Appunti Fisica I

CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA

E

L'energia meccanica, indicata con il simbolo , è la somma dell'energia cinetica e

dell'energia potenziale: E=K+U. In presenza di sole forze conservative vale il principio

di conservazione dell'energia, secondo cui l'energia meccanica si conserva.

Definizione e formula dell'energia meccanica

La formula dell'energia meccanica consiste al tempo stesso in una definizione e in

un metodo operativo per calcolarla:

A ben vedere non si tratta tanto di una nuova forma di energia, quanto piuttosto della

semplice somma delle due forme di energia a noi note: quella cinetica K e quella

potenziale U. Di conseguenza l'unità di misura dell'energia meccanica è il joule (J).

Principio di conservazione dell'energia meccanica

Ragioniamo nel modo seguente: abbiamo visto che il lavoro compiuto da

una forza comporta una variazione di energia cinetica del corpo soggetto alla forza, in

accordo con il teorema dell'energia cinetica:

Dalla definizione di energia potenziale sappiamo anche che, per una forza

conservativa, il lavoro è pari alla differenza di energia potenziale cambiata di segno

Dunque, solo se in presenza di forze conservative, possiamo uguagliare i due lavori

Se sviluppiamo i delta, che rappresentano come sempre una variazione della

grandezza che segue, otteniamo

Riordiniamo i termini in modo da avere le due energie iniziali a primo membro e quelle

finali a destra dell'uguale

Abbiamo così scoperto che la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale

allo stato iniziale è uguale alla somma delle medesime energie allo stato finale. È qui

somma dell'energia cinetica e dell'energia

che nasce l'esigenza di definire la

potenziale energia meccanica

come una nuova grandezza, detta per l'appunto , e

alla luce di tale definizione possiamo scrivere la formula:

Ecco quindi enunciato il principio di conservazione dell'energia meccanica, o più

principio di conservazione dell'energia in un

brevemente , il quale stabilisce che:

sistema isolato in cui agiscono solo forze conservative l'energia meccanica si

conserva .

Significato del principio di conservazione dell'energia meccanica

Nell'enunciato appena scritto il termine "conservare" significa semplicemente che

l'energia meccanica resta costante. sistema isolato

Se vi state chiedendo cosa si intende per , si tratta semplicemente di

un sistema in cui i corpi non sono soggetti a forze esterne o, nel caso ci fossero forze

esterne, esse non devono compiere lavoro sul sistema.

Nel principio di conservazione dell'energia è poi specificata la presenza di forze

conservative, in quanto solo per questo tipo di forze è possibile definire un'energia

potenziale e seguire i passaggi svolti per arrivare alla conservazione dell'energia

meccanica.

Esempi sul principio di conservazione dell'energia

Un buon esempio per comprendere il principio di conservazione dell'energia

meccanica è fornito dalle montagne russe. Se trascuriamo le forze di attrito, siamo in

presenza della sola forza peso che muove i vagoncini.

La reazione vincolare dei binari è una forza esterna ed è sempre perpendicolare allo

spostamento, pertanto non compie lavoro.

Di conseguenza l'energia meccanica si conserva.

Supponiamo che nel punto più alto il trenino abbia un'energia cinetica pari a 2000 J (in

cima è piuttosto lento) e un'energia potenziale gravitazionale di 28000 J. In questo

punto l'energia meccanica ammonta a 30000 J.

In qualunque altro punto del percorso le energie cinetica e potenziale cambiano i loro

rispettivi valori, perché cambiano la velocità e l'altezza da terra del trenino, ma la loro

somma (ossia l'energia meccanica) resterà sempre pari a 30000 J.

Succede allora che nel punto più basso l'energia potenziale è scesa ad esempio a 5000

J, perché è diminuita l'altezza, mentre l'energia cinetica è aumentata a 25000 J, perché

è aumentata la velocità. La loro somma però ci restituisce sempre il valore di 30000 J.

L'esempio mette in luce che l'energia cinetica e quella potenziale si trasformano

continuamente l'una nell'altra lasciando inalterata la loro somma.

Esempio sul calcolo dell'energia meccanica

Vediamo un esempio di calcolo ben più operativo. Una signora lascia sbadatamente

cadere un vaso fiori giù dal balcone alto 8 metri rispetto alla strada. Con quale velocità

il vaso arriva a schiantarsi a terra?

Fino a oggi avremmo tentato di rispondere alla domanda facendo uso solo delle leggi

della Cinematica (in questo caso abbiamo un moto in caduta libera). Ora invece

possiamo approcciare il problema da un punto di vista energetico grazie al principio di

conservazione dell'energia meccanica. Ed è proprio da qui che partiamo perché siamo

in presenza della sola forza peso, che è conservativa (trascuriamo infatti l'attrito con

l'aria).

Scriviamo la formula relativa al principio di conservazione dell'energia

Espandiamo l'equazione sostituendo ad ogni forma di energia la relativa formula.

Ricordandoci la formula per l'energia potenziale gravitazionale:

A questo punto, dobbiamo analizzare la situazione iniziale e quella finale. All'inizio il

vaso si trova fermo sul balcone a 8 m di altezza da terra; alla fine il vaso tocca il suolo

con una certa velocità.

È sempre bene verificare se, eventualmente, tra i quattro termini dell'equazione ce ne

siano uno o più che possano essere eliminati. In effetti il vaso parte inizialmente da

fermo e, al momento dello schianto sulla strada, avrà un'altezza nulla . Pertanto il

primo e l'ultimo termine dell'equazione possono essere cancellati.

Possiamo semplificare la massa, dacché compare ad ambo i membri:

e a questo punto ricaviamo la velocità finale.

e abbiamo ricavato il valore della velocità finale, 12,5 m/s, senza usare neanche

mezza formula della Cinematica. :)

Vi assicuriamo che avrete modo di apprezzare in tantissime circostanze, pratiche e

teoriche, l'importanza della conservazione dell'energia meccanica e dell'approccio

basato sul bilancio energetico nella risoluzione degli esercizi. Di contro, nel prossimo

articolo passeremo a considerare i casi in cui l'energia non si conserva.

Moto armonico

Moto armonico semplice

Il moto armonico è un moto di tipo oscillatorio, e quindi periodico, proprio come il moto

circolare uniforme.

In particolare, dal punto di vista cinematico, il moto armonico può essere visto come il

moto della proiezione del punto P, che si muove di moto circolare uniforme sulla

circonferenza, lungo il diametro.

Mentre il punto P ruota attorno alla propria traiettoria curvilinea, la sua proiezione Q

continua ad oscillare tra i due estremi del suo diametro con l'origine centro di

oscillazione.

Proprietà del moto armonico

La massima distanza dal punto fisso del centro si dice ampiezza A del moto, mentre la

velocità della proiezione risulta massima nel centro e nulla agli estremi del diametro

dove il punto inverte il moto. L'accelerazione è massima agli estremi e nulla al centro.

La velocità angolare in un moto armonico si dice anche pulsazione del moto, mentre il

periodo T è l'intervallo di tempo più piccolo dopo il quale il moto assume nuovamente

le stesse proprietà.

Il periodo e la velocità angolare sono legati dalla seguente relazione:

T = 2 · π /ω

Che possiamo scrivere anche come:

ω = 2 · π / T

Introducendo la frequenza f del moto definita come l'inverso del periodo (f = 1 / T)

possiamo riscrivere:

ω = 2 · π · f

In un moto armonico semplice è importante notare che frequenza e periodo sono

indipendenti dall'ampiezza di oscillazione.

Equazione oraria del moto armonico

L'equazione oraria di un moto armonico è:

x(t) = A · cos(ω · t)

in cui A è l’ampiezza del moto e si misura in m; w è la pulsazione o velocità angolare e

si misura in rad/s

Il grafico spazio-tempo di un moto armonico è del tipo:

Al tempo t = 0 il punto si trova all'estremo + A;

per t = π / ω il punto si trova invece all'estremo opposto -A.;

per t = π /(2 · ω) e t = (3 · π) /(2 · ω) il punto passa per la posizione centrale.

Velocità ed accelerazione nel moto armonico

La velocità e l'accelerazione sono dati in funzione del tempo da:

v(t) = - A ·ω · sen(ω · t)

e

a(t) = - A · ω2 · cos(ω · t) = - ω2 · x(t)

Per cui si può dedurre che la velocità è:

-nulla agli estremi di oscillazione +A e -A (punti in cui il moto si inverte)

-massima al centro dell'oscillazione (ovvero per t = π /(2 · ω) , t = (3 · π) /(2 · ω) o in

generale

per t = π/(2 ·ω) + k · π/ ω con k ∈ Z, insieme dei numeri relativi;

-negativa da +A verso -A e positiva da -A verso +A

Il grafico della velocità in funzione del tempo è:

Infine, l'accelerazione risulta:

-nulla nel centro dell’oscillazione

-massima in valore assoluto agli estremi di oscillazione

Il grafico che ne risulta è:

In un moto armonico semplice risulta dunque che l'accelerazione è direttamente

proporzionale allo spostamento ma cambiato di segno.

OSCILLATORE ARMONICO

Con l'espressione oscillatore armonico si intende un qualsiasi modello fisico che viene

descritto dalle leggi del moto armonico: il prototipo di oscillatore armonico è

rappresentato dal moto di un corpo collegato a una molla, libero di oscillare senza

attriti attorno alla posizione di equilibrio.

Cos'è un oscillatore armonico

Quando abbiamo trattato il moto armonico da un punto di vista cinematico, cioè

studiando solamente moto ignorandone le cause, abbiamo visto come esso sia

la proiezione lungo un diametro della traiettoria del moto circolare uniforme di un

punto.

Partendo da ciò che sapevamo sul moto circolare uniforme avevamo ricavato la legge

oraria del moto armonico, che ci dice come cambia la posizione in funzione del tempo.

Il moto è così descritto da una cosinusoide con ampiezza pari ad , pulsazione e

costante di fase .

Ora vogliamo studiare la dinamica di un corpo che si muove di moto armonico, cioè di

quello che viene definito oscillatore armonico, ossia un corpo sul quale agisce una

forza proporzionale allo spostamento e di verso opposto rispetto ad esso.