Appunti di Progettazione integrata cad cae

Proprio per questo le entità geometriche tipiche dei sistemi CAD (segmenti, archi di circonferenza,

ellissi,…) hanno una formulazione parametrica relativamente semplice quindi di facile

implementazione nei sistemi CAD.

Tuttavia, rispetto alla forma parametrica, le forme esplicita ed implicita consentono di valutare più

facilmente l’appartenenza dei punti e le intersezioni

Richiami di algebra lineare

◦ Vettori: strumento fondamentale, forniscono un’idea intuitiva di spostamento

Sono dotati di

◦ Modulo, direzione e verso

◦ Leggi che li governano : uguaglianza, addizione, sottrazione,negazione;

Le più importanti applicazioni di vettori sono:

Prodotto scalare: Si definisce prodotto scalare sullo spazio vettoriale V una

‣ forma bilineare simmetrica che associa a due vettori v e w di V uno scalare nel

campo reale R;

È generalmente indicato con v w

Prodotto vettoriale: Definiamo prodotto vettoriale tra due vettori v, w , e lo

‣ IR

e

indichiamo con v x w oppure v W l’operazione

1

X : R x R R

1

che alla coppia ordinata di vettori v e w associa il vettore v x w cosi definito:

II

II

lexei sino

Altre informazioni sui vettori

◦ Spesso i vettori non vengono dati graficamente ma mediante numeri. Per individuare un vettore

mediante dei numeri occorre innanzi tutto un sistema di coordinate nello spazio.

È possibile utilizzare le coordinate cartesiane ortogonali del piano; si fissano cioè:

a. Un punto O del piano;

b. Due rette orientate passanti per O e tra loro perpendicolari;

c. Un’unità di misura per i segmenti.

Una volta fissate queste 3 cose si ha una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano.

◦ Se un vettore è indicato con p, le sue componenti rispetto al sistema di riferimento saranno p ,

p ,p

a

s p

Il modulo di un vettore sarà 2 2 2

jpj = p x + p y + p z

Come sono correlati i vettori nella metodologia CAD?

Il concetto di vettore e delle operazioni vettoriali consentono di ricavare con semplicità le relazioni

fra i punti delle entità grafiche più ricorrenti nel disegno, quindi di costruire il relativo algoritmo

di rappresentazione più idoneo ai sistemi CAD. ipd

Ellisse in

◦ Come visto la rappresentazione parametrica consente in modo semplice il tracciamento di una

zona delimitata di curva, soddisfacendo le esigenze pratiche della modellizzazione geometrica;

Le espressioni che si ottengono sono univoche e quindi in forma utilizzabile per il disegno di

tutta la figura geometrica.

◦ La forma parametrica è inoltre facilmente esprimibile in forma matriciale, quindi gli algoritmi

per la gestione delle trasformazioni geometriche (spostamento, rotazione, variazione di scala,

simmetrizzazione,….) si riducono a semplici operazioni matriciali.

Matrici

Ogni insieme di numeri o di altri elementi matematici disposti in “m” righe e “n” colonne è

chiamato matrice.

Forme Geometriche nello Spazio i

Invece con:

Spazi occupati dai modelli

◦ Lo spazio del modello (Model Space) è lo spazio tridimensionale definito dalle coordinate

cartesiane (x,y,z);

Esso rappresenta lo spazio in cui un modello geometrico viene completamente sviluppato ed

espresso.

◦ Lo spazio parametrico di una curva è l’insieme di 3 spazi bidimensionali, definiti da (x,u),

(y,u), (z,u).

Quindi ogni curva parametrica può essere decomposta nelle sue 3 componenti in tale spazio;

i grafici di tali componenti sono detti CROSS PLOTS e risultano utili per l’analisi della

curva nello spazio del modello.

Mediante essi, ciascuna variabile x,y,z è controllabile separatamente in maniera

‣ indipendente, infatti basta variare un solo coefficiente delle equazioni per avere una

curva del tutto diversa;

Inoltre i grafici indicano anche l’andamento del vettore derivato mediante la pendenza

‣ della curva.

Esempi:

VANTAGGI DERIVATI DALLA SCELTA DI

RAPPRESENTAZIONI PARAMETRICHE

1. Permettono la separazione delle variabili ed il calcolo diretto delle coordinate dei punti;

2. È facile esprimere le equazioni in forma vettoriale;

3. Ogni variabile è trattata allo stesso modo;

4. Ci sono più gradi di libertà per controllare la forma della curva;

5. Le trasformazioni possono essere operate direttamente su di esse;

6. L’estensione o la riduzione ad una dimensione maggiore o minore è facile e diretta e non

influenza la rappresentazione iniziale;

7. La stessa curva può essere rappresentata da differenti parametrizzazioni. Viceversa, una

determinata parametrizzazione viene, in genere, scelta in ragione dei suoi effetti sulla forma

della curva;

8. Presentano, rispetto alle altre rappresentazioni, una maggiore facilita di computazione

matematica e di programmazione.

◦ Pierre Bezier ha individuato una proprietà fondamentale delle curve parametriche:

“La forma delle curve parametriche dipende solo dalla posizione relativa di alcuni punti

fondamentali” :

Tali punti definiscono i vettori caratteristici di una curva.

Spostando nello spazio questo insieme di punti la forma della curva non cambia, poiché essa

è indipendente dalla posizione che questi assumono rispetto ad un sistema di riferimento.

Facendo traslare e/o ruotare i vettori posizione del punto iniziale e finale di una curva di

‣ tipo parametrico ed i vettori tangenti negli stessi punti, mantenendo invariata la loro

posizione relativa, si effettua una trasformazione geometrica che sposta la curva senza

alterarne la forma.

Curve Polinomiali Cubiche (P.C) Ci sono 2 metodi:

Metodo di Hermite

Da cui mai