Appunti e schemi Fluidodinamica

Equazioni integrali per un volume di controllo

Equazione di continuità

→ Il primo termine rappresenta la variazione per unità di tempo della massa di fluido nel volume di controllo.
→ Il secondo termine rappresenta il flusso di massa ovvero la massa di fluido che attraversa la superficie di controllo nell’unità di tempo.

Equazione della quantità di moto

→ B e F sono rispettivamente le risultanti delle forze di volume e di superficie agenti sul volume di controllo.
→ Alle forze F di superficie concorrono in generale sia la pressione sia gli sforzi di taglio ma scegliendo in modo opportuno il volume di controllo può essere semplificato il calcolo.

Supponiamo che la superficie di controllo contenga la sezione di un condotto percorso da flusso, se tale sezione risulta normale al vettore velocità allora a detto termine contribuiranno soltanto gli sforzi normali.

Equazione momento angolare

→ Dove T è il momento risultante delle forze agenti sul volume di controllo.

Equazione dell’energia

→ Dove Q e W rappresentano rispettivamente la potenza termica e la potenza meccanica scambiate fra volume di controllo ed esterno.

Flussi comprimibili

Entalpia totale: è definita come l’entalpia che il fluido raggiungerebbe qualora fosse portato adiabaticamente in quiete.
Temperatura totale: è definita come la temperatura che il fluido raggiungerebbe qualora fosse portato adiabaticamente in quiete.
Pressione totale: è definita come la pressione che il fluido raggiungerebbe qualora fosse portato isentropicamente in quiete.

Lo stato totale rappresenta un utile stato di riferimento per tutte le grandezze tranne la velocità che per definizione in tale stato è nulla. Allo scopo di definire un set di grandezze di riferimento che includa anche la velocità, si introducono le cosiddette grandezze critiche.

→ Le grandezze critiche sono definite come le grandezze nello stato in cui la velocità locale del flusso eguaglia quella locale del suono, ovvero M=1.

Nel caso incomprimibile abbiamo visto come in virtù della conservazione della massa ad una diminuzione di area di passaggio corrispondeva un’accelerazione del flusso e viceversa. Nel caso comprimibile la relazione area-velocità non è così diretta dato che su di essa intervengono le variazioni di densità.

Equazione di Rankine-Hugoniot

→ Mostra come le variazioni di velocità possono risultare discordi o concordi con quelle di area a seconda del valore del numero di Mach.

Flussi in accelerazione (espansione)

• Condotti convergenti se M < 1
• Condotti divergenti se M > 1

Flussi in decelerazione (compressione)

• Condotti divergenti se M < 1
• Condotti convergenti se M > 1

→ Per M = 1, ovvero in corrispondenza delle condizioni soniche, dA=0 e l’area presenta quindi un estremo. La sezione in cui si verificano le condizioni critiche corrisponde ad un minimo dell’area di passaggio (sezione di gola).
→ Per una data area si hanno due possibili soluzioni per il flusso: una subsonica e l'altra supersonica a cui corrisponde la stessa portata.

In un condotto convergente l’area minima corrisponde alla sezione di uscita ed in essa il flusso può al più essere sonico. Per accelerare un flusso da condizioni subsoniche a condizioni supersoniche, ad un tratto convergente (che porta il fluido in condizioni soniche) deve seguire un tratto divergente (che continua l’espansione in supersonico).

Onde in flussi incomprimibili

Consideriamo un emettitore puntiforme di onde acustiche in moto a velocità costante v in un fluido in quiete. I fronti d’onda sono sferici con centro nel punto in cui si trovava l’emettitore all’istante in cui l’onda è stata emessa.

• V=0
• Se l’emettitore è fermo i fronti d’onda sono concentrici.
• Se V < a (caso subsonico), la posizione dell’emettitore si trova sempre all’interno di ciascuno dei fronti delle onde emesse. Le onde si propagano quindi sia a monte che a valle della posizione istantanea dell’emettitore. A monte i fronti d’onda risultano più vicini tra loro rispetto a valle e quindi un osservatore posto a monte percepisce il passaggio di un numero maggiore di fronti d’onda nell’unità di tempo e quindi un suono a maggior frequenza rispetto ad uno a valle (effetto Doppler).
• Se V = a (caso sonico), i fronti d’onda risultano tangenti fra loro in corrispondenza della posizione dell’emettitore. Le onde si propagano solo nel semipiano di valle rispetto alla posizione dell’emettitore.
• Se V > a (caso supersonico), la posizione dell’emettitore risulta sempre esterna ai fronti delle onde emesse. Le onde si propagano solo all’interno di un cono (cono di Mach). La regione interna al cono è detta zona di azione e quella esterna zona di silenzio.

Si capisce quindi come un flusso supersonico risenta della perturbazione prodotta da un’onda acustica solo a valle della corrispondente linea di Mach. Nel caso di un flusso attorno ad un cuneo di semiapertura infinitesima, il flusso cambierà direzione solo dopo aver attraversato la linea di Mach che si diparte dal vertice del cuneo stesso a differenza del caso subsonico dove il cambiamento di direzioni avviene gradualmente ed inizia a monte dell’ostacolo.

Le stesse considerazioni possono essere effettuate se si considera una rampa di inclinazione infinitesima sia che essa devii il flusso verso se stesso o allontanando da se stesso.

→ Il primo caso corrisponde ad una compressione e il secondo ad un’espansione. I processi sin qui considerati sono assimilabili alla propagazione di onde acustiche lungo le corrispondenti linee di Mach e pertanto risultano isentropici.

Nel caso in cui si consideri una rampa di inclinazione finita ma raccordata in modo da deviare gradualmente il flusso la compressione o l’espansione avvengono per attraversamento di una famiglia di linee di Mach ciascuna corrispondente ad una variazione infinitesima della direzione del flusso. Nel caso della compressione le linee di Mach convergono l’una verso l’altra ma non possono intersecarsi, per cui ad una certa distanza dal punto di origine tendono a incurvarsi e a coalescere in un’unica linea inclinata di un certo angolo β rispetto alla direzione del flusso. A tale linea si dà il nome di onda d’urto.

→ Le linee di flusso più vicine alla parete subiranno una deviazione graduale e una altrettanto graduale variazione nei propri parametri attraverso un processo isentropico. Le linee di flusso più lontane dalla parete risulteranno invece interessate dall’onda d’urto e attraverso di essa si realizza una variazione finita delle proprietà del flusso.

In corrispondenza di un’onda d’urto:

• Il numero di Mach diminuisce
• La pressione statica aumenta
• La pressione totale diminuisce
• La temperatura aumenta
• La temperatura totale rimane costante

→ Alla diminuzione di pressione totale si associa un aumento di entropia. L’onda d’urto è un fenomeno non isentropico (dissipativo). Per un determinato numero di Mach, la stessa deflessione può essere realizzata attraverso due diverse inclinazioni dell’onda d’urto a cui corrispondono due diverse intensità.
→ L’urto meno intenso corrisponde all’inclinazione...