Appunti di Teoria delle Strutture - Parte 7 (modellazione piastra di Kirchoff-Love)

Carico 1 al piano medio → modello Reissner

Modello 2D

Spostamenti: μ → spostamento in direzione x

ν → " in direzione y

ω → " in direzione z

Dal punto: ε_z = 0 →

w = w(x,y)

Unica deformazione del piano medio.

Ip. 1)

Le deformazioni lineari in direzione della normale della piastra è trascurabile. Le linee non si dilungano e non si accorcia.

ε_z = 0

2)

Gli spostamenti angolari tra le fibro della piastra e le fibro ortogonale è tale più viene trascurabile. A deformazione assiale le fibro restano normalmente ortogonale al piano deformato.

γ_yz = δxz = 0

3)

Le tensioni normali in direzione dello spessore della piastra è trascurabile.

σ_z = 0

Le costante di integrazione è la quella perché

Punti e m⁰:

u(x,y), v(x,y), w(x,y)

u(x,y,z)=0 => C=0

Misura della nuvola:

modello Casn e

modello Rosina

φ = rotazione attorno all'asse y

perché mi genera una rotazione in x

In base: μ - φ_xz

dove: (x = -w_x

dalla 2^a equazione anca che:

v(x,y,z) = -w_yz + C

v(x,y,z) = -w_yz

Posso definire φ_y= -w_y

rotazione attorno all'asse X che

genera una rotazione attorno all'asse y (positivo di acca)

(M_x, M_y)_x = M_x,_xx w + (H_x,_w)_x = M_x x w_x = (M_x,_w)_x, x = H*_x x M_w

Faccio lo stesso per ogni termine e sommo:

L_vir = -∫_A(M_x,_xx + 2M_xy,_xy + M_yy,_yy) w dA +

∫_S[M_xx + M_xy,_y m_x + (M_xy + H_y g)_y m_y] wdS +

= ∫_S[(M_x,_wx x M_x, w_xy m_xy) m_x + (M_y,_ys + H_y y w_g)] x m_g] ds

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Calcolo i calcoli della lezione precedente... 19/09/2023

Introduco i Tagli trasversali, definiti come:

Q_x = H_x,_x + H_y,_y

Q_y = H_xy,_x + H_y,_y

Per cui il lavoro virtuale interno diventa:

L_vi = -∫_A(M_x,_xx + 2M_xy,_xy + M_yy,_yy) w dA +

∫_S [Q_x m_x + Q_ym g]wdS - ∫∫ [(M_xx,_x + H_xx,xym x + (M_y,_ys + H_y,_g x) m_g] dS

M = (mx mg)

Piano fisico

Considero solo una N_e un riferimento locale n_t, definito dalla variabile m_e della tangente t della area. Si considerato che il raconteato ha, e diretto secondo t,

ASSE X:

(Mx + ΔMx - My)Δx + (My + ΔMxy - Mx)Δy - (Qx + ΔQx)ΔxΔy + (p Δx Δy)₂ = 0

Divido tutti i membri per ΔxΔy.

(ΔMx Δy + ΔMxy Δx - Qx ΔxΔy = 0

(Qy Δx Δy) = 0

Faccio il limite per Δx → 0 e Δy → 0 e ottengo

• Qx = Mx,x + Mxy,y
• Qy = Mxy,x + My,y

Le condizioni al contorno

M_x,xx + 2M_xy,x,y + M_y,yy + q = 0 → EQ. DI EQUILIBRIO in ζ

• LEGAME COSTITUTIVO Morbido Lineare elastico isotropo

ε_xx = (1/E)(σ_xx - νσ_yy) ε_yy = (1/E)(σ_yy - νσ_xx) ε_xy = 1/(2(1+ν)) τ_xy

in forma matriciale si vrifica:

ζ = D ε, D:

(ζ) = (1/(1 - ν²))[1 ν 0][ν 1 0][0 0 2(1+ν)]

ζ = D ε = zD χ

χ:

[χ_xx][χ_yy][τ_xy]

→ vettore curvatura

Determinare il vettore dei momenti:

M = ∫ (h/2)[-h/2] zG(χ)dz = ∫ (h/2)[-h/2] zᐸDᐸ χ dz = Dχ