Determinante
Teorema di Laplace
A =( a11 a12 ...... a1m a21 a22 ...... a2m ai1 ai2 ...... aim am1 am2 ...... amm )
scelgo la riga i-esima e dico che:
detA = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + ... + aim Cim
C = complemento algebrico
se i=j poni segno +
se i≠j e dispari segno -
Per capire dato che, cos'è e quasi incomprensibile facciamo degli esempi:
A = ( 1 -1 2 0 1 -3 1 2 1 )
saremo la riga e colona come più sensibili
=> detA = -2 ( 1 -2 + ( 1 + 3 ) = t2 + 4 = 6
A = ( 2 -1 0 1 -1 0 0 2 -1 )
saremo la riga e colona come più sensibili
=> detA = 2 | 1 0 0 | + 1 | 0 2 -1 | + 1 | 0 2 -1 |
(2) (-(1) -(-1)) (3-2) = (2) (-(1) -(-3) 2-) + (2) (5) +5= 15
N.B. se la matrice ha o una riga o una colonna nulla il determinante è nullo
se la matrice ha 2 righe o 2 colonne uguali o proporzimai o quini il dopo i itofio...)
le determinant.restaurant nullo do es: se la riga pari
A = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) => detA = 0
A = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) => detA = 0
A = ( 1 3 4 0 2 1 3 4 1 ) => detA = 0
se una riga o una colona della marice è combinazione Emmeabile di Etuili 2 vihficolure determinante nullo
Determinante
Teorema di Laplace
A = a11 a12 ... a1m a21 a22 ... a2m ai1 ai2 ... aim am1 am2 ... amm
scelgo la riga i-esima e dico che:
detA = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + ... + aim Cim
Per capire dato che, cos’è cosi incomprensibile facciamo degli esempi:
A = 1 -1 2 1 1 2 2 0 1
=> detA = -2 ( 1 - 2) + (1 + 3) = +2 + 4 = 6
A = -2 1 0 -1 0 1 0 2 -1
=> detA = 2 1 0 0 0 3 1 0 -2 -1 + 1 0 0 0 -2 1 3 2
N.B. se la matrice ha o una riga o una colonna nulla il determinante è nullo
se la matrice ha 2 righe o 2 colonne uguali o proporzionali (quindi il doppio, il triplo...) il determinante è nullo
es: A = 1 0 0 1 0 0 1 0 0
=> detA = 0
se una riga o una colonna della matrice è combinazione lineare di altre 2 righe/colonne determinante nullo
Combinazioni Lineari Generatori - Basi
∀ ℝ {v2, v2, ... vn} Base di V
- {v1, v1, ... vn} devono essere linearmente indipendenti
- V deve essere generato dai vettori {v1, v2, ... vn}
Facciamo degli esempi: n = ℝ2
- v2: (1; 2) v2: (-1; 1)
Dato che sono linearmente indipendenti
Ora vediamo che v2, v2 generano ℝ2 attraverso la definizione:
Scelto un qualunque v2: (x; y) = a1 (1; 2) + a2 (-1; 1)
Devo vedere se esiste un unico coefficiente a1, a2 tale da verificare l'uguaglianza indipendentemente dalla scelta di (x, y)
Imposto il sistema:
- x = a1 - a2 X
- 2a1 + a2 = y
Risolvendo ∀v2, a2 sono unicamente determinatiN.B. non c'è l'indeterminazione libera
es: (1; 3) ⇒ a2 = 2 a2 = 1
Questo vuol dire che se il vettore v2: (x; y), lo posso scrivere in maniera univoca con i coefficienti a2 e a2 e basta!
Combinazione Lineare e Generatori
Consideriamo un Spazio Vettoriale V su un campo K, consideriamo di avere v₁, v₂, ... vₘ vettori, di V:
V~K v₁, v₂, ..., vₘ ∈ V
Cosa vuol dire che v ∈ V è combinazione lineare di v₁, v₂, ..., vₘ?
Vuol dire che esistono degli scalari t.q. moltiplicando a1 v₁ + a2 v₂ + ... + am vₘ ci dà come risultato il vettore v:
v = a₁ v₁ + a₂ v₂ + ... + aₘ vₘ
Esempio:
2 (1; 3) - 3 (0; 2) = (2; -4)
altro esempio:
v₃ = (1; 0) v₂ = (0; -1) N = (2; 3)
Mi chiedo: N è combinazione lineare di v₃, v₂? Per trovare 2 scalari, 2 coefficienti (a₃, a₂) t.q. moltiplicando tali vettori trova N?
{ a₁, v₃ + a₂ v₂ = v ?
{ a₁ (1, 0) + a₂ (0; -1) = (2; 3)
a₁ = 2 a₂ = 3
altro esempio:
v₃ = (1; 0; 2) v₂ = (-1; 0; 1, 2) N = (1; 5; 3)
? è combinazione lineare di v₃, v₂?
a₁ v₃ + a₂ v₂ = v? => a₁, (1; 0; 2) + a₂, (-1; 0; 1, 2) = (1; 5; 3)
Imposto il sistema:
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