di superficie):

dispositivi ai quali è affidata (con eventuale

ausilio di scarichi intermedi e di fondo)

l’evacuazione della portata affluente al

serbatoio quando questo ha raggiunto la

quota di massima regolazione

Capacità di deflusso tale da garantire che

non sia superato il livello massimo di invaso

in nessuna situazione

Lo scarico di superficie può essere libero o

regolato da organi mobili (paratoie)

- Scarico di fondo: scarico mediante il quale si deve poter effettuare il rapido svuotamento della

diga; ubicato solitamente al livello dell’alveo

Nei grandi laghi si costruiscono spesso uno o più scarichi al di sopra dello scarico di fondo,

chiamati scarichi di mezzofondo (o di allegerimento), ubicati a diverse altezze sul fondovalle, al

fine di accelerare lo svuotamento del lago

- Scarico di esaurimento: presente solo quando lo scarico di fondo è più alto dell’alveo; permette

di vuotare, anche se lentamente, il volume idrico sottostante allo scarico di fondo

Curva delle superfici A(h) e dei volumi di invaso S(h)

Tipologia di dighe

A gravità

Ad arco

Tipologia di scarichi

Canale di scarico laterale al corpo della diga

Scivolo

Calice

Sifone (U rovesciata)

Ogivo -> no erosione del manto

dello sfioratore

In I talia (Regio decreto 1370, anno 1931), per dighe si intendono quelle opere di sbarramento che hanno

altezza superiore a 10 m o che determinano un invaso superiore a 100.000 m ; tutte le altre opere di

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sbarramento prendono il nome di traverse

Grandi dighe: H≥15 m O S ≥1×10 m ; competenza statale; 551

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Piccole dighe: H<15 m E S<1×10 m ; competenza regionale; 1500

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Idraulica delle dighe

-> utile a