Appunti Modelli statistici per l'impresa - parte 3

INFINITE COMBINAZIONI (INFINITI MODELLI EQUIVALENTI), BISOGNA FISSARE O

1

Xβ

SPECIFICARE UN MODELLO SENZA L’INTERCETTA IN . OLTRE A UNA DI QUESTE DUE

ε

RESTRIZIONI, NE VA AGGIUNTA UN’ALTRA SULLA VARIANZA DI , IN MODO DA NON AVERE

UN ULTERIORE PARAMETRO DA STIMARE. IN PARTICOLARE NEL CASO DELL’ORDERED

2

π

Var (ε) = 1 Var (ε) =

PROBIT —> ; LOGIT —> .

NEL CASO DELL’ORDERED 3

β

TENENDO CONTO QUINDI DI QUESTE RESTRIZIONI SI PUO’ STIMARE E LE SOGLIE

α , α , α , α , . . .

1 2 3 4

- Ricorso alle probabilità cumulate. |

P(Y ≤ j x)

In questo caso invece si può fare riferimento alla probabilità cumulata ed

X

esprimerla come funzione delle esplicative . —> INVECE DI LAVORARE SULLE SINGOLE

| | |

P(Y = 1 X ); P(Y = 2 X ); P(Y = 3 X ); ecc . . .

PROBABILITA’ ( ), SI LAVORA CON LA

PROBABILITA' CUMULATA

| | | |

P(Y ≤ j X ) = P(Y = 1 X ) + P(Y = 2 X ) + ⋯ + P(Y = j X )P(Y ≤ j ∣ X ) = P(Y = 1 ∣ X ) + P(Y = 2 ∣ X ) + ⋯ + P(Y = j ∣ X )

|

P(Y ≤ 1 X ) → Prob . lieve;

|

P(Y ≤ 2 X ) → Prob . lieveom oderata;

ESEMPIO: |

P(Y ≤ 3 X ) → ( perdef inizione)

Tale funzione deve assumere valori compresi tra 0 e 1 essendo una probabilità e la funzione di

ripartizione che può rappresentare in modo adatto lo scopo è la seguente —>

|

P(Y ≤ j x) = F(α + xβ ) .

j

F

Nel caso in cui per si scelga la FUNZIONE DI RIPARTIZIONE LOGISTICA, si ha il così detto

( )

|

P(Y ≤ j X )

log = α − Xβ β

CUMULATIVE LOGIT MODEL —> , dove è costante per

j

|

P(Y > j X )

tutte le categorie(IPOTESI DEGLI ODDS PROPORZIONALI); nel caso invece si adotti la

CUMULATIVE PROBIT MODEL

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE PROBIT, si avrà il (cioè quando

la F coincide con una funzione di ripartizione Normale standard cioè con media o e varianza 1).

Valutazione degli e etti netti - interpretazione dei parametri: Pagina 57 di 70

ff ff fi

I parametri NON si interpretano come nelle regressioni lineari, infatti, si ha

|

∂P(Y = j X ) [ ]

= β f (α − Xβ ) − f (α − Xβ ) f F

( è la densità cioè la derivata di ). La

k j−1 j

∂x

k J

somma delle probabilità di tutte le categorie è pari a 1.

β

Il segno degli stimatori dà indicazioni sulla direzione degli e etti solo per le due probabilità

| |

P(Y = 0 x) P(Y = J x) β > 0

e

estreme —> se si ha un signi ca che si preferiscono le

categorie superiori, al contrario invece categorie inferiori; per quanto riguarda invece le

β

categorie intermedie, è di cile l’interpretazione, in quanto oltre al segno di , bisogna anche

f (α − Xβ ) − f (α − Xβ )

tener conto della di erenza .

j−1 j

Bontà di adattamento:

Una volta stimato un modello ordered, rimane da VALUTARE LA BONTA’ DI ADATTAMENTO.

Si possono usare diversi strumenti, come CALCOLARE LA PERCENTUALE DELLE PREDIZIONI

Y

CORRETTE —> sia nel complesso che per ciascuna modalità di —> per ogni unità, il valore

y

stimato per l’osservazione corrisponde alla modalità con più elevata probabilità stimata (Per

i

ogni osservazione, si assegna la categoria con probabilità più alta (es. se

P(Y = 2) > P(Y = 1) > P(Y = 3) Y = 2

e , predici )), poi si confronta con il valore reale e

calcola la % di match.

Si ricorda che ci è il solito problema che se una categoria è molto presente si perde l'utilità del

modello, quindi si ricorre al calcolo delle percentuali separate (SENSIBILITA’ e SPECIFICITA’).

Per eventuali problemi di speci cazione, l’eteroschedasticità nella componente di errore del

modello a variabile latente modi ca la forma delle probabilità di risposta e ne comporta la

malspeci cazione.

Nel caso di problemi legati all’ETEROSCHEDASTICITA’, cioè se il modello presenta varianza

ε

degli errori non costante, e quindi le stime sono distorte (l’eteroschedasticità nella

componente dell’errore, nel modello a variabile latente modi ca la forma delle probabilità di

risposta e ne comporta malspeci cazione), se è possibile speci care la struttura

dell’eteroschedasticità, si procede a esplicitarla nel modello, ad esempio mediante la funzione

2

(ε) = exp(X γ) γ, β, α γ

Var , in modo da derivare le stime di e poter e ettuare test su (se

1

γ ≠ 0 c’è eteroschedasticità).

Per selezionare il modello più a dabile si può ricorrere agli indici AIC e BIC (si ricorda che più

bassi sono questi valori meglio è).

PARALLEL REGRESSION ASSUMPTION (nel modello logit è detta PROPORTIONAL ODDS

ASSUNTION):

Si ricorda che gli ODDS sono le probabilità relative/rapporti di probabilità.

Un’IPOTESI IMPLICITA nel MODELLO ORDERED è la proporzionalità degli ODDS, nel caso

essa non valesse, il modello sarebbe sbagliato X

Ciò che a erma l’assunzione è che UNA GENERICA ESPLICATIVA HA LO STESSO

h

EFFETTO SUGLI ODDS CUMULATIVI INDIPENDENTEMENTE DALLA MODALITA’ J

CONSIDERATA. β j

—> IL VETTORE NON VARIA AL VARIARE DI .

Gra camente si ha che le curve di probabilità cumulata risultano tra loro parallele.

INTERVAL CODED DATA:

Un caso particolare di ORDERED PROBIT si ha nel caso in cui le risposte siano quantitative e

raggruppate in intervalli di valori. —> i dativeli sono continui (ESEMPIO: reddito), ma sono

osservati in intervalli (ESEMPIO: 20.000-30.000)

Y*

In questo caso la variabile latente ha un signi cato quantitativo preciso e non è più un’entità

astratta. |

E(Y* X ) = Xβ

L’obiettivo in questo caso sarebbe stimare .

Per come sono stati codi cati i dati ciò che si osserva è se una variabile ricade all’interno di

uno dei diversi intervalli possibili (ESEMPIO: se il reddito ricade nell’intervallo 20k-30k o in

quello 40k-50k). Y*

In questo modello si ha che è la variabile latente ossia il vero valore (continuo

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fi fi ff ff fi ffi fi ffi fi fi fi fi ff fi fi ff

α a

NELL’ESEMPIO: reddito); le soglie che sono note e quindi sono sostituiti dalla notazione ,

j j

2

|

a Y* X ∼ N(Xβ, σ )

quindi sono le soglie note e l’IPOTESI DISTRIBUTIVA —> dove

j

2 |

σ = Var (Y* x) si assume indipendente da x.

2

β σ

Ora bisogna stimare e , mentre le soglie sono note.

β Y* X

Vantaggio: i si interpretano come in una regressione lineare (ESEMPIO: se è il reddito e

β = 0,1

è l’istruzione e si può dedurre che un anno in più di istruzione aumenta il reddito di 0,1

k

unità).

SCHEMA RIASSUNTIVO:

Ordered Response Models (Modelli per Risposta Ordinata)

Cos'è: Modelli per variabili categoriche ordinate (es.: "sfavorevole", "neutrale", "favorevole").

Y*

Fondamento: Si basa su una variabile latente continua (es.: "propensione a concordare")

Y α

legata alle categorie osservate tramite parametri soglia :

j

1 Y* ≤ α

se 1

2 α < Y* ≤ α

se 1 2

Y = ⋮

J Y* > α

se J−1

ESEMPIO: Sondaggi con scale Likert.

Sottocasi: ε ∼ N(0,1)

Ordered Probit: Assume 2

ε π /3

Ordered Logit: Assume con varianza

Cumulative Models (Modelli Cumulativi)

Relazione con gli Ordered Response Models:

Sono una speci cazione equivalente degli Ordered Response Models.

Non sono un modello separato, ma un modo alternativo (e matematicamente identico) di

formulare gli stessi modelli. Y*

Approccio: Invece di lavorare con , si modellano direttamente le probabilità cumulate:

P(Y ≤ j ∣ X ) = F(α − Xβ ) F

dove è la funzione di ripartizione (es.: logistica per il

j

Cumulative Logit, normale per il Cumulative Probit).

Vantaggio: Interpretazione diretta degli odds ratio (es.: nel Cumulative Logit):

( )

P(Y ≤ j ∣ X )

log = α + Xβ

j

P(Y > j ∣ X )

Interval Coded Data (Dati Raggruppati in Intervalli)

Relazione con gli altri modelli:

È un caso particolare dell'Ordered Probit (quindi rientra negli Ordered Response Models).

Contesto: Si applica quando i dati osservati sono intervalli di valori continui (es.: reddito in

classi "10k-20k", "20k-30k").

Speci cità: Y*

La variabile latente ha un signi cato quantitativo (es.: reddito e ettivo).

α

Le soglie sono note (sono i limiti degli intervalli ssati a priori).

j 2

E(Y* ∣ X ) = Xβ σ

Si stima la media e la varianza

Y* = [0,10k), [10k,20k) α

reddito

ESEMPIO: Se , e gli intervalli sono , etc., le soglie sono

j

10.000, 20.000, etc.

- MULTINOMIAL MODELS:

QUANDO NON ESISTE UN ORDINAMENTO NATURALE DELLE ALTERNATIVE TRA CUI

SCEGLIERE, LA CODIFICA DI QUESTE E’ DEL TUTTO ARBITRARIA E DLI STRUMENTI DI

ANALISI VISTO FINORA NON SONO ADEGUATI.

Y J J

si suppone che la variabile risposta possa assumere diverse determinazioni, con intero e

Y

positivo. Le varie determinazioni di non sono ordinabili, cioè non hanno una “gerarchia”.

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fi fi fi fi ff i j

L’obiettivo è spiegare la probabilità che l'unità statistica scelga la categoria in funzione di

regressori. π = P(Y = j ) i j

Si indica con la probabilità che la risposta dell’ -esima unità cada nella -esima

ij i

categoria. J

∑ π = 1

La somma di tutte le probabilità deve essere 1 —> .

ij

j=1

J − 1

Basta stimare probabilità, ciò perchè l’ultima probabilità è derivata per di erenza

π = 1 − π − π

( ).

i3 i1 i2 i y

Per ciascuna delle unità , una e solo una delle variabili indicatrici può assumere valore

i

unitario mentre le altre hanno valore 0.

ESEMPIO:

y = 1 i 0

se l'unità è "Sfavorevole", altrimenti .

i1

y = 1 i 0

se l'unità è "Neutrale", altrimenti .

i2

y = 1 i 0

se l'unità è "Favorevole",