Appunti Geometria analitica

R R R).

A = (x , y ) e B = (x , y ) definiamo la distanza tra due punti come:

a a b b p 2 2

− −

d(A, B) = (x x ) + (y y )

b a b a

Possiamo anche definire un punto medio, equidistante da A e B, calcolando la media delle coordi-

nate dei due punti:

x + x y + y

a b a b

M (A, B) = ,

2 2

Si definisce asse della retta l’insieme dei punti equidistanti da A e B, ovvero la retta che interseca

il segmento AB nel suo punto medio.

1.2 Le rette nel piano

Una retta è un insieme di punti allineati che soddisfano un’equazione algebrica in x e y. Abbiamo

visto che nel piano ogni punto ha due coordinate (x, y). Una retta, scritta in forma implicita è

definita come l’insieme dei punti (x, y) che soddisfano l’equazione lineare

ax + by + c = 0

dove a, b, c sono coefficienti reali (a e b non devono essere nulli contemporaneamente). Due equazioni

di questo tipo individuano la stessa retta se e solo se la seconda corrisponde alla prima moltiplicata

per uno scalare reale non nullo λ: ′ ′ ′ ′ ′ ′

⇔

ax + by + c = a x + b y + c (a , b , c ) = λ(a, b, c)

La retta può essere scritta anche in forma esplicita come:

y = mx + q

dove m è detto coefficiente angolare e indica l’inclinazione della retta (e corrisponde alla tangente

dell’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse positive) mentre q è detto ”intercetta” e indica

il punto d’intersezione tra la retta e l’asse delle y.

Un altro modo per scrivere una retta r è la forma parametrica. Una volta individuato un

generico punto P = (x , y ) appartenente a r e la sua direzione, individuata da un certo vettore

0 0

v = (a, b), possiamo scrivere l’equazione della retta in forma scomposta sui due assi:

(

x = x + ta

0

r = y = y + tb

0

∈

con t La retta è quindi descritta come l’insieme di punti ottenuti al variare di t nell’insieme

R.

dei numeri reali. Vedremo che questa forma risulta particolarmente comoda quando studiamo

R

le rette nello spazio. 1

1.3 Posizioni delle rette nel piano

Rette parallele: considerando i tre modi elencati sopra per scrivere le rette, diciamo che sono

parallele se:

In forma implicita: ∥ ⇔ · ·

a x + b y + c = 0 a x + b y + c = 0 a b = a b

1 1 1 2 2 2 1 2 2 1

In forma esplicita: ∥ ⇔

y = m x + q y = m x + q m = m

1 1 1 2 2 2 1 2

In forma parametrica: (

( ′

x = x + ta

x = x + ta 0

0 ′ ′

′ ⇔ ∈

∥ (a , b ) = λ(a, b) λ

r =

r = R

′

y = y + tb

y = y + tb 0

0

Nella forma parametrica le due rette sono parallele se lo sono i loro vettori direzionali v = (a, b) e

′ ′ ′

v = (a , b ), cioè se questi sono linearmente dipendenti.

Rette perpendicolari: scriviamo le condizioni di perpendicolarità di due rette servendoci delle

tre forme di scrittura:

In forma implicita: ⊥ ⇔ · ·

a x + b y + c = 0 a x + b y + c = 0 a a + b b = 0

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2

In forma esplicita: ⊥ ⇔ · −1

y = m x + q y = m x + q m m =

1 1 1 2 2 2 1 2

In forma parametrica:

( ( ′

x = x + ta x = x + ta

0 0

′ ′ ′

⊥ ⇔ · ·

r = r = a a + b b = 0

′

y = y + tb y = y + tb

0 0

Nella forma parametrica vediamo che due rette sono perpendicolari quando lo sono i loro vettori

′ ′ ′

direzionali v = (a, b) e v = (a , b ), ovvero quando il loro prodotto scalare è uguale a zero.

1.4 Come passare da una forma all’altra

Il passaggio dalla forma esplicita alla forma implicita (e viceversa) è relativamente semplice, poiché

basta spostare tutti gli elementi a sinistra dell’uguale:

→ −mx − ↔ −m −q

y = mx + q + y q = 0 ax + by + c = 0 dove a = e c =

Il passaggio da forma implicita a parametrica invece è più complesso. Consideriamo la generica

retta in forma implicita e la sua scrittura in forma parametrica

x x α

0

ax + by + c = 0 = + t

y y β

0

Non conosciamo il vettore direttore v = (α, β), ma conosciamo il vettore normale u della retta

n

dato dai coefficienti a e b delle incognite, che è per definizione ortogonale al vettore direttore v

della retta stessa. Avremo quindi: (

−b

−b α =

α

a α → · → → →

u = v = u v = 0 aα + bβ = 0 =

n n

b β β a β = a

2

1.5 Calcoli con le rette

Dato un certo punto P = (x , y ) e un coefficiente angolare m possiamo calcolare l’equazione della

0 0

retta: → −mx −mx → −mx ↔ −y

y = mx+q q = y = y y = mx+y y = m(x−x )

0 0 0 0 0 0

Conoscendo soltanto due punti P = (x , y ) e Q = (x , y ) possiamo calcolare il coefficiente della

0 0 1 1

retta passante per entrambi i punti come rapporto tra la variazione delle y e quella delle x e usare

le formule sopra per scrivere l’equazione della retta cercata:

−

y y

1 0 → − − ↔ − −

m = y y = m(x x ) y y = m(x x )

1 1 0 0

−

x x

1 0

Infine possiamo definire la distanza tra un punto A = (x , y ) e la retta r. Se questa è scritta in

a a

forma esplicita dobbiamo innanzitutto portarla in forma implicita:

→ −mx −

y = mx + q + y q = 0

E poi applicare la formula scritta di seguito per trovare la distanza:

| − −

|ax mx + y q|

+ by + c| a a

a a

√ =

d(A, r) = p

2 2 2 2

a + b (−m) + 1

2 Lo spazio

2.1 Equazioni della retta nello spazio

Nello spazio tridimensionale, in un dato sistema di riferimento, possiamo scrivere la retta in diversi

modi. Consideriamo un punto P = (x , y , z ) e un vettore v = (a, b, c) non nullo. Possiamo

0 0 0 0

scrivere l’equazione della retta in forma parametrica vettoriale come

∈

p = p + tv t R

0

dove p è il vettore posizione di un qualsiasi punto sulla retta, mentre p è il vettore posizione

0

del punto P . Scomponendo questa equazione sui tre assi otteniamo le equazioni parametriche

0

scalari della retta: 

x = x + ta

0



 ∈

t

y = y + tb R

0



z = z + tc

 0

Al variare del parametro t in il punto (x, y, z) si muove lungo una linea che descrive la retta.

R,

Se le componenti del vettore sono tutte diverse da zero possiamo eliminare il parametro t e ottenere

le equazioni cartesiane della retta. Scrivendo

− − −

x x y y z z

0 0 0

= t = t = t

a b c

otteniamo − − −

x x y y z z

0 0 0

= =

a b c

Nello spazio possiamo scrivere l’equazione della retta passante per due punti P = (x , y , z ) e

0 0 0 0

P = (x , y , z ) individuando il vettore direzionale

1 1 1 1 − − −

v = (x x , y y , z z )

1 0 1 0 1 0

e utilizzandone le componenti nella formula vista sopra al posto di (a, b, c):

 −

x = x + t(x x )

0 1 0



 ∈

− t

y = y + t(y y ) R

0 1 0

 −

z = z + t(z z )

 0 1 0

3

2.2 Posizioni delle rette nello spazio

Date due rette   ′

x = x + ta x = x + ta

0 0

 

 

′ ′ ∈

r = r = t

y = y + tb y = y + tb R

0 0 ′

 

z = z + tc z = z + tc

 

0 0

′

∥ ̸

queste sono parallele (r r ) se esiste un numero λ = 0 tale che

′ ′ ′

(a , b , c ) = λ(a, b, c)

′

⊥

Sono perpendicolari (r r ), ma non necessariamente incidenti, se i loro vettori direzionali sono

ortogonali, ovvero se ′ ′ ′ ′ ′ ′

·

(a, b, c) (a , b , c ) = aa + bb + cc = 0

2.3 Equazione del piano

Nello spazio un piano π può essere individuato da un punto e un vettore ortogonale al piano stesso,

da tre punti dello spazio oppure da due rette incidenti. Vediamo il primo caso. Consideriamo un

punto P = (x , y , z ) e un vettore n = (a, b, c) non nullo; vogliamo determinare l’equazione del

0 0 0 0

piano passante per P e ortogonale a n. Sia P = (x, y, z) un generico punto appartenente al piano

0

e sia u il vettore che congiunge P e P . Abbiamo:

0

− − − → · − − −

u = (x x , y y , z z ) n = (a, b, c) n u = a(x x ) + b(y y ) + c(z z ) = 0

0 0 0 0 0 0

da cui otteniamo l’equazione del piano

ax + by + cz = d dove d = ax + by + cz

0 0 0

Alcune osservazioni:

- Se d = 0 il piano π passa per l’origine (0, 0, 0).

- Se uno dei coefficienti a, b, c è nullo, il piano è parallelo all’asse corrispondente. Ad esempio

se c = 0 il piano è parallelo all’asse z.

- Se due coefficienti sono nulli il piano è parallelo ad uno dei piani coordinati. Ad esempio se

a = b = 0 il piano π è parallelo al piano x, y.

Determiniamo ora l’equazione del piano passante per tre punti P = (x , y , z ), P = (x , y , z )

0 0 0 0 1 1 1 1

e P = (x , y , z ). Cerchiamo di ricostruire le condizioni viste sopra. Siano v e w i vettori che

2 2 2 2

congiungono P con P e P , rispettivamente, cosı̀ definiti:

0 1 2

− − − − − −

v = (x x , y y , z z ) w = (x x , y y , z z )

1 0 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0

Questi due vettori sono paralleli al piano che stiamo cercando e perciò il loro prodotto vettoriale

sarà ortogonale ad esso. Poniamo ∧

n = v w

Scegliendo poi, per esempio, P , considerando il generico punto P = (x, y, z) visto prima e il vettore

0

u che li congiunge, scriviamo

· − − −

n u = a(x x ) + b(y y ) + c(z z ) = 0

0 0 0

Infine, per trovare l’equazione del piano passante per le rette di equazioni

  ′

x = x + ta x = x + ta

0 0

 

 

′ ′ ∈

r = t

r = y = y + tb y = y + tb R

0 0 ′

 

z = z + tc z = z + tc

 

0 0

′ ′ ′

incidenti in P con v = (a, b, c) e w = (a , b , c ), possiamo scrivere, analogamente a quanto fatto

0

nel caso precedente, l’equazione

· ∧ →

u (v w) = 0 ax + by + cz = d

4

2.4 Posizioni dei piani ′

Anche i piani, come le rette, possono essere paralleli o perpendicolari. Due piani π e π sono

̸

paralleli se lo sono i loro vettori ortogonali, ovvero se esiste λ = 0 tale che

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

→

ax + by + cz = d a x