Appunti Geotecnica - parte 2

L

I

11 KpJ

↓

Kafl 1

V et G'hp

O'ha

Z

La pendenza con cui si incrementa la spinta attiva è uguale all’incremento delle tensioni verticali totali. I diagrammi di

spinta attiva e passiva sulla parete avranno la stessa pendenza

Abbiamo quindi parlato della determinazione della spinta che il terreno può esercitare su un’opera di sostegno e

abbiamo analizzato la teoria di Rankin per valutare la spinta. Ora vediamo unaltro approccio

Metodo di Coulomb

Questo approccio non entra in merito dello stato tensionale all’interno del terreno, per valutare la spinta si considera

un cuneo di terreno che spinge sull’opera di sostegno. Coulomb prende questo cuneo di terreno (considerato come

un corpo rigido) che esercita una spinta sull’opera di sostegno e non fa considerazioni sullo stato tensionale

all’interno del cuneo di terreno, Abbiamo delle ipotesi:

• la spinta (Sa) è esercitata a 1/3 dell’altezza del muro H, questa è

St una assunzione che facciamo noi immaginando una distribuzione

i triangolare delle σ

i

I CUNEO

I -

Bt • non considero l’acqua in quanto viene eliminata attraverso sistemi

↑

Sa di drenaggio (le u sono nulle). Le opere di sostegno vengono

82 Wa

MURO # N

/

/

N dimensionate non considerando l’acqua che può spingere

L !

Se

H Wm E --

Sa sull’opera, perché l’acqua viene mandata via.

R reazione

terreno 1 • nell’interfaccia muro-terreno decido io il materiale (ho un angolo di

& attrito δ1 che dipende dalle caratteristiche del muro e del terreno

Sa 1). Maggiore è l’angolo d attrito e minore sarà la spinta esercitata

- - -

- - - -

i

T I • l’angolo di attrito δ2 all’interfaccia tra muro e fondazione dipende

N

- -

R 2

terreno

reazione dalle caratteristiche del muro e del terreno 2 di fondazione

i inclinazione

= campagna

piano

L scelto arbitrariamente il

dimensionare cuneo

per verticale

B alla

rispetto

inclinazione del

interno

del paramento

= muro

Sa muno-terreno

angolo interfaccia

altrito

di

=

Sz muno-fondazione

angolo interfaccia

attrito

di

= al

normale

N piano

=

Analizzando le forza in gioco so che se disegno la perpendicolare al paramento interno del muro, la spinta sarà

-

-

inclinata di δ rispetto alla normale al piano. Un’altra forza agente è il peso del muro Wm e del cuneo Wc. Abbiamo

-

anche la reazione del terreno al cuneo che trovo sempre tracciando la normale al piano di scorrimento e rispetto alla

- -

normale la reazione del terreno avrà una componente tangenziale e una normale, la reazione R è inclinata di φ’

-

rispetto alla perpendicolare al piano di scorrimento. Infine alla base del muro abbiamo una reazione del terreno sul

-

muro, inclinata rispetto a δ2, che troverò allo stesso modo (ha componente normale e tangenziale).

Ovviamente se il sistema non è in equilibrio il cuneo scivola lungo questa direzione. Le τ hanno verso opposto al

movimento del cuneo.

Quindi per non far scivolare il cuneo devo applicare attraverso l’opera di sostegno una spinta Sa che sia in grado,

insieme alla forza W del cuneo e la reazione R che il terreno fornisce al cuneo, di mettere il sistema in equilibrio.

Gli sforzi tangenziali saranno diretti in direzione opposta al movimento del cuneo (grazie a ciò so la direzione di R).

Cerchiamo quindi di mettere il cuneo in equilibrio, determinando il valore di Sa che lo mette in equilibrio. Una volta

determinata Sa andiamo a dimensionare il cuneo tale che la componente orizzontale Sa sia minore della componente

orizzontale delle forze che il muro può applicare (τm). Inoltre i momenti stabilizzanti devono essere maggiori dei

momenti ribaltanti

Proviamo a determinare Sa, con delle ipotesi

=?

Sa Se

Hp a arbitrario

B i 0

+ u 0

0

0 =

=

= =

;

; ; ; H

+ Piano campagna orizzontale

i 0

=

-7

- W CUNEO

↓ IR

-

I XX

sa En N

>

- &

Esverticale - Se

N

Sa perché 0

= =

B 0

=

Paramento interno verticale

Faccio un equilibrio alla traslazione per valutare Sa

EUHtga ?

)

che (peso

so areo

We = A V

.

Poiché non conosco R mi conviene fare un equilibrio delle forze rispetto a una direzione in cui mi si annulla R, ossia

prendo come direzione quella perpendicolare a R

- -

1 Sa SatR

Cos

WCos War = ↓

↓ Angolo tra Sa e la

Angolo tra W e la perpendicolare a R

perpendicolare a R

se

Sa =

Per trovare questi angoli usiamo la stella degli angoli

WE IR Inizio dalla conoscenza della direzione di Sa (orizzontale) e W

R (verticale). Dopodiché so che τ forma un angolo α con la

verticale. Traccio poi la N, ossia la retta perpendicolare a τ

N e (ovviamente se W e τ formano un angolo α anche Sa e n

,

E 4) formeranno un angolo α). La direzione di R ha un angolo φ’

& (

E +

- Sa

Sa rispetto alla normale, quindi traccio R rispetto alla normale.

Id Una volta tracciata R posso tracciare anche la direzione

14

in perpendicolare a R (che formerà sempre un angolo φ’ con τ).

R A questo punto so che l’angolo tra Sa e la perpendicolare a R

sarà pari a π/2-(α+φ’)

N

R

↓ T W

- 4

QUINDI 2+

+

R =

= y)

saIr ( +

-

Posso riscrivere l’equazione

.

EUHtga

Sa = cos[ y)] y)

saIr sen(a

(2

↳ +

+

cos =

= -

.

EUH2 Egh

Sa =

Ho trovato l’espressione di Sa, ossia la spinta che il cuneo esercita sul muro. La spinta dipende dall’angolo d’attrito e

da α, che scelgo arbitrariamente. Devo quindi valutare come varia Sa in funzione di α. Diagrammo α in funzione di

Sa Fissato φ’ se vado man mano ad aumentare i valori di α e vado a

Sa X diagrammare i corrispondenti valori di Sa, ottengo valori che all’inizio

San ---- crescono e poi decrescono. Ottengo valori di Sa che si incrementano

*

! fino a raggiungere un valore massimo per poi ridursi. Per

*

* dimensionare la mia opera si sostengo devo prendere il valore di Sa

* * massima (massimo valore di Sa che il terreno può applicare all’opera

di sostegno). Ma come valuto Sa max?

I X L

& 1) Punto di max/min con tangenza orizzontale

impongo

Sa

MAX

2 4

= Sa deminuisce

> 4 #O Mi assicuro che sia un punto di max e non di min

Queste sono le condizioni di una funzione per ottenere un massimo

Facendo questa operazione viene fuori un valore di α* tale che Sa valutato in α* sia un Sa max.

Se inserisco α* nella formula di Sa ottengo:

He

=

Sa *

Questo è l’unico caso (date le condizioni iniziali) in cui la soluzione di Coulomb coincide con quella di Rankin

Vediamo adesso il caso in cui l’angolo di attrito all’interfaccia è >0

=?

Sa So

Hp a arbitrario

B i

+ u 0

0

0 =

= =

;

; ; ;

Se ragioniamo sullo spostamento che il cuneo può avere nel caso in cui il

+T

↑ muro non fornisca la spinta per metterlo in equilibrio, il cuneo va giù e

X

↑ andando giù subisce degli sforzi tangenziali in direzione opposta al

= -

movimento

-

↑ -

x

↑ ↑

Sav spinta

della

verticale

componente La spinta Sa avrà una componente orizzontale Sah e una verticale Sav

perché in questo caso abbiamo δ>0 e quindi Sa non sarà

IR

i perpendicolare al piano. Analogamente rispetto alla perpendicolare

N devo inserire una forza normale e una di taglio che mi daranno la

e risultante R inclinata di φ’.

Faccio l’equilibrio alla traslazione rispetto alla retta R (contributo di R nullo)

- -

Sa W

SatR

COS COS WIR

= Cerco questi angoli tramite la stella degli angoli. Sulla verticale metto Wa, sull’orizzontale non

T Sa posso più mettere Sa (perché sarà inclinata di δ rispetto all’ orizzontale) e ci metto H.

4 Conosco poi la direzione di T (ha un angolo α rispetto alla verticale). La normale la trovo

12

It sapendo che se l’angolo tra W e T è pari ad α, anche l’angolo tra N e H sarà pari a α (perché

Spi N N è la normale di T e H la normale di W). Poi so che rispetto a N, R si trova a un angolo φ’.

↓ R

R Trovo così quindi la perpendicolare a R che formerà un angolo φ’ con N.

Wa

F = H

= -

NR y' TIR

= =

A questo punto riesco a trovare gli angoli

- S)

= ( y +

Satr +

-

- E y)

w R (

+ +

= - y)]

S1] Wcos(

Sacos[E-( ( E UH2tg

y =

+

+ + che

Quindi W

so

- =

Ehtgh

Sa = 2.

EUH Ka

Sa Ka funzione di una serie di parametri, devo specificare l’approccio che uso (Rankin o Coulomb)

=

Quindi avrò la prima parte di Sa legata a W e la seconda parte che è funzione degli altri parametri (a seconda delle

condizioni iniziali). Se impongo β diverso da 0, la spinta Sa che agisce rispetto a un piano perpendicolare è inclinata di δ

e se β è diverso da 0 Sa avrà un’inclinazione data da δ e β e otterrò una funzione ancora più complicata. Se modifico la

I avrò W che dipenderà anche da i. Quindi vanno fatte diverse considerazioni a seconda dei parametri.

Sa Se analizzo il poligono delle forze posso disegnare il vettore W. Rispetto alla direzione orizzontale

la spinta Sa è inclinata di δ. Inoltre rispetto alla direzione orizzontale ho un φ’ e un α e trovo R. Se

sasodo

in chiudo il poligono delle forze ottengo W R e Sa.

- Si nota che la presenza dell’angolo di attrito >0 allinterfaccia muro terreno produce una riduzione

della spinta sul muro, é una cosa benefica.

La presenza di δ>0 riduce la spinta Sa (positivo per l’opera di sostegno). La presenza di δ<0 aumenta la spinta Sa

rispetto alla condizione δ=0 (negativo).

A questo punto, una volta valutata Sa, siamo in grado di progettare e dimensionare il muro di sostegno. Dobbiamo

progettare e verificare un’opera dal punto di vista geotecnico, valutiamo le dimensioni del muro per far sì che siano

verificate le condizioni di sicurezza rispetto alla rottura di tipo geotecnico

82

,

I Abbia