Appunti ed esercizi fatti in classe di Elettrotecnica

Circuiti dinamici

1) Circuito RC = connessione in serie di un resistore e un condensatore.

Carica condensatore:

EQ. Maglie: i(t) = C * (dv_c(t) / dt), i = (vc - vc) / r = 0

dvc = (1/RC) x(t) = xmin + (xmax - xmin) * e^(t-T)/τ

! vc(0^-) = 0: Vc(t) = K - E * e^-t/τ + E i(t) = [VcH / R]_c

! vc(0⁺) = 0: Vc(t) = [K - vc(0⁺)] * e^-t/T + E

Scarica condensatore:

EQ. Maglie: -i -i -i = 0

vc(t) = vc(0^-) * e^-t/T => VC(t) = K * e^-t/T i(t) = [E - vc(0^-) / R]_c

2) Circuiti RL

— connessione in serie di un resistore e un induttore

Carica:

Eq. nodi:

L di / dt + R i (t) = 0

dV_i(t) / dt = R / L i (t) = 0

Eq. maglie:

R L + di / dt = E

i (t) = k_−τ = τ = costante di tempo

È importante sapere se l'induttore ha energia immagazzinata o no: E (t) = 1/2Li²(t)

1) i (0⁺) = 0

Senza perdita di generalità:

E_{t > 0}(t) = 0

E_{t > 0}(t) = 0

2) i(0⁺) ≠ 0

Senza perdita di generalità:

i_(t) = E_{t > 0}−Ri(t)e^−t/k

Scarica:

Eq. nodi:

u_L(0⁺) = −i_f(t) / Ce^{t / RC}

Eq. maglie:

R L + di / dt = E

Seg. temporale a regime nulla

1) i_0⁻ = t>0 (risposta naturale o libera)

t>0

I circuiti numerici sono caratteristici di un ordine di coincidere con l'ordine delle eq. differenziali che li caratterizzano

1. LR e RL sono di primo ordine
2. Sottraendo l'ordine m e n il numero di operatori con memoria presenti nel circuito.

Elementi in serie

Z = R₁ + jX

Serie tra resistenza e induttore

R + jωL

X = ωL = ωt_L

Serie tra resistenza e condensatore

Z = R - j

|Z| = √(R² +

φ_z = -arc tg

Elementi reattivi

• Induttore: X_L = ωL reattanza induttiva
• Condensatore: X_C = 1 / ωC reattanza capacitiva

X = X_L − X_C

Elementi in //

Y_eq =

Y = G + jB

Parallelo tra resistenza e induttore

Q_l = 1 /

Y =

|Y| = √(G² +

φ_y = arc tg

-π/2 < φ_r < 0

Parallelo tra resistenza e condensatore

G

|Y| = √(G² + ω²C²)

φ_Y = φ_Y - φ₁

Y = G + jB

=> φ_y = φ_g + π

ESERCIZIO

V_B(t) = z cos t   V_B = z

V_B(t) = 4 sin(2t + 90°) = 4 cos 2t

generatori con eccitazioni diverse

Z_t = ^{z(-j t)}/_{z - j t}

V_i = ^z/_{j z + z} = z e^{j 53,13°}

V_i'(t) = z cos(t + 53,13°)

PARTITORE TENSIONE

V_i = -^{4 . z}/_{z - j z}

= -⁸/_√5 e^{-j 116,57°}

si torna nel tempo:

V_i'(t) = ⁸/_√5 cos(2t - 116,57°)

V_i(t) - V₁(t) e V₁'(t) = cos(t + 53,13°) + ⁸/_√5 cos(2t - 116,57°)

2)

P = I_B² R_e [z] = 5² · 5 = 125 W Q = I_B² X = 5² · 5 = 125 VAR z = r_e = (125-j125) VA |I| = A_e = 125∠ 45° VA

3)

Y = 3 // j3 = 3 j3 Y = j -j = 10 W P = ̵ I*V̵ = 300 W r_e = (300 - j300) VA |I| = A_e = 300∠ 45° VA

4)

Valore massimo

R = r_e + jω (L - ͐) R⸝⸝ g R_e = [t] = 1/2 [t] Q = g τ ÷ Q = -22 VAR

Valore efficace

r = (r⸝) - jτ = 100/π - 1 ← Q P̵ = I_B² R_e = -16 3 = 24 (W) Q = I_B² X⸝ + Q = -32 VAR

Quindi:

∑ = ∑ _i=1 ∑_i=1

3)

R₀ = 2Ω

R = 4Ω

R₁₀ = 2Ω + 4Ω

Thevenin

V_th = 160 / m

Z_th = 8Ω ⇒ m = 2

Πα = L_cd^T

4)

R₀ = R₀ + i²

Z = 1 / 4(1/jωC)

Studio in Frequenza del Circuito

In questo caso: H(ω) = 1 / √(1 + (ωRC)²) ...modulo (attenuazione di ampiezza tra ingresso e uscita)

Φ(ω) = arccos Im(H(ω)) / Re(H(ω)) ...fase (sfasamento tra uscita e ingresso)

Spettro

→ Il segnale è formato da somme di sinusoidi (modulo)

Filtro

→ Strumento che elabora un segnale: si esalta la sua componente frequente che è un'elaborazione del contenuto frequenziale del segnale d'ingresso.

E

V_out in L = L I₁ L² jω (2 V₂R₂) = L ω² RL = C R V_C = j C ^Vm_C E_R in C

E_V ^out E_R in L

E_V in L = L I₁ = L LQ I² jQ = E_nx = C V^2_C + E_sc (energia usata)

E_V in L = L I₁ = L LQ I² jQ = E_nx = C V^2_C + E_sc (energia usata) = E = L I₁

_{Se W è un'oscillazione}

E_x = E_L + 1

^{Se vi è un equilibrio L LQ I (jω)} = E_{in 2}L² π ^E_xL₂ E^R = [2π (E_L + E_in)] = j_e + E^R

legame tra coeff di vendita di carico e incentivo e coeff di risonanza.

• RESISTORE E INDUTTORE - in serie Q= ωL _L2R₃
• in parallelo Q = R_p

RESISTORE E CONDENSATORE - in serie Q = 1 / ωC₃R₅

in parallelo Q = R_ωC^P

Per passare da serie a parallelo, si esprimono le equazioni: jωσεR_ωL^P

(P+2ωL₁ = 1/ωL)

Sistemi Trifase

Si opera in forma alternata. L'alternatore è una macchina generatrice meno diffusa. La forma d'onda: sinusoide.

È formata da due cilindri:

• Statore: Cilindro con fuso con una base, ha delle cave con avvolgimenti
• Rotore: Cilindro interno che ruota, ha delle cave con avvolgimenti oppure si dice a poli salienti

Genera campo magnetico costante nel rotore che quindi gira rispetto allo statore dandovi corrente variabile e agisce da legge di Faraday e quindi si crea un avvolgimento di flusso negli avvolgimenti statorici.

3 tensioni sinusoidali - 3 generatori con 3 poli diversi che carichiamo 3 carichi di ampiezza e frequenza eguale.

Terna Simmetrica: Sfasamento 120° tra una fase e l'altra:

• e₁(t) = E_m cos ωt
• e₂(t) = E_m cos (ωt + 120°)
• e₃(t) = E_m cos (ωt + 240°)

È sfasamento minore di 120° da Terna di Inglese:

• E₁ si sfasata di -120° rispetto E₂ e da E₃ di -120° rispetto E₁ => Terna diretta destrorsa oraria
• E₁ si sfasata di -120° rispetto E₂ e da E₃ di -120° rispetto E₁ => Terna indiretta sinistrorsa antioraria

e₁(t) + e₂(t) + e₃(t) = 0 con i fasori Ē₁, Ē₂, Ē₃ = 0

Formula:

Agisco con la terna diretta.

E₁(1 + e^-j120° + e^-j240°) = 0

E₁(1 + - ¹⁄₂ + (- ^&sqrt;3⁄₂)j - j &sqrt;3¹⁄₂) = 0