Determinanti
Teorema di Laplace
A = ( a11 a12 ..... a1m a21 a22 ...... a2m i ai1 ai2 . . . aim am1 am2 ...... amm )
C = complemento algebrico
Se i+j sia pari segno +
Se i+j è dispari segno -
Scelgo la riga i-esima e dico che:
detA = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + ... + aim Cim
Per capire date che, così è quasi incomprensibile facciamo degli esempi:
A = ( 1 -1 2 3 1 -1 -2 0 1 ) => detA = -2 ( 1 -2 ) + ( 1 +3 ) = +2 +4 = 6
Scelgo la riga o la colonna con più zeri possibili
A = ( 2 -1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 3 1 0 0 2 -1 ) => detA = 2 | -1 0 0 0 3 1 0 2 -1 | + 1 | -1 0 0 0 3 1 0 2 -1 | == (2)(-1) | 3 1 2 -1 | + [ -1 ] | 3 1 2 -1 | = (2)(-1)(-3-2) + (-3-2)(2)(5) +5 = 15
N.B. se la matrice ha 0 una riga o una colonna nulla il determinante è nullo
Se la matrice ha 2 righe o 2 colonne uguali o proporzionali (quindi il doppio o il triplo...) il determinante è nullo
Es:
A = ( 1 0 0 0 0 0 1 1 1 ) => detA = 0
A = ( 1 1 1 1 1 1 0 0 2 ) => detA = 0
A = ( 1 3 1 0 0 1 1 3 1 ) => detA = 0
Se una riga o una colonna della matrice è combinazione lineare di altre 2 righe/colonne determinante nullo.
Determinante
Teorema di Laplace
C = complemento algebrico
Se i + i3 è pari segno (+)
Se i + i3 è dispari segno (-)
Scelgo la riga i-esima e dico che:
detA = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + ... + aim Cim
Per capire dato che, così è quasi incomprensibile facciamo degli esempi:
A =( 1 -1 2 3 1 -1 -2 0 1 )=> detA = -2 (1 -2) + (1 + 3) = +2 + 4 = 6
Scelgo la riga o la colonna con più zeri possibili
A =( 2 -1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 3 1 0 0 2 -1 )=> detA = 2 ( -1 0 0 0 3 1 0 2 -1 ) + 1 ( -1 0 0 0 3 1 0 2 -1 ) == (2)(-1) ( 3 1 2 -1 ) + (-1) ( 3 1 2 -1 ) = (2)(-1) (-3-2) + (-3-2)(2)(5) + 5 = 15
N.B. se la matrice ha o una riga o una colonna nulla il determinante è nullo
Se la matrice ha 2 righe o 2 colonne uguali o proporzionali (quindi il doppio o il triplo...) il determinante è nullo
Es:
A = ( 1 0 0 0 0 0 1 1 1 ) => detA = 0
A = ( 1 1 1 1 1 1 0 0 2 ) => detA = 0
A = ( 1 3 1 0 0 1 1 3 1 ) => detA = 0
Se una riga o una colonna della matrice è combinazione lineare di altre 2 righe/colonne determinante nullo
Combinazioni lineari generatori - basi
V in R {v1, v2, ... , vm} base di V
- {v1, v2, ... , vm} devono essere linearmente indipendenti
- V deve essere generato dai vettori {v1, v2, ... , vm}
Facciamo degli esempi: in R2
1. v1 = (1; 1) v2 = (-1; 1)
Dato che sono linearmente indipendenti
Ora vediamo se v1, v2 generano R2, attraverso la definizione:
Scelto un qualunque v = (x; y) = a1(1,1) + a2(-1;1)
Devo vedere se esiste un unico coefficiente a1, a2 tale da verificare l'uguaglianza indipendentemente dalla scelta di (x,y):
Imposto il sistema:
a1 - a2 = x
a1 + a2 = y
a1 = (x + y) / 2
a2 = (-x + y) / 2
Scegliendo v, a1, a2 sono univocamente determinati
N.B. Non c'è l'unicità libera
Es: (1;3) => a1 = 2 a2 = 1
Quindi vuole dire che il vettore v(1;3), lo posso scrivere in maniera univoca con i coefficienti a1 = 2 a2 = 1 e basta!
Combinazione lineare e generatori
Consideriamo uno spazio vettoriale V su un corpo K, consideriamo di avere v1, v2, ... , vm vettori di V:
V -> K v1, v2, ... , vm è V
Cosa vuol dire che v è V è combinazione lineare di v1, v2, ..., vm?
Vuol dire che esistono degli scalari tali che moltiplicando a1 v1 + a2 v2 + ... + am vm ci dà come risultato il vettore v:
v = a1v1 + a2v2 + ... + amvm
Esempio:
2(1;1) - 3(0;2) = (2,-4)
Altro esempio:
v1 = (1;0) v2 = (0;-1) v = (2;3)
Mi chiedo: v è combinazione lineare di v1, v2? riesco a trovar
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