Appunti di Teoria dei circuiti

Teoria Dei Circuiti

Esempio di circuito:

Un circuito è l'unione di 2 informazioni:

• a legare le componenti che lo costruiscono sono le Relazioni Costitutive

Esempio: Resistore

Convenzione dei Dipoli: la corrente va da + a -

Le righe continue sono CONDUTTORI, fili metallici al cui interno scorrono elettroni.

Immagine scorrere corrente elettrica di intensità - dipendente dal tempo - i(t)

Ciò riguarda l'interrelazione sulla corrente che lo percorre e la tensione, r(t) = differenza di potenziale elettrico

NB: in un conduttore perfetto la differenzadi potenziale è nulla

• Topologia del circuito: regole che determinano le componenti del circuito nelle loro interrelazioni tra loro (sono le CONNESSIONI)

Risolvere un circuito significa risolvere il sistema matematico (che determina il suo andamento nel tempo)

Possiamo, con queste due informazioni, conoscere l'andamento del circuito nel tempo

L'unico tempo è l'unica variabile presente

noi infatti ci occupiamo solo di

• CIRCUITI A COSTANTI CONCENTRATE: non hanno dimensione geometrica (non varia lo spazio)

(se avessero dimensioni geometriche e la variabile sarebberospazio e tempo)

2) Promemoria:

• Tempo - Invarianza

Ipotesi: x₁(t) ➝ y₁(t) Tessì: x₁(t-T) ➝ y₁(t-T)

dove "T" è una traslazione di tempo

Se effettui una traslazione di tempo un inverso avrà un'uscita la cui variazione al tempo t e l'istante dell'entrata

Se il circuito è Permanente allora il circuito "Non invecchia" Ha componenti che si comportano sempre nello stesso modo

3) Passività:

Dire che un componente (o un circuito) è passivo significa che questo componente dissipa esclusivamente energia, senza restituirla.

Ciò si ricollega alla potenza del circuito

p(t) = u(t) · i(t) ⎯⎯⎯⎯⎯> E(t) = ∫_-∞^t p(t) dt ≥ ∅

t₀ = -∞ significa un'istante iniziale molto lontano

Diversamente dalle altre proprietà la passività può ancora non essere verificata in un circuito

Il resistore è generalmente passivo ma esistono anche componenti e circuiti Attivi in cui questa proprietà non si verifica

4) Causalità:

E' una proprietà intuitiva e logica

In un circuito causale l'effetto non può precedere la causa

( Se non c'è un ingresso non posso avere un'uscita )

questa definizione è valida in circuiti lineari

ESMPIO:

Causa: x(t) = ∅ per t ≤ ∅ ⟹ Effetto: y(t) = ∅ per t ≤ ∅

Non avviene anche forse con circuiti non causali poiché questi hanno operazioni di moltiplicazione e di Televiolazione di circuiti ideali

Se un qualsiasi componente ha una coppia di terminali che si comporta da fonte sugl'altri terminali si comporteranno cosí.

5) Generatore Controllato (o dipendente):

La grandezza elettrica da questo impressa dipende da un'altra grandezza del circuito.

es.

u_c(t) = K · i(t)

"K" è il parametro di controllo

esistono 4 tipi di generatori controllati:

1. generatore di tensione controllato in tensione
2. generatore di tensione controllato in corrente
3. generatore di corrente controllato in tensione
4. generatore di corrente controllato in corrente

a)

u_c(t) = K · u(t)

b)

u_c(t) = K · i(t)

c)

I_c(t) = K · u(t)

quindi per la II legge di Kirchhoff:

V_g + V₁ + V₂ = 0 → V_g + v₁ + v₂ = R₁ i + R₂ i = (R₁ + R₂) i

-> ricavo la corrente che scorre nella Maglia: i = V_g/_R1+R2 = 2/5 A

- Questo circuito è un

PARTITORE DI TENSIONE

N.B.: siccome V₁ = R₁ i e V₂ = R₂ i e i = V_g/_R1+R2

allora V₁ = V_g R₁/_R1+R2 V₂ = V_g R₂/_R1+R2

posso inoltre ridisegnare il circuito:

con R_tot = R₁ + R₂

La situazione duale del circuito precedente:

Il circuito ora è a 2 maglie ma

DATA::

• I_g(t) = 3 A
• R₁ = 5 Ω
• R₂ = 3 Ω

Relazioni Costitutive:

• U = R₁ i₁
• U = R₂ i₂

Per la I legge di Kirchhoff:

i₁ + i₂ = I_g = 0 → G₁ U + G₂ U = I_g = 0

i₁ = I_g G₁/G₁+G₂

i₂ = I_g G₂/G₁+G₂

Il circuito è un

PARTITORE DI CORRENTE

e ancora una volta ridisegno il circuito:

R_tot = 1/_{1/R1 + 1/R2} = R₁R₂/_R1+R2

dal sistema ricavo che:

A = (^{-1   0   1   -1   1   0   0   -1   1})

Per le tensioni inverse individuo 3 Maglie fondamentali: sueito la 2_a legge di Kichhoff per le 3 maglie:

U₁ + U₂ + U₄ = 0U₂ + U₃ + U₅ = 0U₁ + U₃ + U₆ = 0

⇒ V_c + B V_a = 0

(^{U₄   U₅   U₆}) + (?) (^{U₁      U₂      U₃})

⇓

B = (^{1   1   0   0   1   1   1   0   -1})

osserviamo che               e

A = (^{-1   0   1   -1   1   0   -1   1   1})    B = (^{1   1   0       0   1   1       1   0   -1})

E' vero sempre che: B = - (A^T)

L, A-trasposto matrice di entram scambiando "riga per colonna"

Ritornando alla potenza istantanea

p(t) = k _k=1Σ v_k(t) . i_k(t) - V^T . I = (V_a, V_c), (I_a, _{Ic) = Va . Ia + Vc Ic}

definiamo V = (^{V_a       V_c}): il vettore contenenti le tensioni circuito i cui componenti sono le tensioni sulle selbero e due concierrito che ho scelto.

I = (^{I_a       I_c}): il vettore contenenti le correnti due circuito

METODO DELLE MAGLIE

( I₁, I₂, I₃ ) — correnti delle 3 maglie

• (R₁ + R₄ + R₃) (R₁ + R₃) R₃R₄ (R₁ + R₂)(R₁ + R₂) R₂

I₁ I₂ I₃

• V_g V_x I₃

Ho 5 incognite, mi servono altre 2 equazioni:

V_x = ? V_x è la tensione incognita del generatore di corrente

1. I₂ = I_g - 2 — conviene scegliere le maglie in modo che il generatore di corrente appartenga a una sola maglia
2. V_g = 6 i_R2 = 6 ( I₁ + I₂ + I₃ )

Posso così riscrivere il sistema:

• (R₁ + R₄ + R₃) R₁ R₃ (R₂ + R₃) R₃ -1 (R₁ + R₂) -6 (R₁ + R₂)

• I₁ I₃ V_x

• V_g - (R₂ + R₃) I_g (R₂ + R₃) I_g -(R₂ + 6) I_g

=> Risolvo

ESERCIZIO 4:

Ho inserito un trasformatore con rapporto di trasformazione posto a 3

1. generatore di tensione: V_g = 3 V
2. generatore di corrente controllato in tensione i = 3 V
3. R₁ = 2 Ω R₂ = 1 Ω
4. trasformatore:
   • V_s = n V₂ V_s = 3 V₂
   • V_x = ?
5. V₁₁ = 1/n V₂ => i₁ = 1 — (1/3) i₂

METODO DELLE MAGLIE:

ho 3 correnti di maglia I₁, I₂, I₃

In questo caso ho scelto gli anelli - METODO DEGLI ANELLI

• R₁ - R₄ O R₁ V₁ R₁ O O₂ O R₂

• I₁ I₂ I₃

• -V_x + U₄ U₂ V_g V_x - V_g

TEOREMA DI SOSTITUZIONE:

Considero le tensioni del trasformatore come se fossero tensioni di generatori: