Appunti Gestione dei Sistemi Energertici m

GESTIONE DEI SISTEMI ENERGETICI

Prof. Giulio Cazzoli

APPUNTI COMPLETI DELLE LEZIONI DI

GESTIONE DEI SISTEMI ENERGETICI

SCRITTO: 3 ore -> 3 domande: 2 esercizi -> l'importante è il risultato1 domanda -> are la teoria meccanica che c'è dietro

SISTEMA: "oggetto" relazionato che si trova in un ambiente e dopo una sollecitazione, reagisce in qualche modo - questo sistema si “sviluppa” nel tempo eentra chiuso in un perimetro

Nel sistema, al suo interno, ci possono essere dei sottosistemi. Le grandezze di cui dobbiamo parlare prima, devono essere MISURABILI (=posso distinguerlequalitativamente e quantitativamente dalle altre grandezze). Le grandezze MISURABILI le posso poi classificare in ATTRIBUIB (=grandez. di cui conoscol'evoluzione nel tempo). Il sistema parla con l'esterno grazie a dei SEGNALI

Alcune grandezze sono in entrata e alcune in uscita, il sistema è quindi ORIENTATO

Lo scopo sarà studiare l'uscita in funzione dei segnali in ingresso.All'uscita abbiamo sempre segnali, ma all'ingresso? (gli ingressi dobbiamoconsiderare nel tempo, ma sono incontrollabili).

Gli ingressi li posso chiamare anche CAUSE (in uscita sono gli EFFETTI)L'uscita può essere determinata esclusivamente dagli INGRESSI emessise vario l'ingresso, istantaneamente è un sistema divario l'uscita/risposta MONOCICLO, maè un SIST. ALGEBRICO, cioè senza memoria DINAMICOaccumula internamente lamemoria

TEORIA dei SISTEMI di CONTROLLO

INPUT OUTPUTSISTEMA MIMO

Multiple In, Multiple OutL → è il sistema più generico, qui tutte le uscite sono influenzate dagli ingressi

Noi studieremo i sistemi SISO. Sappiamo di avere un sistema SISO dove peròl'uscita non è gradita. → bisogna aggiungere un sistema di regolazione(vogliono volute mini misurazio su assicurare)

Uscita nonSISTEMA GRADITAdi OUTPUT REGOLATO

L'errore può essere causato dal sistema (il sistema è lento a rispondere) oppuresegnali in uscita e in ingresso (inganno ↑ o ↓ il disturbo)

dissipatore visco

sistema meccanico

u(t): ingresso forza

nodo

EQ. MASSA 2:

u(t) = m₂ d²y₂ / dt² + c₂(y₂-y₄)

EQ. MASSA 1:

y₂(y₂-y₄) = m₁ / dt² + c₁(y₄-y₁) + c₄(y₄ - 0)

Si trova: m₁ / m₂ = d⁴y₄ / dt⁴ + μ m₄ / m₂ = d³y₁ / dt³ + (m₂c₁ + m₃c₁ + m₂m₂) d²y₄ / dt² = c₂m₄ dy ⁴ / dt + [c²+(c₁+c₂)_c] y₁ = c₂u(t)

Δ è diventato un sistema SSO (1 ingresso e 1 uscita) → infatti ho solo 3 equazioni

u(t)

y₄(t)

Ogni eq differenziale ha x una soluz. che è data dallo sommo dell'integrale generale ed di quello particolare

^∑_i a_i*y_i^'' =   ^m_jb_j*y_j'.

f(t) → la soluzione è y(t) = y₀ (t) + y_p(t)

INTEGRALE GENERALE

INTEGRALE PARTICOLARE

1 aggiunge dalla sollecitazione f(t)

queste integrale è anche chiamato EVOLUZIONE LIBERA --> no dipende dalle condizioni esterne, dipende solo dal sistema, cioè dal suo stato iniziale

1' integ. particolare dipende dalle condiz. iniziale e viene anche chiamato RISPOSTA FORZATA E PERMANENTE → dipende dalla sollecitazione f(t)

Entrambi gli integrali sono importanti

Noi dobbiamo studiare anche 1a stabilità del sistema. La prima cosa che vogliamo dire è che il sist. sia stabile → a sollecitazione limitato corrisponde 1in risposta limitato

Prima noi dobbiamo studiare 1'integrale generale

per risolvere l'integra generale prendi i sin i1eg. aggiungiere e la portiamo quelli a zero → una soluzione è 1 esponenziale

e∑_i a_iy_i(1)→0 = y₁ = C_e (a_it) → la qualita della risposta è data dagli "a" → sono gli autovalori

Que "ai" possono essere dei R --> ma a noi importa la parte Re

ma anche solo una radice "ai" no parte Reale positvo → c'è instabilita → o a noi sono tutti gli "ai" con parte reale regarative

y_G(t) = Σ C_i e^ait

f(t)= x₀ - cos_t → φ_e(t) = x₀

f'(t)= x₀e^-s0t → φ_e(t) = x₀e^st

f(t) = x₀sen(wt) → φ_e(t) = y₀sen(wt + φ)

FUNZIONE SENO: \( \mathcal{L} \{ \sin(\omega t) \} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \)

FUNZIONE COSENO: \( \mathcal{L} \{ \cos(\omega t) \} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \)

Problema del decadimento radioattivo

\(N\) = numero di atomi che decadono nel tempo

\(\frac{d}{dt} = -\lambda N \implies \mathcal{L} \{ \frac{d}{dt} + \lambda \} \mathcal{L} \{0\} = \mathcal{L} \{[0]\} = 0 \)

Supponiamo che \( \mathcal{L} \{ N(t) \} \) estro uguale a \( N(s) \)

\(N(s) = \mathcal{L} \{ N - N_0 \} ( t = 0 ) \) non dipende del tempo

\(N(s) \left[ s + \lambda \right] = \frac{N_0}{s + \lambda} \implies N_0 = \) esattamente

Cosa succede a \( t \to 0 \)? \(\lim_{s \to 0} s \cdot N_0 = 0 \cdot N_0 = 0 \Rightarrow b \to \infty \Rightarrow N(0) = 0 \)

Ora vogliamo studiare l'antitrasformato

\(N(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s + \lambda} \right\} \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda} = \) proprio quella che ci aspettavamo

Equazione di Freedom

→ è un sistema siso

eq: \(\Sigma y(t) = c_1 (u(t) - y(t)) + \mu (u(t) - y(t))\)

\(\mathcal{L}\)

\(c_2 Y(s) = c_1 (U(s) - Y(s)) + \mu \left[ sU(s)-U(0) - (sY(s)-Y(0)) \right]\)

Parliamo \(u(0) = 0 = y(0) = 0\)

Vogliamo vedere come variare il sistema in seguito alla sollecitazione

Si trova \(Y(s) = \frac{c_4 + \mu s}{c_1 + c_2 + \mu s} \cdot U(s) \rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{c_1 + \mu s}{c_1 + c_2 + \mu s}\)

Funzione di trasferimento

\(G(s) = \frac{C_1}{c_2 + c_1 + \frac{1 + G \sigma_1}{1 + \sigma_2 s}}\)

FORME A COSTANTI DI TEMPO

→ \(Y(s) = G(s) \cdot U(s) \) cosa succede se \(U(s) =\) un impulso (\( \delta \) di Dirac)?

PRODOTTO di CONVOLUZIONE

Se \(x(t)\) e \(y(t)\) sono il la convoluzione è data da: \(x(t) \cdot y(t) = \int_{0}^{\infty} x(t)(z - t) d(z)\)

tempo: applicato all'improvviso le seguenti funzioni di trasferimento

F(s) = ^{3s + 1}⁄_{s³ +2} 2 zeri complexi coniug.

3 poli

A₁ ^A₂ A₃

f(t) = A₁ e^-2t + ^{(-1&sfrasl;4)} ċ e^0t + ⁴⁄₂ e^-2t + ⁴⁄₁ e^0t + t⁴⁄₁ e^t + e^-2t

Casa: F(s) = ^s+3⁄_{(s+5)(s²-4s+5)}

radice complex

Il metodo della moltiplicazione incrociata serve x risolvere quei problemi da

le radici sono nobile

F(s) = ^N(s)⁄_D(s) => ^C_i⁄_pj(s)

polifero e diretto e sinx

N(s)D(s) = D(s)⋅ ∑₁^{i C_i}⁄_pi(s)

D(s) = ∏(P_i(s))

N(s) = ∑₁^{i=m b_jsj}

^{C_i⋅∏(s)⁄_j+1 N(s)}

devono essere uguali

il 2 e il coefficente

alcuni non superiori e incognita

altrimenti fin de insieme => a_i = ∑_j=1⊃n&supi; K_ijC_i

K : C = b

=> detego C da :

C = K^-1⋅b

^{K₁₁ ... K_1n C₁ b₁}

^{... ... ...}

^{K_n1 ... K_nn C_n b_n}