Appunti Meccanica razionale - Seconda parte

DINAMICA SISTEMI

PUNTO RNAMICI

E

DEL Naturalis

Philosophiae Principia

Mathematica (1687)

Sar

Esistono

2 Inerziali ai

detti rispetto Quali

,

Punto

UN sufficientemente

Materiale da ogni

contavo

Si RetinNeo

Moto

Altro Corpo di

Muove FORME

UN ,

E

② In Sistema

Un ma

inerziale =

③ B

A

Siano a forza

pri una

materiali esercita

se

e ↑ , >

A

B F

Su

F Allora Esercita

B Forza

Su una -

,

INERCIALE S

OSS

. E si nuove moto retuno

di

UNIFORME Rispetto E

P a

L >

. Was o

=

o

↓

29 -

d ac(0) 0

=

ww(P

2

- + 0))

as(P) 0)

P + (0)

(P)

+ -

-

as(p) +

=

(P) (P)

= S

Accet Vista

accel

relativa = da

. .

ALLORA S E INERZIALE

Anche vedono

I Sistemi RIFERIMENTO Ce

DUE Di Stesse

Accelerazioni P

e Dunque se si nuove Reti unifi

Moto

di

E

rispetto A Si Anche

moto

nove rispetto

di rett. uniforme

,

S

A [

VICEVERSA S

se supponiamo e inertiali deve

allora

, ,

as(P)

ESSERE ac(P) 0

= =

P

↓ ogni

Lontano Necessariamente

Compo

Altro Quindi

da e

Ess 2 0

=

=

1 DUE SDR Si M R UNIFORME All'EURO

NUOVONO R RispeTO

. . .

Spr

Dato Tu t i

Un

Rughe Inerziale e Soli Sar que

: ,

S Rispeto

Retilineo

Di Uniforme

Muovono Moto Esso

a

Sono

e ai

Sono tuti

inerziali Equivalenti dela

fini

leggi

pesCUZIONE Delle MECCANICA

della

PRINCIPIO RELATIVITË GALLIANO

D

NESSUNA FISICA SE

PERMETE

ESPERIENZA STABILRE

Di

Fermi

Samo o rettilineo

stamo

ci Moto

si

muclendo

UNIFORME

8) E ma legge generale

una

e

=

Bisogna Le

prima Forte

Conoscere Pr

2

Foru Di

-G MM

= Foru

/

Pr

,

Newton ha dato fondamentale

un

INDIVIDUANDO L'NieRAZIONE

CONTRIBUTO

Gravitazionale

OSS

-- S

E

E UNO

INERZIALE

CONSIDERO SDR

Un INERZ

NON

P

& S

M &

In Was +O

-

O ac(0) + 0

. &

a

(P) ac(P)

as(p) (P)

+

+ +

= E

P M

supponso che si ru Rispetto a

nuova ru . .

as(p) 0

= &co(P)

as(P) (P)

-

= - +

-maco(P)-man(p)

mas(P) =

VENGONO FORZE APPARENTI

DETE Corois

Fc Vs(P)

2m wi

-

= mir(P-0) 0))

mi(w(P- maco)

Fr TRASCINAMENTO

-

- -

=

E ma struttura matematica ER

SISTEMA DIFF

Di

F( ,

mi(t) .

,E, t) O

DEL II ORDINE

=

↑i En (X1

(t) Xn

mx x2 x2 x3 t)

= x3

, ,

, ,

, ,

S E(x

milt) t)

%s

= 2 ,

, , ...,

mŠs(t) F3(xn t)

x2 X3

= , ....,

,

&

*

3(t) t

= t)

Es(Xn x2 3 ....,

, ,

Per rismemo

Risolvere Conviene

Sistema

Questo

COME PRIMO ORDINE

GERVAZIONI DEU

UN SISTEMA R.

INTRODULO COME INCOGNITA Jy(t)

↑ Ya(t) Xz(z)

* (t)

(t) (2(t) =

= = V

* FX

,X, t) V

(t) F(X = =

= ,

infiX

U) t)

= v sistema

S Dinamico

i

,

X = Nincognite

Di N

SIST Diff In

DINAMICI Equaz

SONO

SIST

I . .

.

. ma"

F

"Caso Meccanico =

X(t) Vn(t)

= Vi(t)

X 2(t)

I = V3(t)

X(t) = inF (X(t)

& (t) E)

Xz(t)

(t) Xg Velty Ve(t) Volt)

= , ,

, , ,

,

(t) in Ve(t)

(t) ti

(X(t) Vs(t)

Va(t)

Xa(t)

= F2 Xg ,

, ,

,

,

,

(is(t) i Fg(Xn(t) Ve(t) Vs(t) t)

Ve(t)

Xy(t)

= Xz(t) ,

,

, ,

, ,

Le Funzioni Sono Variabili

dette Dinamiche

incognite

Variabili STATO

O Di

"CASO GENERALE"

in(t) fr (Me(t) t)

S Mu(t)

= , ,

...,

i :

fr (M(t)

in El

(t) Mult)

= ..., ,

, (

()

= =

(t) f(u(t) t)

= ,

F • Caso G

N

Il generale Con

Caso ma il

= =

IL i

VETTORE Vettore STATO

di

= =

· NEL Caso Meccanico

Vn

Vz

VI

f(x V

12 t)

Verone = CAMPO VETTOMALE

↓ E(X

, , v

, = F

Net ma

Caso =

in (X

F t)

v

, ,

mE(X t)

v

, ,

TEOREMA CAUCHY

Di regolaritˆ

ipotesi

Sotto opportune di Vettoriale

campo

del

>

8 lo

dato stato

E

come funzione Di del

di Il e

, , to

di

SISTEMA A Istante

CERTO

UN tempo O

12

Mi Malto Mi(to)

Melto) Un

= =

= ... Mn(t)

(M (t) Malt

Esiste Un Unica SOLUZIONE + ....,

,

Sistema

Del Un

In TEMPO

Dinamico INTERNAllo Di

to /Nella Parte

A dei

INTOMO intervallo

casi

Maggior Ta l e

Y

Retta IR

TUTTA

E la NelTON

Sistema

NEL pi

Meccanico

Se Certo

Un Conosco

A tempo

istante di

↓ l'ea

EX

* Cre newton

So di ha

allora .

,

Soluzione Local

Una

Il

V (sono

Problema Condizioni

le

Cauchy

Di Note

Iniziali) THM Mi

SISTEMA

NEL

CALATO QUESTO

MECCANICO ,

Che la Meccanica

D E Deterministica

ce NewtoMana :

Del Istante

Certo

Lo Sistema A Un DETERMINA

Stato E

Stato passato

Lo Nel Futuro

Nel

Nel presente ,

•

Pi Posiz

Lo di dalla Sua

un Dato

stato

E Velocitˆ Rappresentano

palla e Queste

sua

L'INFORMAZIONE

Tu t t a FISIC NECESSATA Sufficiente

e

DINAMIG

PER DETERMINARNE LA

La é

LEGGE Di dal por

consistente fisico

NEWTON

PERCHE Forte

E MATEMATICO Da

Le ridendono

POSIZIONE Velocitˆ dipendessero

Se

E anche

: UN

a ll'accelerazione SISTEMA

& NON STEBBE DINAMICO

S

Sarebbe

E un'equazione

Non Matematicamente

POSTA

BEN . GEOMETRICA

MesTAZIONE

INTE : Mu(h))

Il Sist

UNA

SOLUTONE M del Dinamica

= .

ParaMETRIZZATA TEMPOZ

DAL

IRN

CE Punto DESCUVENDO

Si

Ri che

Un Te m p o

Nel

Muove ,

CURVAl

UNA Ch

Derivata E traiettonit

La Alla

Ta n g e n t e

Vettore

un

IN M(t)

Quindi f(u(t)

is(t) t)

= ,

L'ASSEGNAZIONE

POSSO COME PER

Vederla ISTANTE

,

TRAIETTONA

ISTANTE Alla

Della Ta n g e n t e

, M(E)

QUINDI

DETERMINO La PER

CHE PASSA

CURVA

Mo 8.

al

Ed tangente Vettorale

e campo

NEL Meccanico Significa

caso Questo Ce

: LE

L

TRAIETTOME Spazio

SISTEMA Saranno

DEL NELO

Ta n g e n t i

Sempre Vettoriale

Campo

Al Ez)

(Ve Fa

Va Va F

, , ,

, ,

NOTA PUNTO

Le traiettorie Del SONO

MATERIALE NON

: FORZA

Alle di

UneE

Ta n g e n ti 13

le Ta n g e n t i

Sono

forza

di

UNEE in

curve

PUNTO C'•

PUNTO

Per A NESSUNA

Fe Non

Ragione SEGURLE

Per cui PUNTO DEBBA

In

TRAIETTORIE

Le PUNTO SPAZIO

DEL NELLO (V

IRS) F)

(WAVE

FASI Ta n g e n t i

Sono

DELLE A

IN ,

é

Se Campo TEMPO

DAL

DIPENDE

IL Non DETTO

,

l'equazione é

Autonomo pel Sistema Dinamico

e

i(t) f(u(t))

=

AL "NON

CONTRARIO AUTONOMO"

VIENE DETTO

, Unicitˆ

ThM Cauchy > soluzione la

data

-

CONDIZIONE INIZIALE

↓ Due CURVE

AUTONOMO

Caso

NEL Soluzioni

A

COMISPONDENTI Diverse

Due

MaiIntersecarsi

Possono

Non

(Se Si mo VOREBBE DIRECHE

Intersecassero in

PARTENDA Punto

Stesso

Dallo Possiamo

Te n e r e

↑

DIVERSE

UE SOLUZIONI

& .

VICEVERSA SE AUTONOMO Soluzione

NON Curve

Due

, , O

Possono Perche POTREBBE

M

Intersecarsi

,

COMSPONDERE TEMPI

IN DUE

DATO

AL INIZIALE

DIFFERENTI SOLUZIONE SOLO

E DAL

La NON DIPENDE

dall'istante

PUNTO da

Partenza di

Di anche

,

PARTENZA ,

EQUILIBRI DINAMICO

SISTEMA

UN AUTONOMO

SISTEMA

CONSIDERO DINAMICO

f(u(t))

in(t) =

Me

Un punto Spazio Stazionario

Si

fasi

delle dice

dello

Di ERVILIBRIO Il Vettorate

Si Campo

SE Annulla in

O PUNTO

TACE fr

felu (u 0

0

= =

...

All'istante

Se Iniziale Scegliamo

we

u(to) Sistema

> RESTA

I

= - Di

PUNTO

NEL

FERMO

EQUILIBRIO

A SOLUZIONE SISTEMA

DEL

é

DINAMICO Costante

n(t) Vte

Me

SOLUZIONE =

EQUIUBRIO

Di Problema

L'unica

E Soluzione

DU

THM CAUCHY

IL del

X DATO

CON INIZIALE 12

OSS D

CMSPONDENTI

Le TRALETTORE SOLUZIONI

A EQUILIBRIO

: Punti

Sono dei é

NEL EQUILIBRIO

LA COND

CASO MECCANICO DU

,

0

Vz

V Vz

=