Appunti di Scienza delle Costruzioni (anche per PM2) [SDC]

Autore: Gaudio Giovanni

Manuale di

Scienza delle Costruzioni

REVISIONE

4 ottobre 2018

Premessa

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Capitolo 1

Introduzione rapida

La scienza delle costruzioni si occupa di studiare gli effetti prodotti dalle forze che sollecitano una costruzione e di determinare le condizioni che permettono di supportare tali carichi. Tali condizioni si possono brevemente riassumere in quelle che determinano l'equilibrio stabile della struttura che non deve muoversi, fatta eccezione per spostamenti dovuti alle deformazioni.

1.1 Le forze e i vincoli

Qualsiasi corpo nello spazio ha sei gradi di libertà (tre coordinate e tre angoli), che si riducono a tre nel piano (due coordinate ed un angolo). Tali corpi sono vincolati e sollecitati dalle cosiddette forze esterne che possono essere statiche quando non variano nel tempo (oppure quando la loro variazione è molto lenta), dinamiche, concentrate quando agiscono in zone abbastanza ristrette o distribuite quando agiscono su zone estese¹ (figura 1.1).

Le reazioni vincolari rappresentano le forze esterne esplicate dai vincoli, i quali impediscono alla struttura di muoversi. Sostituendo le corrispettive reazioni vincolari ai vincoli, esse devono fare equilibrio ai carichi esterni agenti. Analizziamo a tal proposito i sei principali vincoli esterni ed interni (connessioni) che si possono incontrare maggiormente:

1. Segue testo non incluso nell'immagine

al loro compito di fissaggio della struttura. L’inefficacia di un vincolo viene determinata dalla valutazione dei centri assoluti e relativi dell’intera struttura e delle sue singole parti. A tal proposito possiamo enunciare i due teoremi delle catene cinematiche:

1. Se una trave presenta i propri centri assoluti tutti coincidenti, allora i vincoli sono inefficaci ed esiste un centro di rotazione proprio o improprio.

Figura 1.8: Esempio di applicazione del primo teorema

2. Se in una struttura travi contigue presentano il loro centro relativo allineato con i centri assoluti delle altre travi, allora il sistema presenta vincoli inefficaci ed esiste un centro di rotazione relativo per le parti (oppure assoluto per tutto il sistema).

Figura 1.9: Esempio di applicazione del secondo teorema

La sostituzione delle forze esterne con le rispettive caratteristiche della sollecitazione porta a dire che qualsiasi sistema di forze che abbia stessa risultante e stesso momento risultante, determina le stesse tensioni, tranne che per i tratti estremi della trave aventi lunghezza pari al diametro della trave stessa, come anche affermato, e confermato dagli studi sperimentali, da De Saint Venant:

fatta eccezione per un breve tratto iniziale della trave, le tensioni interne e le deformazioni non mutano se si sostituisce un sistema di forze esterne con un altro avente gli stessi parametri.

Pertanto se analizziamo l'equilibrio di un corpo generico sottoposto a carichi distribuiti p e q, esso si può dirsi in equilibrio se e solo se sono verificate le seguenti equazioni indefinite di equilibrio valide per travi rettilinee ed in ogni sezione in cui non sia presente un carico concentrato.

{_{dN/ds + p = 0} Quando T = 0, M presenta un massimo/minimo relativo.{_{dT/ds + q = 0} Se T ha andamento costante, M ha andamento lineare,{_{dM/ds + c = T} mentre se T ha andamento lineare, M ha andamento parabolico e così via.

Per queste equazioni la convenzione del segno utilizzato è quella riportata in figura 1.17 che rappresenta i versi delle caratteristiche della sollecitazione quando analizziamo una sezione guardando al tratto di trave che lo precede, o che lo segue.

Figura 1.17: Convenzione per le caratteristiche della sollecitazione

Esempio 1.3

Determinare i diagrammi della sollecitazione per la struttura in figura 1.18.

Figura 1.18: Trave

Soluzione

La trave in figura 1.18 è isostatica, dunque staticamente determinata. La caratterizzazione statica della cerniera fornisce per essa le componenti reattive H_A e V_A, mentre per il carrello in B si ha V_B (figura 1.19). Sostituendo il carico distribuito q con una forza

Figura 1.24: Diagrammi delle caratteristiche delle sollecitazioni

Si ottengono pertanto i diagrammi riportati in figura 1.24: quelli nella prima riga si riferiscono ai soli effetti provocati dal carico distribuito q, mentre quelli nella seconda riga a quelli dovuti alla coppia concentrata C. Per ogni caratteristica della sollecitazione potrà essere quindi fatta semplicemente la somma algebrica delle analoghe coordinate secondo quanto affermato dal principio di sovrapposizione degli effetti per ottenere i tre diagrammi finali della struttura:

N(s) = N_q(s) + N_C(s)T(s) = T_q(s) + T_C(s)M(s) = M_q(s) + M_C(s)

Pertanto possiamo riassumere che nel caso di sforzo normale le equazioni che governano il comportamento della trave sono:

ε = _dw/_ds eq. di congruenza ε = _N/_We + αt₀ eq. costitutiva → d/ds [ _We ( _dw/_ds – αt₀ ) ] = –p dN/ds = –p eq. di equilibrio

dove il termine p indica eventuali carichi distribuiti assiali presenti sulla struttura, e dove l’equazione nel riquadro rappresenta l’equazione della linea elastica per deformazioni estensio- nali per travi ad asse rettilineo. Se inoltre la sezione A è costante, allora essa può riscriversi più semplicemente come:

w'' = – _p/_Wε

L’utilizzo congiunto delle quattro equazioni ricavate (di congruenza, costitutiva, di equili- brio e della linea elastica generalizzata) ci permette di risolvere qualsiasi problema iperstatico di natura estensionale. Infatti partendo dall’integrazione della linea elastica, e considerando le condizioni al contorno sullo spostamento w imposte dai vincoli esterni della struttura, pos- siamo facilmente ricavare l’intera funzione w(s). Tramite poi l’equazione costitutita possiamo risalire all’andamento dello sforzo normale N(s) e quindi anche alle reazioni vincolari nelle sezioni estreme, risolvendo così l’indeterminazione tipica delle strutture iperstatiche.

3.1.2 Deformazioni di scorrimento

Con deformazioni di scorrimento vengono indicate quelle deformazioni che si verificano a seguito di spostamenti paralleli tra sezioni adiacenti di una trave, che portano la linea d’asse in una nuova configurazione diversa da quella iniziale.

Figura 3.5: Deformazioni di scorrimento

Per tali deformazioni, che come noto sono legate vicendevolmente alle deformazioni flessio- nali, se prendiamo in considerazione l’angolo formato dalla linea d’asse a scorrimento avvenuto e lo confrontiamo con quello iniziale (figura 3.5) otteniamo che la relativa deformazione di scorrimento è pari a:

δ(s) = _T/_GAχ

dove possiamo definire sinteticamente W_s = (GA)/χ come la rigidezza allo scorrimento della trave, pari al prodotto tra G, che rappresenta il modulo di Young tangenziale proprio e

Soluzione

La trave è soggetta sul primo tratto da un carico distribuito inclinato e sul secondo da una distribuzione termica triangolare. Il primo passo da fare è quindi scindere i contributi alla deformazione estensionale da quelli che invece producono deformazioni flessionali, ottenendo così due casi per struttura in figura 3.12.

Figura 3.12: Separazione degli effetti

Partiamo con la prima struttura e ricaviamo lo sforzo normale e la linea elastica estensionale e fissiamo due ascisse curvilinee per via della presenza della discontinuità del carico distribuito in B.

Tabella 3.1: Legge della linea elastica

Dalla figura 3.3, che racchiude tutte le condizioni di congruenza dei vincoli, ricaviamo quelle che utili al nostro caso. Si ottengono quindi le seguenti costanti e le caratteristiche della sollecitazione riguardanti lo sforzo normale:

In figura 3.13 vengono riportati i contributi da sommare tra loro dello sforzo normale e della linea elastica dovuti al carico distribuito e alla temperatura.

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