Appunti in preparazione al secondo parziale di Ricerca operativa

MATEMATICOMODELOidentificareVAriABiL controllabiligraudetze: vettorin-dimensionali ammissibileevincoli ' Xdi ammissibilisdefiniscono regioneisiemeo : ObiETIVO solztonevalutalioneFUNTONE dicritero delaO :globde QYEXxOltimo SCX 8=*: 1) C4)otimo EYEX=wae SCXXx coueso. SC4)+) :Ix+-yl/=eSowiioni ammissibili IMPOSSIBILEProblemanon . .exiuuotob puosolutione modello avere-t0: on solvtoleLos atimasola1Lisillimitato sauzioni ottimeFunzione limitata problema Pleinon Los ottimeG soluzione soluzioneEssere wuoto nosDo lo: - illimitatosessere Ottimasolvzno .classificazione modeuidei CNLPPROGRAMMAZIONE UNEARENON )fexrestrizioneNessuna so . ottimoottimo geobale ( diminimos é loceleun sempre :prob. . (1-PROGRAMMALLONE CONUESSA CCP Sottoinsieme NLPdella XyA4+0-7+4) 11FXYEXeFIECOXCONNesso ZeAXPOUTOYy-1oz-1 +.1,I EXFCXFCXX- no 8EFXECO,13convessa si +CI-X)4) C4)1+1-x)TXYEXbinarie WNON sovariabilile esserenon possono[ ???éottimo ottimolocall sempre globaleuun .d diivale problemi

L'ottimo è un problema di programmazione lineare (LP) in cui si cerca di minimizzare una funzione lineare definita su un insieme di variabili lineari vincolate da un insieme di equazioni e disuguaglianze. Il modello generale è min {c^T x | Ax ≤ b, x ≥ 0}, dove c è il vettore dei coefficienti della funzione obiettivo, A è la matrice dei coefficienti delle equazioni e disuguaglianze, b è il vettore dei termini noti delle equazioni e disuguaglianze. Il problema è limitato se ha una soluzione non vuota e ha la proprietà della proporzionalità: il contributo di ogni variabile al valore della funzione obiettivo è proporzionale al suo valore. Inoltre, il problema ha la proprietà dell'additività: i valori delle variabili possono assumere anche valori frazionari.

Un problema di programmazione lineare intera (ILP) è un LP in cui le variabili sono vincolate a essere intere. Le soluzioni ammissibili per un ILP sono quindi solo quelle che soddisfano questa restrizione. Un problema di programmazione mista (MILP) è un LP in cui alcune variabili sono vincolate ad essere intere e altre variabili possono assumere valori frazionari.

Un esempio di problema di programmazione lineare intera è il problema dello zaino (Knapsack problem), in cui si cerca di prendere un insieme di oggetti (5) in modo da massimizzare la somma dei loro valori soggetti a una capacità massima (880).

zainocapacità dell'odenaE i-zaini diinmassimavincolo presenteXiJA J.sempreva messo -oggettis zaino^ prodattiedi oguitainic in pro essereno- zainoDinpill categoriese vincolotipologia ilimpougo seguentecaricata una sola :, iXINsXixt nM.1. :tstth-1....oggettipossibileé nelloaggingere superiore-se amprezzotainooggettivincoloiliguorando pougoai massimi zaino Kiperc i lvariabilevincolo Aggiungo la yi: diarticali aggiuntiviYi-numeron oguiExissKi zainodove iperi+yi mn+.. .J gi intere30=lVARANTI PROBLEMA capacitó- Modifica vincololata .Utilizzare bensiprofitto massimizzare minimizzarecosto- do voleudode cheununNon ,capacità Bolmenooccupatavengo una .8.Modifica :o b i e t vo capacitàminima occupatasModifica vincow. neuo zainodivisiinoggetti coteforie almassim- voglio prenderegi sono emultiple-choice:I cotegoriaognioggetto per .vincoloAggiunta massimoa oggettouns: ogui categoriaperÀ oggetti- massimo oguidi categoriapernumeroBounded: variabiliModifica

:vincoloAggionta numero massimo ai: oggetti categonaper- Sum ( ilcoincide sprofitto oneunoguiSubset oggetto pesona con 0oSSP): sostituiscopongo Ps-Wse écaratterizzatovincoli ilognidue- da VunJ volumeoggettocon 330edicapacità Vvolumeknapsack na unaAggiunta vincolo:Az :LMKP sonoMUHTIPIO ei capacitam eknapsack wina)PRObIeMO- c -esimo,Ci+1....m)Modifica variabili: auivariabile fissata dipendedaobiettivofmodifica . loggetto. . variabile fissataDeve dauladipenderemodificavincolo O divincolo ogni tainopeso- pervincolo dimassima presenta oggetto(Xi5)Jdefinitodel packing accoppiamentoniteresso mBin i-Problema -miBINBIN aiusiemetunBINa 2 3 di contenitori cyisAIATIo o0 o0 33a aa Differenze conknapsack: Quaudo vengonointrodatte variabilisiadevoXis che yilegarie iorotra .douvero porre questewaggiuntanas cacontenitoresperogui oggettivincolo degeidei pesisomma eccedeve a cpacitánon deve seilcontenitoreë selezionato ,esattamentepresenteoggetto Js vottaunaVARIANTT

PROBLEMA(Packing oguidimensionil- volumeC sonovector epeso oggettoKVPP): ...),wI dimensione toguina associato un pervalore K=l.... .KOgni capacità W dimensione+bin oguina una tper .=l....Modifica dimensioniaggiunta delievincolo s: - di(set coveringproblema usiemeunmiluteressoSCP) colonne ( X3) C --C Z h- - - --1, - h1 z - - -- -^ io o -- - --2 OO . . r .: i: :: --mQuali coprivecolonuecopire scegliere perletute rigne.Ogni no costouncolonna .(nxm)riga esiste almeno uneoguipers riga écopertltoe achecolonuetutesempre lesoluzione prendo: colonneunac'e milteresse di(del Partitioningset usiemeunProblema SPP)- colonne (X5) Differenza conset coveringCnxm)ogui rigaper esattamenteesiste lacaonnauna checoprapuosi: Non Cche TJassumere n530 ....=1.del mieteressos diPackingset (Problema usiemeunSPKP) colonne (X5) Differenze concoveringset epartitioningsetCnxm)ogui esisterigaper. almassimo Macaconna ohe lacoprace: souzione colonnanessunasempre preudovua nonset covering packingset