Appunti in italiano di Solide State Physics

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di K. A conti fatti il contributo elettronico al calore specifico si manifesta solo a temperature molto



−4

basse, dell'ordine di 10 , che approssimativamente significa qualche decina di mK.

D - 66 -

5. Conduzione termica reticolare

5.1 Fenomenologia e descrizione macroscopica

Un reticolo cristallino è in grado di trasportare energia termica per mezzo delle sue vibrazioni. Il

flusso del calore in un materiale viene descritto a livello macroscopico per mezzo della cosiddetta

legge di Fourier: –

j = K gradT(r)

j è la densità di flusso di calore, vale a dire la quantità di energia che fluisce nell'unità di tempo

attraverso un elemento di superficie unitaria perpendicolare a j. T è la temperatura, che dipende dalla

posizione r, e K è un parametro fenomenologico chiamato conducibilità termica.

Casi estremi o

Diamante 2000 W/m C

−5 o

Gel di silice: 1.7x10 W/m C

A differenza del calore specifico la conducibilità termica dipende notevolmente dal materiale, come

si vede dalla tabella. Nei metalli di solito la conducibilità è maggiore a causa della presenza del gas

di elettroni, che nel caso della conducibilità termica è importante mentre sappiamo che il calore

specifico elettronico prevale su quello reticolare solo a temperature molto basse ed è trascurabile a

temperatura ambiente. Anche se la conducibilità tende ad assumere valori maggiori nei metalli, il

materiale con la conducibilità termica più elevata è un isolante, il diamante.

Nei metalli, come si vede dalla figura, la conducibilità termica dipende debolmente dalla temperatura.

Negli isolanti invece il comportamento è più complesso e le variazioni molto grandi. Il nostro

obiettivo è quello di spiegare questo andamento nel caso degli isolanti in forma cristallina.

Nella figura successiva è possibile osservare il confronto tra un materiale cristallino, il medesimo

materiale con molti difetti indotti da irraggiamento e il materiale in forma amorfa. Questo confronto

ci permette di fare subito un’importante osservazione: K è molto maggiore nei sistemi ordinati e

questo prova che le oscillazioni reticolari giocano sicuramente un ruolo rilevante nel trasporto

dell’energia termica. - 67 -

5.2 Modellizzazione

Nel seguito ci occuperemo della conducibilità termica in cristalli isolanti, nei quali la conduzione

termica è dovuta esclusivamente alle oscillazioni reticolari. Procederemo per gradi introducendo un

modello basato sulle seguenti ipotesi.

A) Si parte descrivendo la propagazione dell'energia vibrazionale come se ci fossero delle particelle,

o meglio dei pacchetti di onde localizzati spazialmente, che si propagano all'interno del cristallo.

Useremo per queste particelle il termine fononi localizzati.

- 68 -

B) Si scrive l'equazione che descrive la propagazione di queste particelle. Nel caso più generale si

deve scrivere l'equazione di Boltzmann, qui ci limiteremo a una sua versione basata

.

sull’approssimazione del tempo di rilassamento Si ipotizza cioè che i fononi localizzati si

propaghino subendo urti con una frequenza 1/. Questo porta a scrivere un'espressione per la

.

conducibilità K in funzione di vari parametri, il più incerto dei quali è proprio

C) Si studiano i possibili meccanismi di diffusione dei fononi localizzati al fine di stimare il valore

, .

di e quindi di Ci interesseremo in modo particolar alla dipendenza dalla temperatura. I

meccanismi possibili sono numerosi: ci sono gli urti con le impurezze del materiale. Poi ci sono quelli

con le superfici del campione. Si tratta di meccanismi molto efficaci, ma non ce ne occuperemo in

dettaglio per parlare invece degli urti tra i fononi, molto più interessanti e istruttivi, il che ci

ad abbandonare l’idea del reticolo armonico sulla quale abbiamo basato lo studio delle

costringerà

oscillazioni reticolari.

Procediamo quindi secondo questo schema considerando in dettaglio i tre passaggi precedenti.

5.3 Pacchetti localizzati di fononi

Per modellizzare la conduzione termica possiamo suddividere il cristallo nel quale è presente un

gradiente di temperatura in tante piccole regioni. Ciascuna di queste regioni, che individueremo per

mezzo di una coordinata x nel caso unidimensionale di cui ci occuperemo per primo, deve avere le

seguenti caratteristiche:

1) Essere abbastanza piccola rispetto alle dimensioni del corpo in modo tale che al suo interno

la temperatura possa essere considerata costante e sia quindi possibile assegnare la

temperatura T in funzione dalla posizione: T = T(x).

2) Essere abbastanza grande in modo da contenere un numero elevato di atomi e quindi

rendere possibile l’utilizzo degli strumenti della fisica statistica, a partire dalla stessa

possibilità di definire la temperatura locale.

Cosa questo possa significare in pratica si comprende in base alle considerazioni che seguono. Si

faccia riferimento alla figura che mostra una catena lineare di atomi.

T alta T bassa

l << L

q

Il trasporto del calore in un solido isolante è dovuto alle oscillazioni reticolari, cioè a onde che si

propagano trasportando energia. In un solido infinito, e in condizioni di equilibrio, per ogni onda con

vettore d’onda ce n’è una con vettore d’onda –q

q e quindi non si ha trasporto netto di energia.

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Per avere un flusso netto di calore si deve avere un gradiente di temperatura e questo vuol dire che il

sistema deve trovarsi in una situazione di non equilibrio. Avendo a che fare con un sistema

l’utilizzo di onde piane

caratterizzato da disomogeneità spaziali è facile comprendere che

completamente delocalizzate per modellizzare i fenomeni fisici non costituisce la scelta più

appropriata.

Per formulare un modello del fenomeno è preferibile poter attribuire il trasporto a oggetti

valore del vettore d’onda

spazialmente localizzati ma comunque caratterizzati da un preciso q.

Vogliamo insomma operare con oggetti che posseggano i requisiti delle particelle classiche, per le

quali è sempre possibile assegnare la posizione e la quantità di moto. Sappiamo che è possibile

costruire oggetti con queste caratteristiche sovrapponendo onde diverse il cui vettore q risulti

q.

compreso entro un certo intervallo Nel caso della conduzione reticolare costruiremo pacchetti

localizzati di onde reticolari e li chiameremo fononi localizzati.

Vediamo cosa significa e quali vincoli comporta costruire un pacchetto con un valore definito di q,

Come noto un pacchetto d'onda ha un’indeterminazione

ragionando in una dimensione. sia nella

posizione x che nel valore di q, e le due sono legate dalla nota relazione:



ΔqΔx 2π q

Dire che il valore di q deve essere "ben definito" significa che l'ampiezza del pacchetto deve essere

piccola rispetto al valore centrale di q del pacchetto. Immaginiamo di voler costruire dei fononi

localizzati con un valore di q dell’ordine del vettore d’onda di Debye, ovvero vettori che stanno in

/a,

prossimità del bordo della prima zona di Brillouin. In 1D il valore massimo di q è pari a essendo

a il passo reticolare. Tradotta in formula la condizione diventa:

π



Δq a

Sostituendo questa disuguaglianza nella relazione di indeterminazione otteniamo:

π

2π

= 

Δq Δx a

Da cui la condizione: Δx >> 2a

In altre parole, i fononi localizzati per poter essere considerati con buona approssimazione delle

particelle classiche con una posizione e un momento assegnati devono estendersi su diversi passi

/a



vogliamo un’indeterminazione Δq 1%

reticolari. Se, ad esempio, per pacchetti nei quali q =

significa che questi devono estendersi su 200 passi reticolari, cioè qualcosa come 50 nm.

di dimensioni dell’ordine dei centimetri,

Se si considera un corpo macroscopico in base ai

ragionamenti fatti prima consideriamo delle regioni abbastanza piccole entro le quali T possa

m

considerarsi costante. Se assumiamo regioni larghe 10 la condizione 1) è certamente soddisfatta.

Se, come abbiamo ipotizzato, i fononi si estendono per 50 nm anche la condizione 2) risulta

soddisfatta. - 70 -

Nello studio dei calori specifici si è visto che l’intero reticolo può essere modellizzato come un

insieme di N oscillatori distinti, ciascuno caratterizzato da un particolare valore di q e, tramite le

.

relazioni di dispersione, da un preciso valore della frequenza di oscillazione I pacchetti che stiamo

considerando sono caratterizzati da un valore di q definito con accuratezza sufficiente, e questo perché

q

imponiamo la condizione che << q. Questo ci consente di trattare ciascuno di questi pacchetti



come un oscillatore armonico a una frequenza ben definita e quindi possiamo utilizzare lo stesso

con l’unica avvertenza che a ciascun oscillatore dell’insieme non risulta associata un’onda

approccio

completamente delocalizzata ma un pacchetto spazialmente localizzato.

5.4 L'equazione del trasporto scrivere l’equazione di

I fononi localizzati sopra definiti sono le particelle per le quali si deve

propagazione. La cosa più semplice che si può fare è di utilizzare lo stesso metodo utilizzato per

calcolare la conducibilità termica elettronica nel modello di Drude, unica differenza è che in quel

caso le particelle sono gli elettroni. Gli ingredienti fondamentali di questo modello sono quelli della

cosiddetta relaxation time approximation:  

- I fononi localizzati subiscono processi di diffusione ogni secondi; è il tempo di

rilassamento che si assume essere indipendente dalla posizione e dalla velocità delle particelle.

Tra un urto è l’altro i fononi si propagano liberamente, come le molecole di un gas.

urti sono il meccanismo fisico tramite il quale si mantiene l’equilibrio termico locale.

- Gli

Questo significa che la distribuzione energetica dei fononi uscenti dalle collisioni che si

verificano in una particolare posizione è quella di equilibrio e dipende unicamente dalla

che l’energia dei fononi prima degli urti non ha

temperatura locale. Questo vuole anche dire

alcun effetto sulla loro distribuzione energetica dopo gli urti. In virtù di questa ipotesi è

“rilassamento” che dà il nome al

possibile parlare di valore locale della temperatura T(x) e il

modello è quello verso lo stato di equilibrio termico locale.

Immaginiamo che la propagazione dei pacchetti sia unidimensionale lungo un asse x. Possiamo

,

pensare che ciascuno di questi pacchetti localizzati trasport