Appunti lezioni di Statistica

TEOREMA DELLE PROBABILITÀ COMPOSTE

Il teorema delle probabilità composte deriva dal teorema delle probabilità condizionate, per cui

P(A B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

∩

15.11.2018

VARIABILE CAUSUALE

È una funzione definita su Ω che associa ad ogni elemento di Ω un numero reale.

∶ (Ω) →

VARIABILE CAUSUALE DI BERNOULLI

Dato Ω, dobbiamo suddividerlo in due sottoinsiemi che siano tra loro incompatibili:

1. S =

S̅

∩ ∅

2. S = Ω

S̅

∪

3. P(S) = π ; P(S̅

) = 1 – π con questo metodo otteniamo φ(S) = 1 ; φ(S) = 0

Otteniamo 1−

(1

() = − )

Dove x = 0;1

MEDIA E VARIANZA

1=0 0 1−0 1 1−1

∑ (1 (1

() = ∗ () = 0 ∗ − ) + 1 ∗ ∗ − ) =

2

() = − = (1 − ) 20

VARIABILE CAUSUALE UNIFORME DISCRETA

Ω = {w ; w ; …; w }

1 2 n

1

)

P(w =

i n

1

P(x) = n

MEDIA E VARIANZA 1 1 1 (+1) +1

=1 =1 =1

∑ ∑ ∑

() = ∗ () = ∗ = = ∗ =

2 2

2 2

(+1)(2+1) (+1) −1

() = − =

6 4 12

x E

1 S

2 ; S

S̅

3 ; ; S

S̅ S̅

4 ; ; ; S

S̅ S̅ S̅

… …

VARIABILE CAUSUALE GEOMETRICA (ha un’infinità di valori)

1. S =

S̅

∩ ∅

2. S = Ω

S̅

∪

3. P(S) = π ; P(S̅

) = 1 – π

Indichiamo con x quante volte bisogna ripetere l’esperimento per osservare il successo per la prima volta. In

questo caso le prove si fermeranno appena ottenuto il successo, quindi:

−1

(1

() = − ) −

NORMALIZZAZIONE:

∞

∑ (1

() = 1 → lim 1 − − ) = 1

=1 ℎ→∞

MEDIA E VARIANZA

1

() =

1−

() = 2

20.11.2018

VARIABILE CAUSUALE BINOMIALE

Supponendo di avere n oggetti, si vuole determinare il numero di modo per i quali si possono disporre gli oggetti,

in modo tale che ogni disposizione sia diversa solo per l’ordine degli oggetti.

n! dove n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*1

Bisogna considerare

- n come il numero delle prove (non si devono influenzare tra loro)

- x come il numero di successi sulle n prove

!

( )= (

! − )!

ESEMPIO

n = 3 x = 0 ; 1 ; 2 ; 3

x E x p(x)

0 Le costanti

S̅ S̅ S̅

∩ ∩

S

1 coincidono al

S̅ S̅

∩ ∩

S numero dei

S̅ S̅

∩ ∩ −

(1

( ) ∗ ∗ − )

S modi con i

S̅ S̅

∩ ∩

S S

2 quali si possono

S̅

∩ ∩

S S distribuire gli n

S̅

∩ ∩

S S eventi negli x

S̅ ∩ ∩

S S S

3 modi

∩ ∩

MEDIA E VARIANZA

() = ∗ (1

() = ∗ ∗ − ) 21

VARIABILE DI POISSON

È una generalizzazione della variabile binomiale poiché dimostra che essa in determinate condizioni coincide

con la variabile di Poisson. È calcolabile solo su numeri grandi.

Considerando che n * π = λ

Otteniamo −

∗

() = !

MEDIA E VARIANZA

() = () =

NORMALIZZAZIONE:

∞

∑ () = 1

=0

∞ − − ∞ −

∑ ∑

= = ∗ = 1

=0 =0

! ! 21.11.2018

VARIABILI CONTINUE

Tutte quelle il cui supporto è contenuto e coincide con l’asse dei reali: Ω ≤ ℝ

La legge associa alla variabile una funzione che deve rispettare due requisiti:

1. () ≥ 0

2. () = 1

∫

Ω

Tale f(x) prende il nome di densità della probabilità.

Un’altra caratteristica importante riguardante la probabilità è che:

1. Se abbiamo P(x ≥ a) = ()

∫

2. Se abbiamo a < b allora P(a ≤ x ≤ b) = ()

∫

Ovviamente P(a ≤ x ≤ b) = P(a < x ≤ b) = P(a ≤ x < b) = P(a < x < b)

Questa legge quindi dice che a valori puntuali, la probabilità assegnata è nulla:

P(x = a) = () = 0

∫

All’evento impossibile assegniamo probabilità nulla; ma se la probabilità è nulla non vuol dire che

l’evento sia impossibile.

La densità di probabilità ha questo significato:

Prendendo un qualsiasi valore x0 e allora un suo intorno: I(x ; ε) vuol dire:

0

x -ε x x +ε

0 0 0

allora: ( − ≤ ≤ + )

0 0

)

( =

0 2

→0

Può succedere che:

f(a) > f(b) f(a) < f(b) f(a) = f(b)

Esistono diverse tipologie di variabili continue:

VARIABILI CASUALE UNIFORME CONTINUA

Per ogni elemento del supporto, tali densità assume sempre lo stesso valore.

1

() = ≤ ≤

−

MEDIA E VARIANZA

2 2 2 (−)(−) (−)

1 1 −

() = ∗ () = ∗ = ∗ | = = =

∫ ∫

− 2 − 2(−) 2(−) 2

2

(−)

2 2 2

)

() = ( − () () = 12 22

VARIABILE CASUALE ESPONENZIALE NEGATIVA

Abbiamo x ≥ 0 1

−

() = ∗ Θ

Θ

MEDIA E VARIANZA

() = Θ

2

() = Θ

CONDIZIONE DI NORMALIZZAZIONE

0

∞ 1

∞ − − − − −

() = 1 →

1. ∗ = 1 − | = 1 − − 1 + = 1 −

∫

∫ Θ Θ Θ Θ Θ

0

0

0 Θ

−

2. lim () → lim 1 − = 1

∫ Θ

0

→∞ →∞

VARIABILE CASUALE NORMALE 2

(−)

1 − 2

() = ∗ 2σ

∗ √2

Dove -∞ ≤ x ≤ +∞

- π: assume un altro significato dalla precedente ma vale comunque (ovviamente) 3.14

- e: 2.178

- questa curva ha le media, la moda e mediana coincidenti con il punto massimo

(−ℎ−)2 ℎ2

1 1

− − si dimostra che sia con +h che con -h

( + ℎ) = ∗ = ∗

2σ2 2σ2

∗√2 ∗√2

(−ℎ−)2 ℎ2

1 1

− − la curva è simmetrica

( − ℎ) = ∗ = ∗

2σ2 2

2σ

∗√2 ∗√2

1. se σ e σ crescono, questa curva tende ad abbassarsi e ad allargarsi, ingrassando

2

2. se σ e σ diminuiscono, la curva tende ad alzarsi e a stringersi, dimagrendo

2

Per vedere se la concavità è verso l’alto o verso il basso:

(−)2 (−)2 (−)2 (−) (−)

−

− − −

′ ()

= 0 ∗ + − 2( ) = ∗ [− ] = () ∗ [− ]

2σ2 2σ2 2σ2

2 2 2

2 σ σ

(−)

Essendo f’(x) e due modalità che per definizione devono essere ≥ 0, allora dipende tutto dal segno del

[− ]

2

σ

numeratore:

1. x > μ -> f’(x) > 0 <- -(x + μ) -> curva decrescente

2. x < μ -> f’(x) < 0 <- +(x + μ) -> curva crescente

3. x = μ -> f’(x) = 0 <- se x = μ -> derivata I nulla 22.11.2018

Considerando la derivata seconda:

(−) (−) 1

′′ ()

= () ∗ [− ] [− ] + () [− ] =

2 2 2

σ σ σ

2

(−) 1

= () ∗ [ ] − () + =

4 2

σ

2

(−)

1

= () ∗ ∗[ ]−1=

2 2

σ 2

(−)

1

= () ∗ ∗[ − 1]

2 2

σ

2 2

(−) (−)

1. se > 0 -> 2 2

(

− 1 > 1 = − ) > = ±( − ) >

2 2

σ σ

2 2

(−) (−)

2. se < 0 -> 2 2

(

− 1 < 1 = − ) < = ±( − ) <

2 2

σ σ

±( − ) < → +( − ) < = < +

−( − ) < = < −

STANDARDIZZAZIONE DELLA VARIABILE X

Abbiamo una variabile X ~ N(μ ; σ) con P(a < x < b)

(−)2

1 −

() = ∗

2σ2

∫

∗√2

Una variabile x, di definisce standardizzata se ogni volta che si prende una variabile e si toglie la sua media,

essa avrà E(x) = 0 e V(x) = 1 23

−

= → ∗ = ∗ → ∗ +

=

−

L’estremo inferiore si ottiene trasformando

= → =

−

L’estremo superiore si ottiene trasformando

= → =

Quindi riprendendo l’integrale 2

(−)2 2

( )

+−

1 1 1

− − −

∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ → ( < < )

2σ2 2σ2

∫ &int